平均寿命剩余置信下限评估

２００７年第２８卷第３期中北大学学报（自然科学版）

２８　Ｎｏ．３　２００７Ｖｏｌ．

文章编号：１６７３-３１９３（２００７）０３-０２０８-０４

平均剩余寿命置信下限的评估

（南京理工大学机械工程学院，江苏南京２１００９４）

摘　要：　设备的延寿使用及维修计划的合理制定，依赖于其组成单元平均剩余寿命的客观评估．通过对不可修复产品平均剩余寿命的研究，基于产品平均剩余寿命的数学描述，利用可靠性及数理统计的基础知识，逐级推演，提出了适用于各种寿命分布类型的产品平均剩余寿命置信下限的一种评估方法，并结合工程实例进行了分析．使用该方法，利用产品的使用及寿命试验数据，即可对产品在给定概率下和正常工作一定时间后的平均剩余寿命置信下限进行评估，为延寿使用及维修计划的制定提供依据．关键词：　可靠性；可靠性评估；平均剩余寿命；置信下限中图分类号：　ＴＢ１１４．３　　　文献标识码：Ａ

陈常顺

L ow er L i m i t A ssessm ent of C onfi dence of M ean R esi dual L i fe

（ＳｃｈｏｏｌｏｆＭｅｃｈａｎｉｃａｌＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，ＮａｎｊｉｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｎａｎｊｉｎｇ２１００９４，Ｃｈｉｎａ）

ＣＨＥＮＣｈａｎｇ-ｓｈｕｎ

ｌｉｅｄｏｎｔｈｅｍｅａｎｒｅｓｉｄｕｅｌｉｆｅｏｆｔｈｅｃｏｍｐｏｎｅｎｔｓ．Ａｃｃｏｒｄｉｎｇｔｏｔｈｅｓｔｕｄｙｏｆｕｎｒｅｐａｉｒａｂｌｅｐｒｏｄｕｃｔｒｅｓｉｄｕｅａｂｉｌｉｔｙａｎｄｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｓｔａｔｉｓｔｉｃｓ，ａｍｅｔｈｏｄｉｓｄｅｄｕｃｅｄｔｏａｓｓｅｓｓｔｈｅｃｏｎｆｉｄｅｎｃｅｌｏｗｅｒｌｉｍｉｔｆｏｒｔｈｅｍｅａｎｒｅｓｉｄｕａｌｌｉｆｅ，ａｎｄａｎｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇｉｎｓｔａｎｃｅｉｓａｎａｌｙｚｅｄ．Ｔｈｉｓｍｅｔｈｏｄｃａｎｂｅａｐｐｌｉｅｄｔｏｔｈｅｄａｔａｏｆｐｒｏｄｕｃｔ

A bst ract ：Ｔｈｅｐｒｏｌｏｎｇｏｆｅｑｕｉｐｍｅｎｔｌｉｆｅａｎｄｔｈｅｒｅｐａｉｒｅｍｅｎｔｐｌａｎｓｎｅｅｄｒｅａｓｏｎａｂｌｅｄｅｃｉｓｉｏｎ，ｗｈｉｃｈｉｓｒｅ-

ｍｅａｎｌｉｆｅ，ｂａｓｅｄｏｎｔｈｅｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｄｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎｏｆｔｈｅｒｅｓｉｄｕｅｍｅａｎｌｉｆｅａｎｄｔｈｅｂａｓｉｃｋｎｏｗｌｅｄｇｅｏｆｒｅｌｉ-

ｄｉｔｉｏｎｏｆｐｒｏｄｕｃｔｎｏｒｍａｌｗｏｒｋｉｎｇｐｅｒｉｏｄａｔａｃｅｒｔａｉｎｇｉｖｅｎｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ，ｗｈｉｃｈｇｉｖｅｓｔｈｅｒｅｆｅｒｅｎｃｅｆｏｒｔｈｅｐｌａｎｏｆｉｎｓｔｒｕｍｅｎｔｌｉｆｅｐｒｏｌｏｎｇａｎｄｍａｉｎｔｅｎａｎｃｅ．

K ey w ords ：ｒｅｌｉａｂｉｌｉｔｙ；ｒｅｌｉａｂｉｌｉｔｙａｓｓｅｓｓｍｅｎｔ；ｍｅａｎｒｅｓｉｄｕａｌｌｉｆｅ；ｃｏｎｆｉｄｅｎｃｅｌｏｗｅｒｌｉｍｉｔ

