配方法的应用
配方法的应用
0 江苏射阳第六中学 成 勇
配 方法的作用 在于改 变代 数式 的原有结构 求解变形 的一种手段 ; , 是 配方法 的
实质在于改变式子的非负性,是挖掘隐含条件的有力工具+ 配方法在代数式的化 简求值 、 解方程、 解最值 问题、 讨论不等关系等方面有着广泛的应用.
0
蔫 本可代 法第 题 用入将 二
把 一个 式 子 或 一 个 式 子 的某 一 部 分 化 成 完 全 平 方 式 或 几 个 完 全 平
请根据阅读材料解决下列问题 : () 1 比照上面的例子 , 出 2 写 _ 乱+
2 三种 不 同形式 的配 方.
个方程 变形为 + ,代入第一个方 1 程, 从而解方程 , 但计算烦琐.若考虑
运 用整 体 思 想 , ( + ) 将 y 1 看做 一 个 整
() 2将 粕 + 6配方 ( 至少写出两 种形式 ) .
() 3已知 6 — 一b 2+ - , 3一 c4 0 求 叶6c + 的值 本题 以 “ 阅读 材 料 , , 的形
方式的和、 差的形式 , 这种方法叫“ 配 方法 ” 它的理论依据是完全 平方公 .
式a 2bb=ab 配方 法 的难 点是  ̄ a+Z(+ ) _
体 , 第一个方程配方 , 将 可以达到快
速 简便 求解 的 目的.
配方 , 要求同学们必须熟练掌握公式
a2
_
瓣 第 个 程 得 将 一 方 配方
_一y 12 , 6 (+ )- 将第二个方程 变为 - 0
y lx代入 前 一个 方程得 -: , += , 6 0解 之得 3 z , 而 可求 出 _ , = l ,= 从 一 x2 =4圩 1 .
+a + 判断什么是a , 2b b, 或b或 。 怎
样从 a 2b 两 项 去 找 出b或 从 , 2 a这 , , 6 z 这两 项 去 找 出2b a .或从 2b 找 出 a去
式展示给同学们 , 考查同学们 的模仿
能力 。 既取 材 于课 本 . 又是 对课 本 的
和6 同学们要 熟 练掌握 这些 基本 方法 , 从而做到心 中有数 , 配方有路
可循.
拓展 与 引申. 例如 ,课 本 中仅有x z 一
所 原 程 的 为1’ 2 以 方 组 解 』 。f , j 一
It- ,【z1 y= 4 y . =
+ (一 ) 3 即“ 4= 1z , 余项” 常数项 , + 是
而没 有 “ 项 ” 一 次 项 、 次项 的 情 余 是 二
景, 这道题 既是 对课本 的继承 和创新 ,
又是 运用 配方法 的一道好 的 综合题
鳓
解痘时运整 方 组 ,用
思想将 高次方程配方 , 可以降低运算 难度. 快速准确解题. 解题时 , 何时配方 , 需要我们适 当预测 , 并且会合 理运用 “ 裂项 ” 与 “
添项 ”“ 与“ ” 、配” 凑 的技巧 , 应具有 整体把握题设条件的能力 . 即善于将 某项拆开又重新分配组合 . 得到完全
平方 式 . 而配 方. 从
《 应 用于 因式 分解 ■ 、
藕
( 形 12 + 2 1 式: 2 - ) -
+ -= 22 (余项” 4 2 (一 ) 2 “ _ 是常数项 ) .
形 式 2 4 + = — 身 : 2 [22\ . / + ( / ) + 2 / - = 、 ) 、 z ( 、 4 一 / ] +
(、 2/ )(余项” “ 是一次项 ) .
瀚 阅 材 : 形 似 读 料 把 如: +
6+ 的二 次三 项 式 ( c 或其 一 部分 ) 配
成完全平方式的方法叫做配方法. 配 方法的基本形式是完全平方公 式的 逆写,即 2 6 吐6 例如 : 一 + ( ) (
形 式3x-x 2 2 x + ) = :Z + = (2 4 - 1
2x 12 (余项” (一 ) “ _ 是二次项 ) .
( )形式 1 6 6 2 : + a= a b 2a. b (+ )-b . .
形 式 2: + b 6= a + _b + a + + b L 。
4
2 + 6一
'
§
1 、2 (一+X ) ) , 2 一+ 丢2 2 + )3是
应用于解方程( ) 组 2 4 - + 的三种不 同形式 的配方 ( 即 “ 余项 ” 分别是常数项 , 一次项 , 二次
项— — 见横 线 的部分 ) .
嘞 解—- 7 求: 1 l 0 f' .
34 21/ 020
÷ ( 号 叶 ) 6 丢2 +
形式3 :
+ 6
+z三 6+
4 4
。
当
膦
:
x4
丢) ( 卅 ) = 吾+ + z 3+ ÷
1 2
+
/ 2 : , 对 所 2 > 即 + 0
,
( + { 叫2
( )2b+ ‘ 一 6 2 + = 3 a ‘c_ 3 — c 4 + 曲
3
有 实数 方程左边 的代数 式的值 均 ,
黼
一
在 代 式 值 , 对 数 求 时适
不等于0 因此, , 原方程没有实数根.
