函数的连续性
函数的连续性
定义1 函数f 在点x 0的某邻域内有定义,若函数f 在点x 0有极限且此极限等于该点的函数值,即lim f (x ) =f (x 0) ,则称f 在点x 0连续 x →x 0
f 在点x 0连续必须满足三个条件:
(1)在点x 0的一个邻域内有定义
(2)lim f (x ) 存在 x →x 0
(3)上述极限值等于函数值f (x 0)
若上述条件有一个不满足,则点x 0就是函数f 的间断点。
等价定义1 函数f 在点x 0的某邻域内有定义,如果自变量的增量∆x =x -x 0趋于零时,对应的函数增量也趋于零,即lim ∆y =lim [f (x 0+∆x ) -f (x 0)]=0,则称f 在∆x →0∆x →0
点x 0是连续的
在区间上每一点都连续的函数,称为在该区间上的连续函数,或说函数在该区间上连续,该区间也称为函数的连续区间。若连续区间包括端点,那么函数在右端点连续是左连续,在左端点连续是右连续。
连续函数的图像是一条连续且不间断的曲线
结论 f 在点x 0是连续当且仅当该点的函数值f (x 0) 、左极限f (x 0-0) 与右极限f (x 0+0) 三者相等,即
f (x 0-0) =f (x 0) =f (x 0+0)
注 多项式函数,有理分式函数,正弦余弦函数在各自定义域连续
间断点的分类
设x 0是f (x ) 的一个间断点,如果:
(1)f (x ) 的左右极限都存在,称x 0为f (x ) 第一类间断点,可分为
可去型:f (x 0-0) =f (x 0+0) ,但lim f (x ) ≠f (x 0) x →x 0
跳跃型:f (x 0+0) ≠f (x 0-0)
(2)左极限f (x 0-0) 与右极限f (x 0+0) 两者之中至少有一个不存在(无穷型间断点和振荡型间断点)
⎧x 2, 0≤x ≤1例1 设f (x ) =⎨,讨论f (x ) 在x =1处的连续性
⎩x +1, x >1
解 由于f (1) =1,而
x →1lim (x +1)=2 x 2=1,lim f (x ) =lim f (x ) =lim --++x →1x →1x →1
因此l i m f (x ) 不存在,x =1是第一类间断点,且为跳跃间断点。 x →1
⎧x 4⎪, x ≠0例2 设f (x ) =⎨x ,讨论f (x ) 在x =0处的连续性。
⎪⎩1, x =0
解 由于f (0) =1,lim f (x ) ≠f (0) ,因此x =0是第一类间断点,且为可去间断点。 x →0
例3 f (x ) =1在x =1是什么间断点。 2(x -1)
解 f (x ) =11x =1在处没有定义,且=∞,则x =1为f (x ) 的无lim x →1(x -1) 2(x -1) 2
穷间断点。
连续函数的运算
1、连续函数的性质
定理1(局部有界性) 若函数f 在点x 0连续,则存在x 0的某一邻域U (x 0, h ) ,在U (x 0, h ) 内函数f (x ) 有界
定理2(局部保号性) 若函数f 在点x 0连续,且f (x 0) >0,则存在某个邻域U (x 0, h ) ,在U (x 0, h ) 内f (x ) >0
2、连续函数的四则运算
定理2 若函数f 和g 都在点x 0连续,即lim f (x ) =f (x 0) ,lim g (x ) =g (x 0) ,则有 x →x 0x →x 0
x →x 0lim {α⋅f (x ) +β⋅g (x ) }=α⋅f (x 0) +β⋅g (x 0)
x →x 0lim {f (x ) *g (x ) }=f (x 0) *g (x 0)
x →x 0lim f (x ) f (x 0) =,其中g (x 0) ≠0 g (x ) g (x 0)
注 正切余切正割余割函数在各自定义域连续
3、 反函数的连续性
定理3 如果函数y =f (x ) 是(a , b ) 内严格单调增加(减少)的连续函数,则其反函数y =f -1(x ) 在(f (a ), f (b )) 或(f (b ), f (a )) 也连续
注 反三角函数、指数、对数函数在各自定义域连续
4、复合函数的连续性
定理4 若函数u =g (x ) 在点x 0连续,又函数f 在点g (x 0) =u 0连续,则复合函数f g 在点x 0连续,即
x →x 0lim f (g (x )) =f (lim g (x )) =f (g (x 0)) x →x 0