ｕｓａｇｅａｎｄｌｉｆｅｔｅｓｔ，ｎａｍｅｌｙ，ｔｏａｃｃｅｓｓｔｈｅｃｏｎｆｉｄｅｎｃｅｌｏｗｅｒｌｉｍｉｔｆｏｒｔｈｅｍｅａｎｒｅｓｉｄｕａｌｌｉｆｅｕｎｄｅｒｔｈｅｃｏｎ-

０　引　言

人们在使用各种不可修复产品的过程中，经常发现在产品接近或达到其规定的使用寿命时，产品仍

未失效，甚至仍然具有良好的使用性能．对此，希望能够确定其剩余寿命以便采取相应的对策，以避免将已达规定使用寿命但仍具有较长剩余寿命的产品简单地抛弃而带来浪费，或对其盲目继续使用而引发一方面是基于可靠性数学的范畴，着重研究剩余寿命的分布函数及函数特征，张民悦作进行了精彩的总结；另一方面是基于产品的失效机理对产品的剩余寿命进行评估

［３-５］

［１，２］

事故．因此，对剩余寿命的研究引起了人们的普遍关注．目前，对剩余寿命的研究主要集中在两个方面：

．从产品的失效机

对此方面的工

理出发来评估产品的剩余寿命，在工程实际中一般用于大型、重要或昂贵的产品，其针对性较强．具有

磁收稿日期：２００７-０１-０９

普遍适用意义的不可修复产品在正常工作一段时间后剩余寿命的评估目前鲜见报道．

１　平均剩余寿命的评估

对不可修复产品，自开始使用到工作至τ时刻时，其平均剩余寿命为

＋∞

θ（τ）＝R （t ）ｄt ，

R （τ）τ

式中，R （x ）为该产品在x 时刻的可靠度．

［６］

∫

（１）

）为该产品在τ时刻的平均剩余寿命的数学期望．当τ＝０时，其即为该产品的平均寿命．显然，θ（τ

利用式（１）直接计算产品的剩余寿命显然不太方便，而实际中人们一般也仅对其在一定的概率下的平均剩余寿命的下限感兴趣．

因为R （t ）≥０，所以

θ（τ）≥

（τ）

［７］

由式（２）知，θ（τ）的值不会低于θt （τ），故而可用θt （τ）的值来确定θ（τ）的置信下限．在给定概率值P 后，θt （τ）的置信下限可如下表示

＾

（τ）＝θt （τ）－δθ（t ，τ）

＾

t （τθ）＝

）．∫R （x ）ｄx ＝θ（τ

τ＋t τ

t

（２）

＾t （τ式中，θ）为产品平均剩余寿命的统计值．

P

，（３）

n －k

i （t ∑ΔT τ），

－i ＝１

（４）

i （t 式中，n 为试验产品总数；k 为试验至τ时刻的累积失效数；Δ）为第i 件产品在τ时刻后继续工作的T τ

时间，由下式计算

i （t ΔT τ）＝

T i －τt

在（τ，τ＋t ）内失效，在（τ，τ＋t ）内不失效；

式中，T i 为第i 件产品的工作时间，（１≤i ≤n －k ）．

＾若记δθ（t ，τ）为θ（τ）的均方差函数，则

２

n －１

C n （１－R （τ））R ＾

δθ（t ，τ）＝D ［θt （τ）］＝D ［ΔT τ（t ）］∑k ＝０n －k

k

k

n －k

［１－（１－R （τ））］（１－R （τ））．

n

n

k

k

n －k

＋θt （τ）×

２

因为

n －１

D ［ΔT τ（t ）］≤（

C n （１－R ）R

　　记R ＝R （τ），A ＝∑k ＝０－　　记m ＝n －k ，则

n

n

m

t n ＾t （τD ［θ）］≤［A ＋４（１－R ）］．

２

，则

t

），θt （τ）≤t ，R （τ）≤１．

２

（５）

（６）

m

A ＝R k ∑＝０

n －１

C n n －k

k

（

R

C n R R m

　　记y ＝m ∑（），＝，并对y 求导，则x ＝１y x ＝

y ＝

n

C n C n R n －m n m

）＝R m ∑（）＝（１－R ）∑（）．m ＝１m ＝１m R k

n

n

n －m

所以

由微积分易证

x ０

∑C x ＝

m ＝１

n

ｄx ＝

′

n

m n

m

n

R ０

ｄR ．

R （１－R ）n

，

y ＝

R n n

ｄR ＝∑－∑i ＝１i ＝１n

所以

考虑阿贝尔变换

n

A ＝（１－R ）［∑］．－∑i ＝１i i ＝１（１－R ）

