高中数学点线面的位置关系及三视图考点精析

专题 点线面的位置关系及三视图

考点精要

1．认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.

2．能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二侧画法画出它们的直观图. 3．会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式.

4．理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理.

公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点在此平面内.

公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.

公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.

公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行. 定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补.

5．理解空间直线、平面位置关系的定义，并掌握公理体系，掌握平面基本性质.

热点分析

结合三视图考察组合体的体积和表面积公式.

平面的基本性质，空间两条直线的位置关系仍然是考察的重点.

知识梳理

1．平面的概念：平面是没有厚薄的，可以无限延伸，这是平面最基本的属性。 2．平面的画法及其表示方法：

①常用平行四边形表示平面。通常把平行四边形的锐角画成45，横边画成邻边的两倍。画两个平面相交时，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应把被遮住的部分画成虚线或不画（面实背虚）。 ②一般用一个希腊字母α、β、γ……来表示，还可用平行四边形的对角顶点的字母来表示.

3．空间图形是由点、线、面组成的。点、线、面的基本位置关系如下表所示：

图形 符号语言 文字语言（读法） 图形 符号语言 文字语言（读法）

A ∈a 点A 在直线a 上。

a ⊂α 直线a 在平面α内。

a α=∅直线a 与平面α无公

A ∉a 点A 不在直线a 上。

共点。

A ∈α点A 在平面α内。

a

α=A 直线a 与平面α交

于点A 。

A ∉α点A 不在平面α内。

a b =A 直线a 、b 交于A

点。

α

β=l 平面α、β相交于直线l 。

a ⊄α（平面α外的直线a ）表示a α=∅（a ∥α）或a α=A

4．平面的基本性质

公理1： 如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这推理模式：

A ∈α⎫

⎬⇒AB ⊂α． 如图示：B ∈α⎭

应用：是判定直线是否在平面内的依据.

公理2： 如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些推理模式：

A ∈α⎫

⎬⇒αA ∈β⎭

β=l 且A ∈l 且l 唯一。如图示：

应用：

①确定两相交平面的交线位置； ②判定点在直线上。

公理3： 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。 推理模式：A , B , C 不共线⇒存在唯一的平面α，使得A , B , C ∈α。 应用：

①确定平面；

②证明两个平面重合。

5．平面图形与空间图形的概念：如果一个图形的所有点都在同一个平面内，则称这个图形为平面图形，否则称为空间图形。 6．公理的推论：

推论1 经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面。

l ⊂α。 推理模式：A ∉a ⇒存在唯一的平面α，使得A ∈α，

推论2 经过两条相交直线有且只有一个平面。

推理模式：a b =P ⇒存在唯一的平面α，使得a , b ⊂α。 推论3 经过两条平行直线有且只有一个平面。

推理模式：a //b ⇒存在唯一的平面α，使得a , b ⊂α。

6．多面体的概念：由若干个多边形围成的空间图形叫多面体；每个多边形叫多面体的面，两个面的公共边叫多面体的棱，棱和棱的公共点叫多面体的顶点，连结不在同一面上的两个顶点的线段叫多面体的对角线．

7．凸多面体：把多面体的任一个面展成平面，如果其余的面都位于这个平面的同一侧，这样的多面体叫凸多面体.

8．棱柱的概念：有两个面互相平行，其余每相邻两个面的交线互相平行，这样的多面体叫棱柱。两个互相平行的面叫棱柱的底面（简称底）；其余各面叫棱柱的侧面；两侧面的公共边叫棱柱的侧棱；两底面所在平面的公垂线段叫棱柱的高. 9．棱柱的分类：侧棱不垂直于底面的棱柱叫斜棱柱。侧棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱。底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱。棱柱的底面可以是三角形、四边形、五边形……这样的棱柱分别叫三棱柱、四棱柱、五棱柱…… 10．棱柱的性质：

（1）棱柱的侧棱相等，侧面都是平行四边形；直棱柱侧面都是矩形；正棱柱侧面都是全等的矩形；

（2）棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等的多边形； （3）过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形． 11．平行六面体、长方体、正方体：底面是平行四边形的四棱柱叫平行六面体．侧棱与底面垂直的平行六面体叫直平行六面体，底面是矩形的直平行六面体叫长方体，棱长都相等的长方体叫正方体． 12．平行六面体、长方体的性质： （1）平行六面体的对角线交于一点．

（2）长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上的三条棱长的平方和． 13．棱锥的概念：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，这样的多面体叫棱锥．其中有公共顶点的三角形叫棱锥的侧面；多边形叫棱锥的底面或底；各侧面的公共顶点叫棱锥的顶点，顶点到底面所在平面的垂线段叫棱锥的高.

