空间向量的坐标表示
空间向量的坐标表示
[本周重点]:空间右手直角坐标系,向量的坐标运算,夹角公式,距离公式。
[本周难点]:向量坐标的确定以及夹角公式,距离公式的应用。
[知识要点]:
一、空间直角坐标系中空间向量的直角坐标表示 在空间直角坐标系O一xyz中,以
存在唯一一组有序实数组x、y、z,使
为单位正交基底, 对空间任一点A,对应向量
,
,则在空间直角坐标系中,点A的
坐标为(x,y,z),其中x叫做点A的横坐标;y叫做点A的纵坐标;z叫做点A的竖坐标. 向量
的坐标为(x,y,z)。
(1)空间直角坐标系是在仿平面直角坐标系的基础上,选取空间任意一点O和一个单位正交基底
(
按右手系排列)建立的坐标系,做题选择坐标系时,应注意点O的任意性,原点O
的选择要便于解决问题,既有利于作图直观性,又要尽可能使各点的坐标为正。
(2)空间任一点P的坐标确定的办法如下:作P在XOY平面上的射影点
XOY平面内的坐标 (x,y,0),求出
二、空间向量的直角坐标运算: 设
(1)
(2)
-
=(a1-b1,a2-b2,a3-b3); +
=(a1+b1,a2+b2,a3+b3);
则
并确定符号即z,得坐标P(x,y,z)。
,求出
在
(3)
=a1b1+a2b2+a3b3.
(4)
// 或
.
(5)
(6)A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则
三、夹角和距离公式: 1、向量
与
的夹角:设
则
a1b1+a2b2+a3b3=0.
注意:
.
(1)夹角公式可以根据数量积的定义推出:
中θ的范围是
(2)
用此公式求异面直线所
,其
成角等角
度时,要注意这些角度与θ的关系(相等,互余,互补)。
2、两点距离公式:设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)为空间两点,则
的坐标表示,然后
两点间距离公式是模长公式的推广,首先根据向量的减法推出向量
再用模长公式推出。
3、平面的法向量:如果表示向量
于平面α,记作
四、利用向量的坐标理论完成解题的程序: 建立空间直角坐标系O-xyz,对空间图形中的向量
.如果
的有向线段所在的直线垂直于平面α,则称这个向量垂直
叫做平面α的法向量
,那么向量
进行量化处理,用坐标(x,y,z)进行表示.
利用坐标运算与图形的数量关系、位置关系之间的对应,完成解题过程.
重点例题讲解:
例1.已知空间三点A(—2,0,2),B(—1,1,2),C(—3,0,4)。设
(Ⅰ)求
(Ⅱ)若向量
分析:
(Ⅰ)利用数量积定义求
cos (Ⅱ)先求出
解: (Ⅰ)
,
与
,再求
;
与
互相垂直,求k的值。
坐标表示,利用数量积为0求k
(Ⅱ)
,
,
例2.已知ΔABC中,
A(2,-5,3),
的坐标及∠A的大小.
解:
设B(x,y,z),C(x1,y1,z1), ∵
,
,求其余顶点、向量
∴
∴B(6,-4,5). ∵
解得
∴
∴C(9,-6,10). ∵
∴
=(-7,1,-7).
解得
∴
∴
.
点评:在求角时,如果不是特殊角,应考虑用反三角函数来表示.
例3.如图所示,M、N、P分别是正方体ABCD—A1B1C1D1中的棱CC1、BC、CD的中点。求证:A1P⊥平面DMN。
分析:证明A1P与平面DMN垂直有两种方法:一是证明A1P与平面DMN内两条相交直线垂直;二是证明A1P与平面DMN的法向量平行。
证明: (法一)
建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体棱长为2,
则D(0,0,0),A1(2,0,2),P(0,1,0),M(0,2,1),N(1,2,0) ∴向量
∴
∴A1P⊥平面DMN
(法二)
即直线A1P⊥DM,A1P⊥DN,又∵DM∩DN=D
建立空间直角坐标系如图,各点、向量的示法同法一,设平面DMN的法向量为
y)
=(1,x,
由(1),(2)解得
又
∴
∴
⊥面DMN
即直线A1P⊥面DMN
点评:
(1)利用向量坐标解决立体几何中的平行、垂直、求角、求距离等问题,关键是建立正确的空间直角坐标系,难点是正确表达已知点的坐标;
(2)对空间任意一点A求其坐标的一般方法:过A作z轴的平行线交平面xOy于B,过B分别作x,y轴的平行线,分别交y,x轴于C、D,则由
的坐标.
例4.如图为直三棱柱ABC—A1B1C1,底面△ABC中,CA=CB=1, ∠BCA=90°,棱AA1=2,M、N分别是A1B1,A1A的中点; (Ⅰ)求
(Ⅱ)求
(Ⅲ)求证:A1B⊥C1M。
解:
(Ⅰ)如图建立空间直角坐标系,
则C(0,0,0), C1(0,0,2), A(1,0,0), A1(1,0,2), B(0,1,0), B1(0,1,2)
的长;
的值;
的长度和方向便可求得点A
(Ⅱ)
(Ⅲ)
反馈练习:
1.下列各组向量不平行的是( ) A.
C.
2.已知
3.已知向量
是( )
A.-3或1 B.3或-1 C.-3 D.1
4.已知
=(1-t,1-t,t),
=(2,t,t),则
=(2,4,x),
=(2,y,2),若
,且
⊥
=(-3,2,5),
=(1,x,-1)且
=(1,0,0),
=(0,1,-1),
=(-3,0,0) B.
=(0,-1,1) D.
=(0,1,0),
=(1,0,0),
=(1,0,1) =(0,0,0)
,则x的值为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
,则x+y的值
的最小值是( )
A.
B.
C.
D.
5.已知向量
标是
=(3,5,-1),
=(2,2,3),
=(4,-1,-3),则下列向量的坐
①
2 =__ __。 ②
③
④
6、已知:点A(1,-2,0)和向量
点B的坐标_______________。
7、设„ ABCD的两边是向量
8.已知向量
9.已知ΔABC三顶点A(0,0,3),B(4,0,0),C(0,8,-3),试求: ①三角形三边长; ②三角形三内角; ③三角形三中线长; ④角A的平分线所在向量为
10.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是BB1、DC的中点 (1)求AE与D1F所成的角; (2)证明AE⊥平面A1D1F.
11.已知A(1,2,3),B(2,1,2),P(1,1,2),点Q在直线OP上运动,
(D在BC上),求
与x轴,y轴,z轴的夹角余弦.
=(1,1,0),
=(-1,0,2)且k
+
与2
-
互相垂直,则k=________。 ,则
ABCD的面积是_____。
=(-3,4,12),若向量
,且
|
|等于
的二倍. 则
___ _。
___ _。 ____ _。
求当
取最小值时,求点Q的坐标。
[参考答案]
1.B 2.C 3.A 4.C
5.①(6,10,-2) ②(1,8,5) ③(16,0,-23) ④(3m+2n,5m+2n,-m+3n)
6、(-5,6,24)或(7,-10,-24). 7、
8、
9、 ①
.
②
.
③
④
,
10、设已知正方体的棱长为1,且
以
为坐标向量,建立空间直角坐标系D-xyz,则:
,
(1)
∴
,
∴
∴
,
,即AE与D1F所成的角为
(2)又
,且 ,
∴ AE
D1A1,由(1)知AED1F,且D1A1∩D1F=D1,
∴AE⊥平面A1D1F.
11
、设
,可算得 ,
∴
时,
取量小值
,此时