可以简便计算. ( + +丢 ) 当运用配方法 。 \ { )( / 4/ 4 \ 3 + 捧
c2
_
摹 这 “方 ,代 证 《 i 是配 法, 数 在
明 中的应 用.要 证 明 方 程 懈 +
=
+ 3
一・
应用于 判定 三角形 的形状
1Ol 实数根 , - i有 - . 似乎无从下手, 而用
1o 而 ÷ 1一 ,= ), 6,b c o 2从 = ,1 一 , ’ 1
 ̄ a lb 2 c 1 以叶6 c 4 P= ,= ,= .所 +: .
灞 已 。, △ 的 知, 是 Ac三 6 。
边 ,且满足 + c-6 6 毗 = , 6+ 0— c 0则 AA C 的形状为 B
“ 配方法 将其变 全平 后, ” 成真 方式 便
“ 柳暗 花 明” 了.
蔫 》配 法 初 数 的 溺 方是中学一
种 重要 思 想 方 法 。在 解 一 元 二 次方
程 、 二 次 函数 的 一般 式 化 为顶 点式 把
在刁等式、 较划 、 } 匕 中的碴 拥 对于任意实数 试 比较 , 两个代数式 3 _ 乙 + 与3 乱+0 l + 1 的值 的大小.
霸 已方 有 个 知 程中 三 未
知数 , 可以考虑配方 , 但题 目中的方
程不能直接配方 , 因此 需要 “ ” 此 凑 。
时都有它的身影. 解决本题 时.仿照
推 导 一元 二 次 方程 的求 根 公 式 与 抛
物线 的顶 点 坐标 公 式 的方 法 . 体现 了 从 特殊 到一般 的数 学思想.
时 可 以在 方 程 两边 同 时乘 以 2 方 配
求 解.
摹 比 两代 式 大 , 黧 较 个数 的 小
等式两边乘以2 ,得2
可以作 差比辊 本 题 两个代 数 式相 减 后 , 以得 到一 个二 次三项式 , 可 将此 二
2 22  ̄2 b 2 c 2 c O 6+ c- a - b 一 a = .
应 用于化 简 求值
配方得 (2 + +6_6+。 口 2 6 (2 c c + _ ) 2 ) (22a a) 0 即 a b ( — ) C— c +  ̄= — )+ b c + 由非 负数 的性 质得abOb- O -- ,-= . - c
c-- - O, a
次三项式配方后. 即可判断差的正负,
从 而可以判 断 两个代数 式的值 的大 小.
嘞 已 求 数 (一 ) . 知: 代 式 c口 0 ,
(忆 )(+ ・1 )(帆。 (慨 1 ・1x)( ・1 ) 1 ) … 的值
( 一 — 1 一3 3 2 - +) ( + 4 x 4 +O= 228一 = 2 (+ ) 10所 x l )一x-x9 - 22 < , - -
以对于任意实数 恒有3 ,
.
3 + Q 1
2 1 _ 缸+ <
胁
若 值 接 入 将的 直 代 求
所 以 ,= , , b cc 即
故△A C 曰 是等边三角形.
解, 计算量相当大 , 不足为取. 用配对
法给 (- ) 以( )再 将 其积 与 1x 配 I 1 , (慨 配对相乘, 1 ) 直至(慨 , 1 )则可得
如 下巧 解.
此题也是考查“ 配方法 ”
在 比较 大 小 中的应 用 , 过 作 差 法 , 通 然后 拆 项 、 配成 完全 平 方 , 此 差 大 使
于零 而 比较 出 大 小 .
硒
运配 法题 关 用方解的键
是 恰
当的 “ 配” 凑 .
原 式:
爱在 证明中的应用 :
! 2 1 :! ! 1 1 : 2 :
1
— —
灞 证 方 s帆 1 明 程s慨 +0 : =
没有实数根.
配方 法 是 对 数 学 式 子 进 行 一 种
(-2( Z ( ) 1 一 1x I )1 …( ) ) + 慨
1 —
薅 可 方 的 边 行 鞠 将程 左进 一
= … =
定 向变形——配 成“ 完全平方 ” 的技 巧 在解决相关问题时,将 目标看成
( )1 ) (慨 1 ( … 1 )
~
定 的 配凑 , 之成 为 几 个非 负数 的 和 使
1
(-矾 (+矾 1x ) 1 ) x
l
1 筠 — I
的形式 , 不过配凑的过程对于同学们
某个变量的二次式 . 并将其配成一个
来说 比较难 , 大家可 以从下述解答过
程 中获得一些思路
完全平方与一个常量的代 数和的形
式 ,以达到发现和研究 问题性质 、 化
1
嗣 因 s: +: 为s 慨 1
繁为简的 目的。 同学们一定要细细品
味这种方法. 圈
钾 数 辅铮 3 巾学 5