14．棱锥的表示：棱锥用顶点和底面各顶点的字母，或用顶点和底面一条对角线端点的字母来表示． 15．棱锥的分类：（按底面多边形的边数）分别称底面是三角形，四边形，五边形……的棱锥为三棱锥，四棱锥，五棱锥……

16．棱锥的性质：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积比等于顶点到截面的距离与棱锥高的平方比． 中截面：经过棱锥高的中点且平行于底面的截面，叫棱锥的中截面．

17．正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面上的射影是底面的中心的棱锥叫正棱锥．

（1）正棱锥的各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等（叫正棱锥的斜高）．

（2）正棱锥的高、斜高、斜高在底面上的射影组成一个直角三角形；正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角形．

18．旋转体: 圆柱，圆锥和圆台可以分别看作以矩形的一边，直角三角形的一条直角边，直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，将矩形，三角形，直角梯形分别旋转一周而形成的曲面所围成的几何体．

旋转轴叫做所围成的几何体的轴，在轴上的这条边叫做这个几何体的高，垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做这个几何体的底面，不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做这个几何体的侧面，无论旋转到什么位置，这条边都叫做侧面的母线.

19．球：空间中到一个定点的距离等于定长的点的集合． 20．三视图的要求:长对正，高平齐，宽相等．

例题精讲:

例1．判断下列命题的真假，真的打“√”，假的打“×” （1）空间三点可以确定一个平面 （ ）

（2）两个平面若有不同的三个公共点，则两个平面重合（ ） （3）两条直线可以确定一个平面（ ）

（4）若四点不共面，那么每三个点一定不共线（ ） （5）两条相交直线可以确定一个平面（ ） （6）三条平行直线可以确定三个平面（ ） （7）一条直线和一个点可以确定一个平面（ ） （8）两两相交的三条直线确定一个平面（ ） 例2．看图填空

（1）AC ∩ BD =____________

（2）平面AB 1∩平面A 1C 1=____________ （3）平面A 1C 1CA ∩平面AC =____________ （4）平面A 1C 1CA ∩平面D 1B 1BD =____________ （5）平面A 1C 1∩平面AB 1∩平面B 1C =____________ 例3．下列命题中，正确的是

A ．一个侧面是矩形的棱柱是直棱柱 B ．一条侧棱垂直于底面两边的棱柱是直棱柱

C ．两个相邻侧面垂直于底面的棱柱是直棱柱 D ．两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱

例4．一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：cm 2）为

A ．

C ．

D ．

B ．

1针对训练

1．下面是一些命题的叙述语，其中命题和叙述方法都正确的是 A．∵A ∈α, B ∈α，∴AB ∈α． ∴α

β=a ．

B ．∵a ∈α, a ∈β，

C．∵A ∈a , a ⊂α，∴A ∈α． D ．∵A ∉a , a ⊂α，∴A ∉α．

2．下列推断中，错误的是

A．A ∈l , A ∈α, B ∈l , B ∈α⇒l ⊂α.

B．A , B , C ∈α, A , B , C ∈β，且A ，B ，C 不共线⇒α, β重合. C．A ∈α, A ∈β, B ∈α, B ∈β⇒α

β=AB .

D ．l ⊄α, A ∈l ⇒A ∉α.