n

n

i ＝１i

∑a i b i ＝i ∑（b i －b i ＋１）d i ＋b n d n ，＝１

n n －１

式中，d i 为a i 的前i 项之和，即d i ＝∑a j ．j ＝１

记β＝

i

，a i ＝β，b i ＝，则i

n

所以因为所以

n －１

n n －１

i １

∑＝∑（－）＋．＝∑βi ＝１i i ＝１i ＝１＋１（１－R ）

i

n

j ＝∑β＝d i ＝j ∑a ，j ＝１＝１i

i

i

j

０＜R ＜１，

β＝

i

n －１

n －１∑（－）≤∑（－）＝（１－），i ＝１i ＝１＋１＋１n －１

＞１，

n

n ＋＝．∑β≤（１－）β＋i ＝１n

i

１

n －１n －１

n

显然所以

n

∑i ＝１

n

n

综上（５）～（７）式，可得

n

A ≤（１－R ）［β＋－１］＝＋－（１＋）（１－R ）－１．

n n R R

δθ（t ，τ）≤

＾

（τ）＝θt （τ）－

i

≥１，

（７）

t

n ＋＋

n

＋［３－］［１－R （τ）］－１，R （τ）R （τ）P n

）］－１｝．＋［３－］［１－R （τ

（τ）（τ）（８）

所以，产品平均剩余寿命的置信下限可表示为

t

其在实际中一般不会出现的理论极限值，从而使得由式（９）确定产品的平均剩余寿命的置信下限会偏于较为充分的情况下，可记

　　由前面的分析过程可知，在由等式（５）导出不等式（６）的过程中，对D ［Δ（t ）］及θt （τ）均利用了T τ

｛

（９）

保守，这对在数据较少的情况下，为保证产品的实际使用性能，降低使用风险是有一定益处的．在数据

t ２t ＾

），θi （τ）≈θt （τ）＝，Q S

时刻后继续工作式中，Q ，S 为待定系数，其具体值在由产品试验数据计算出ΔT n （t ），即第i 件产品在τ

D ［ΔT τ（t ）］＝（

的时间，经统计分析确定其样本均值与散布后再分别代入上式求得．

则式（９）可变为

　　由于按式（１０）确定的产品平均剩余寿命的置信下限中利用了产品样本的统计信息，较式（９）仅利用试验样本寿命的极限分布范围数值而言，更多地利用了产品的实际信息，从而使得评估结果更为接近实际值．

t ＾

（τ）＝θt （τ）－

Q P n

｛＋＋［－－１］［１－R （τ）］－１｝．（τ）（τ）（１０）

２　实例分析

９０５ｈ，９２０ｈ，１０６０ｈ，１０８０ｈ，１２０５ｈ，１２９０ｈ．给定概率为０．９，现确定其平均剩余寿命的置信下限．分析计算值０．４５８７４），所以可确定R （５００）＝０．６．

＾（τ）＝５７６．６７ｈ，t ＝７９０ｈ，Q ＝５．６７４９，S ＝１．３６９９．代人式（１０）可得θ（５００）＝分析知，θ１９５．４４ｈ．

根据Ｋ－Ｓ检验，此阀片寿命基本服从指数分布（显著水平α＝０．０５，柯氏检验临界值为０．４８３２４，

利用式（９）计算，则此时已无剩余寿命．从该产品的试验数据可以看出，在７个样本的试验中，除１

个样本在５００ｈ前失效外，其余６个样本的工作时间均较规定的５００ｈ高出许多，认为此时该产品已无剩余寿命显然不太符合实际情况．此产品的分析也从一个侧面验证了利用式（９）进行产品剩余寿命的评估颇为保守．

经计算分析知，此阀片在达到规定的使用寿命后仍具有较长的剩余寿命，若此阀片在产品中并非具有较高的重要度，则所确定的使用寿命有些偏于保守．

３　结　论

平均剩余寿命作为产品可靠性的特征指标，是合理地制定设备的延寿使用及维修计划的基础．由于产品的平均剩余寿命值并非其平均寿命与其已正常工作时间的差值，因此根据产品平均剩余寿命的评估结果制定设备的延寿使用及维修计划，较之简单地利用产品的平均寿命指标制定设备的延寿使用及维修计划更加合理与科学．文中所述方法可适用于各种寿命分布类型的产品，与各种统计评估一样，其评估的准确程度随样本量的增加而提高．在满足评估准确程度的前提下，如何合理、经济地确定试验样本的数量尚需进一步研究．参考文献：

