导数常见综合题方法
常见综合题方法
1、关于函数的单调区间(若单调区间有多个用“ ”字连接或用“ 号”隔开),极值,最值;不等式恒成立;此类问题提倡按以下三个步骤进行解决:
第一步:令f ' (x ) =0得到两个根;第二步:列表如下;第三步:由表可知;
不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题,常见处理方法有四种:
第一种:变更主元(即关于某字母的一次函数)-----题型特征(已知谁的范围就把谁作为主元);第二种:分离变量求最值;第三种:关于二次函数的不等式恒成立;第四种:构造函数求最值----题型特征f (x ) >g (x ) 恒成立
⇔h (x ) =f (x ) -g (x ) >0恒成立;
2、已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围及函数与x 轴即方程根的个数问题;
(1)已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围的常用方法有三种:
第一种:转化为恒成立问题即f (x ) ≥0或f (x ) ≤0在给定区间上恒成立,然后转为不等式恒成立问题;用分离变量时要特别注意是否需分类讨论(看是否在0的同侧),如果是同侧则不必分类讨论;若在0的两侧,则必须分类讨论,要注意两边同处以一个负数时不等号的方向要改变呀!有时分离变量解不出来,则必须用另外的方法;
第二种:利用子区间(即子集思想);首先求出函数的单调增或减区间,然后让所给区间是求的增或减区间的子集;
第三种:利用二次方程根的分布,着重考虑端点函数值与0的关系和对称轴相对区间的位置;特别说明:做题时一定要看清楚“在(a,b )上是减函数”与“函数的单调减区间是(a,b )”,要弄清楚两句话的区别;(2)函数与x 轴即方程根的个数问题解题步骤
第一步:画出两个图像即“穿线图”(即解导数不等式)和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减”;
第二步:由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式(组);主要看极大值和极小值与0的关系;
第三步:解不等式(组)即可;
3、函数的切线问题;
问题1:在点处的切线,易求;
问题2:过点作曲线的切线需四个步骤;
第一步:设切点,求斜率;第二步:写切线(一般用点斜式);第三步:根据切点既在曲线上又在切线上得到一个三次方程;第四步:判断三次方程根的个数;
' '