3．下列图形中不一定是平面图形的是 A．三角形 B．菱形 C ．梯形 四边形

4．空间四条直线每两条都相交，最多可以确定平面的个数是 A．1个

B ．4个

C ．6个

5．空间四点中，无三点共线是四点共面的

D ．四边相等的

D ．8个

A ．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D ．既不充分也

不必要条件

6．两个平面把空间最多分成____________部分，三个平面把空间最多分成____________部分．

7．如果把地球看成一个球体，则地球上的北纬60︒纬线长和赤道长的比值为 A ．0.8

B ．0.75

C ．0.5

D ．0.25

8．一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面. 已知该六棱柱的顶点都在

同一个球面上，且该六棱柱的高为，底面周长为3，那么这个球的体积为____________

9

为

A ．3π

D ．6π

10．一个棱柱是正四棱柱的条件是

A ．底面是正方形，有两个侧面是矩形 B ．底面是正方形，有两个侧面垂直于底面

C ．底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直 D ．每个侧面都是全等矩形的四棱柱

11．若正棱锥的底面边长与侧棱长都相等，则该棱锥一定不是

14

B ．4π C

．

A ．三棱锥 B ．四棱锥 C ．五棱锥 D ．六棱锥

12．一个水平放置的圆柱形贮油桶，桶内有油部分占底面一头的圆周长的，则油桶直立时，油的高度与桶的高之比是

A ．

14

B ．-

141 2π

C ．

18

D ．-

181 2π

13．棱长为a 的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为

a 3

A ．

3

a 3

B ．

4

a 3

C ．

6

a 3

D ．

12

14．一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，则球的表面积为（ ）

（A ）82π

15．如图，已知三棱锥的底面是直角三角形，直角边长分别为3和4，过直角顶点的侧棱长为4，且垂直于底面，该三棱锥的主视图是

（B ）8π

（C ）42π

（D ）4π

16．一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

A

．2π+ B ．

4π+

C ．

2π+D ．

4π+

17．如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表

面积是 A ．9π B ．10π C ．11π D ．12π

18．将正三棱柱截去三个角（如左图所示A ，B ，C 分别是△GHI 三边的中点）得到几何体如右图，则该几何体按右图所示方向的侧视图（或称左视图）为

19．若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的体积是____________cm 3．

20．如图所示，等腰△ABC 的底边AB =6，高CD =3，点E 是线段BD 上异于点B 、D 的动点. 点F 在BC 边上，且EF ⊥AB . 现沿EF 将△BEF 折起到△PEF 的位置，使PE ⊥AE . 记BE =x V (x ) 表示四棱锥P-ACFE 的体积. （1）求V (x ) 的表达式；

（2）当x 为何值时，V (x ) 取得最大值？

答案:例1 （1）× （2）× （3）× （4）√ （5）√（6）× （7）× （8）×

例2 （1）O （2）A 1B 1 （3）AC （4）OO 1 （5）B 1 例3 C 例4 A 针对训练

1．C 2．D 3．D 4．C 5．D 6．4, 8 7．C 8．π 9．A 10．C 11．D 12．B 13．C

14 B 15．B 16．C 17．D 18. A 19．4 20

(1)

V =

-

3

x (0

高考链接

1（09北京文）若正四棱柱ABCD -A 1BC 11D 1的底面边长为1，AB 1与底面ABCD 成60°角，则AC 11到底面ABCD 的距离为

A

．

B ． 1 C ．

D

2(10北京文) 一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的 正视图与侧（左）视图分别如右图所示，则该集合体 的俯视图为：

3（06北京文）设A 、B 、C 、D 是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的．．．是

（A ）若AC 与BD 共面，则AD 与BC 共面

（B ）若AC 与BD 是异面直线，则AD 与BC 是异面直线 (C) 若AB =AC ，DB =DC ，则AD =BC (D) 若AB =AC ，DB =DC ，则AD ⊥BC

4（11北京文）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是 A ．32

B ．

C ．48 D ．

5（全国）棱长为a 的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为

a 3

A ．

3

a 3

B ．

4

a 3

C ．

6

a 3

D ．

12

6（全国）一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，则球的表面积为（ ）

（A ）82π

（B ）8π

（C ）42π

（D ）4π

7（全国）如图，已知三棱锥的底面是直角三角形，直角边长分别为3和

4，过直角顶点的侧棱长为4，且垂直于底面，该三棱锥的主视图是

答案 1 略 2C 3 C 4 B 5．C 6 B 7

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