［１］　张民悦，郑平．可靠性理论中剩余寿命函数的研究［Ｊ］．兰州理工大学学报，２００４，３０（５）：１２６-１２９．

１２９．（ｉｎＣｈｉｎｅｓｅ）Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，２００４，３０（５）：１２６-Ｚｈａｎｇｍｉｎｙｕｅ，Ｚｈｅｎｇｐｉｎｇ．Ｓｔｕｄｙｏｆｒｅｓｉｄｕａｌｌｉｆｅｆｕｎｃｔｉｏｎｉｎｒｅｌｉａｂｉｌｉｔｙｔｈｅｏｒｙ［Ｊ］．ＪｏｕｒｎａｌｏｆＬａｎｚｈｏｕＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆ

［２］　张民悦，郑平．剩余寿命分布类与剩余寿命函数特征的研究［Ｊ］．兰州理工大学学报，２００４，３０（６）：１２１-１２３．［３］　朱若燕，李明龙．起重机剩余寿命估算方法的探讨［Ｊ］．湖北工业大学学报，２００６，２１（３）：１７７-１７９．

１７９．（ｉｎＣｈｉｎｅｓｅ）Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，２００６，２１（３）：１７７-１２３．（ｉｎＣｈｉｎｅｓｅ）ＪｏｕｒｎａｌｏｆＬａｎｚｈｏｕＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，２００４，３０（６）：１２１-

Ｚｈａｎｇｍｉｎｙｕｅ，Ｚｈｅｎｇｐｉｎｇ．Ｓｔｕｄｉｅｓｏｆｒｅｓｉｄｕａｌｌｉｆｅｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎｃｌａｓｓｅｓａｎｄｃｈａｒａｃｔｅｒｓｏｆｒｅｓｉｄｕａｌｌｉｆｅｆｕｎｃｔｉｏｎ［Ｊ］．ＺｈｕＲｕｏｙａｎ，ＬｉＭｉｎｇｌｏｎｇ．Ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎｏｎｔｈｅｅｖａｌｕａｔｉｏｎｏｆｃｒａｎｅｓｒｅｍａｉｎｉｎｇｌｉｆｅ［Ｊ］．ＪｏｕｒｎａｌｏｆＨｕｂｅｉＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆ

［４］　张宏斌，王进才．直升机机载设备剩余寿命可靠性评估［Ｊ］．电子产品可靠性与环境试验，２００６，２４（１）：６-８．［５］　王技，钟海辉．回归预测法在桥梁剩余寿命预测中的应用研究［Ｊ］．公路交通技术，２００６（１）：６０-６２．［６］　程侃．寿命分布类与可靠性数学理论［Ｍ］．北京：科学出版社，１９９９：８-９．

ＨｉｇｈｗａｙａｎｄＴｒａｎｓｐｏｒｔ，２００６（１）：６０－６２．（ｉｎＣｈｉｎｅｓｅ）

８．（ｉｎＣｈｉｎｅｓｅ）ＰｒｏｄｕｃｔＲｅｌｉａｂｉｌｉｔｙａｎｄＥｎｖｉｒｏｎｍｅｎｔａｌＴｅｓｔｉｎｇ，２００６，２４（１）：６-

Ｚｈａｎｇｈｏｎｇｂｉｎ，ＷａｎｇＪｉｎｃａｉ．Ｒｅｌｉａｂｉｌｉｔｙｅｖａｌｕａｔｉｏｎｆｏｒｒｅｓｉｄｕａｌｌｉｆｅｏｆａｓｓｅｍｂｌｉｅｓｏｎ-ｂｏａｒｄｈｅｌｉｃｏｐｔｅｒ［Ｊ］．ＥｌｅｃｔｒｏｎｉｃＷａｎｇＪｉ，ＺｈｏｎｇＨａｉｈｕｉ．Ｓｔｕｄｙｏｎａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｏｆｒｅｇｒｅｓｓｉｏｎｐｒｅｄｉｃｔｉｏｎｉｎｒｅｓｉｄｕａｌｌｉｆｅｏｆｂｒｉｄｇｅ［Ｊ］．Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙｏｆ

［７］　С．О［Ｍ］．М：Э，１９８６：４０-４９адыховГСстаточны溝ресурстехническихобьектовиметодыегооценкиоскванание