多目标函数优化 (1)
多目标函数的建立与求解：
（1）多目标函数
实际中优化问题大多数是多目标优化问题, 一般情况下, 多目标优化问题的各个子目标之间是矛盾的, 一个子目标的改善有可能会引起另一个或者另几个子目标的性能降低, 也就是要同时使多个子目标一起达到最优值是不可能的, 而只能在它们中间进行协调和折中处理, 使各个子目标都尽可能地达到最优化。其与单目标优化问题的本质区别在于, 它的解并非唯一, 而是存在一组由众多最优解组成的最优解集合, 集合中的各个元素称为最优解或非劣最优解。
(2)多目标函数对洗衣机的优化
这里为了使洗衣机能尽量提高净衣效能，而且能够尽量减小洗涤过程对衣物的机械损伤，我们分别对典型洗衣机的工作方式——滚筒和波轮洗衣机进行优化。因此此多目标优化问题描述为3个决策变量参数：转速、转停比、滚筒直径，分别记为x1、x2、x3; 根据洗衣机程序参数优化过程中所确定的优化参数上下限值，我们得到了2组决策变量参数的约束条件； 2个目标函数，3个约束条件组成一个优化问题, 决策变量与目标函数、约束条件是函数关系因此多目标优化问题的数学形式如下：
滚筒洗衣机多目标优化： ⎛X 3-30⎫⎛X 1-470⎫⎛X -470⎫⎛X 2-1⎫SA =5.75-0.3833⨯ 1+0.6083⨯+1.275⨯⎪ ⎪⎪⨯ ⎪+ 300.51030⎝⎭⎝⎭⎭⎝⎭⎝Min
⎫⎛X 2-1⎫⎛⎛X 3-30⎫⎫⎛⎛X 2-1⎫⎫⎛X 1-470⎫⎛⎛X 3-30⎫-⨯0.125+⨯-⨯0.1083+⨯⨯0.0833⎪ ⎪ ⎪⎪ 0.5⎪⎪ 30⎪ 10⎪⎭⎭⎝⎝⎭⎝⎝⎭⎝⎭⎝0.5⎭⎝⎝10⎭⎭
Max y2=
⎛X 3-30⎫⎛X 1-470⎫⎛X -470⎫⎛X 2-1⎫SA =41.98+1.5419⨯ 1+2.8002⨯+5.2604⨯⎪ ⎪⎪⨯ ⎪+ ⎝30⎭⎝0.5⎭⎝10⎭⎝30⎭
⎫⎛X 2-1⎫⎛⎛X 3-30⎫⎫⎛⎛X 2-1⎫⎫⎛X 1-470⎫⎛⎛X 3-30⎫⨯0.2210+⨯⨯0.3149+⨯⨯0.6563⎪ ⎪ ⎪⎪ 0.5⎪⎪ 30⎪ 10⎪⎭⎭⎝⎝⎭⎝⎝⎭⎝⎭⎝0.5⎭⎝⎝10⎭⎭
s. t. 440≤x1≤500
0.5≤x2≤1.5
20≤x3≤40
0≤SA ≤1
0≤SA ≤1
其中:xi为决策向量,yi 为目标约束量
通过lingo 软件可以求得：当内筒直径为470mm ，转停比为1s/s，转速为30rmp/min，此时磨损率为5.71%，洗净率为42.08%，在这个状态下刚好得到最佳的磨损率与洗净率，使得滚筒洗衣机对衣物的净衣效能提高的同时，对衣物的损伤程度降低。
利用JMP 软件可以得出优化的结论图：
波轮洗衣机多目标优化： Miny3=
⎛X 3-30⎫⎛X 1-575⎫⎛X -575⎫⎛X 2-1⎫SA =3.2977-0.3148⨯ 1+0.6019⨯+1.2354⨯⎪ ⎪⎪⨯ ⎪+ 250.51025⎝⎭⎝⎭⎭⎝⎭⎝
⎫⎛X 2-1⎫⎛⎛X 3-30⎫⎫⎛⎛X 2-1⎫⎫⎛X 1-575⎫⎛⎛X 3-30⎫-⨯0.0352+⨯-⨯0.0521+⨯⨯0.0646⎪ ⎪ ⎪⎪ 0.5⎪⎪ 25⎪ 10⎪⎭⎭⎝⎝⎭⎝⎝⎭⎝⎭⎝0.5⎭⎝⎝10⎭⎭
Max y4=
⎛X 3-30⎫⎛X 1-575⎫⎛X -575⎫⎛X 2-1⎫SA =59.68+1.5938⨯ 1+2.9188⨯+2.7521⨯⎪ ⎪⎪⨯ ⎪+ 250.51025⎝⎭⎝⎭⎭⎝⎭⎝
⎫⎛X 2-1⎫⎛⎛X 3-30⎫⎫⎛⎛X 2-1⎫⎫⎛X 1-575⎫⎛⎛X 3-30⎫-⨯0.3896+⨯-⨯0.5438+⨯⨯0.2188⎪ ⎪ ⎪⎪ 0.5⎪⎪ 25⎪ 10⎪⎭⎭⎝⎝⎭⎝⎝⎭⎝⎭⎝0.5⎭⎝⎝10⎭⎭
s.t.550≤x4≤600
0.5≤x5≤1.5
20≤x6≤40
0≤y3≤1
0≤y4≤1
运用jmp 软件求解得到最优解为：当内筒直径为575mm ，转停比为1s/s，转速为30rmp/min时，此时的波轮洗衣机对衣物的磨损率为3.27%，洗净率为59.59%。在这个状态下刚好得到最佳的磨损率与洗净率，使得波轮洗衣机对衣物的净衣效能提高的同时，对衣物的损伤程度降低。
利用JMP 软件可以得出优化的结论图：