17世纪牛顿的数学成就
17世纪牛顿对微积分的贡献
17世纪数学最重要的成就之一是微积分的创立，而牛顿就对微积分做了许多重要的贡献。
流数术的初建
牛顿对微积分问题的研究始于1664年秋，当时他反复阅读笛卡儿《几何学》，对笛卡儿求切线的“圆法”发生兴趣并试图寻找更好的方法。说在此时，牛顿首创了小o记号表示x的无限小且最终趋于零的增量。
1665年夏至1667年春，牛顿在家乡躲避瘟疫期间，继续探讨微积分并取得了突破性进展。据他自述，1665年11月发明“正流数术”（微分法），次年5月又建立了“反流数术”（积分法）。1666年10月，牛顿将前两年的研究成果整理成一篇总结性论文，此文现以《流数简论》（Tract on Fluxions）著称，当时虽未正式发表，但在同事中传阅。《流数简论》（以下简称《简论》）是历史上第一篇系统的微积分文献。
《流数简论》反映了牛顿微积分的运动学背景。该文事实上以速度形式引进了“流数”（即微商）概念，虽然没有使用“流数”这一术语。牛顿在《简论》中提出微积分的基本问题如下：
（a）设有两个或更多个物体A，B，C，„在同一时刻内描画线段x，y ,z。已知表示这些线段关系的方程，求它们的速度p，q， r的关系。
（b）已知表示线段x和运动速度p、q之比 p/q 的关系方程式，求另一线段y。牛顿对多项式情形给出（a）的解法。
对于问题（b），牛顿的解法实际上是问题（a）的解的逆运算，并且也是逐步列出了标准算法。特别重要的是，《简论》中讨论了如何借助于这种逆运算来求面积，从而建立了所谓“微积分基本定理”当然，《简论》中对微积分基本定理的论述并不能算是现代意义下的严格证明。
牛顿在后来的著作中对微积分基本定理又给出了不依赖于运动学的较为清楚的证明。在牛顿以前，面积总是被看成是无限小不可分量之和，牛顿则从确定面积的变化率入手通过反微分计算面积。前面讲过，面积计算与求切线问题的互逆关系，以往虽然也曾被少数人在特殊场合模糊地指出，但牛顿却能以足够的敏锐与能力将这种互逆关系明确地作为一般规律揭示出来，并将其作为建立微积分普遍算法的基础。正如牛顿本人在《流数简论》中所说：一旦反微分问题可解，许多问题都将迎刃而解。这样，牛顿就将自古希腊以来求解无限小问题的各种特殊技巧统一为两类普遍的算法——正、反流数术亦即微分与积分，并证明了二者的互逆关系而将这两类运算进一步统一成整体。这是他超越前人的功绩，正是在这样的意义下，我们说牛顿发明了微积分。
在《流数简论》的其余部分，牛顿将他建立的统一算法应用于求曲线切线、曲率、拐点、 曲线求长、求积、求引力与引力中心等16类问题，展示了他的算法的极大的普遍性与系统性。
流数术的发展
《流数简论》标志着微积分的诞生，但它在许多方面是不成熟的。牛顿于 1667年春天回到剑桥，对自己的微积分发现未作宣扬。他在这一年10月当选为三一学院成员，次年又获硕士学位，并不是因为他在微积分方面的工作，而是因为在望远镜制作方面的贡献。但从那时起直到1693年大约四分之一世纪的时间里，牛顿始终不渝努力改进、完善自己的微积分学说，先后定成了三篇微积
分论文，它们分别是：
（1）《运用无限多项方程的分析》（De Analysi per Aequationes Numero Terminorum Infinitas，简称《分析学》，完成于1669年）；
（2）《流数法与无穷级数》（Methodus Fluxionum et Serierum Infinitarum，简称《流数法》，完成于1671年）；
（3）《曲线求积术》（Tractatus de Quadratura Curvarum，简称《求积术》，完成于1691年）。
这三篇论文，反映了牛顿微积分学说的发展过程，并且可以看到，牛顿对于微积分的基础先后给出了不同的解释。
第一篇《分析学》是牛顿为了维护自己在无穷级数方面的优先权而作。1668年苏格兰学者麦卡托（N.Mercator）发表了对数级数的结果，这促使牛顿公布自己关于无穷级数的成果。《分析学》利用这些无穷级数来计算流数、积分以及解方程等，因此《分析学》体现了牛顿的微保健与无穷级数紧密结合的特点。关于微积分本身，《分析学》有简短的说明。论文一开始就叙述了计算曲线y=f(x)下面积的法则。
设有y=