大一高数(下)2,大一下学期高数总结归纳
《高等数学》（下）期末考试2
一、填空题（共12分）
1． （3分） 若a ={1,3, -2}, b ={-5,1,4}, 则a ⋅b = . 2. （3分） 曲面x 2+y 2+z 2=14在点(1,2,3)处的法线方程为
.
3. （3分） 微分方程y ''+y '-2y =0的通解为 . 4. （3分）设f (x ) 是以2π为周期的周期函数，则其傅里叶级数的系数表 达式为a n =(n =0,1,2, ), b n =(n =1,2, ). 二、选择题（共16分） 1. （4分）级数∑(-1) n
n =1∞
1
为( n 2
c ).
(A)发散 (B)条件收敛 (C)绝对收敛 (D)收敛性不确定
2. （4分）设曲面x 2+y 2=R 2与x 2+z 2=R 2(R >0) 所围成的空间立体
的体积为V , 若该立体在第一卦限部分的体积是V 1, 则（
c ）.
(A)V :V 1=4:1 (B) V :V 1=6:1 (C)V :V 1=8:1 (D) V :V 1=16:1 3. （4分）二重积分⎰⎰f (x , y ) d σ在极坐标系下的面积元素为（B ）.
D
(A)d σ=dxdy (B)d σ=rdrd θ (C)d σ=drd θ (D)d σ=r 2sin θdrd θ 4. （4分）若可微函数z =f (x , y ) 在点(x 0, y 0) 处取得极小值，, 则下列结
论中正确的是(
B ).
(A)f (x 0, y ) 在y =y 0处的导数大于零 (B)f (x 0, y ) 在y =y 0处的导数等于零 (C) f (x 0, y ) 在y =y 0处的导数小于零 (D) f (x 0, y ) 在y =y 0处的导数不存在 三、计算题（共12分）
1. （6分）设f (x , y ) =e xy +(y 2-1)arctan xy , 求f x (x ,1). 2. （6分）设z =f (x , y ) 由方程e z -xyz =0所确定，求dz . 四、计算题（共18分）
1. （6分）计算二重积分⎰⎰(x 2+y 2-x ) d σ, 其中D 是由直线y =2, y =x 及
D
y =2x 所围成的闭区域.
2. （6分）将函数f (x ) =ln(2+x ) 展开为麦克劳林级数.
3. （6分）在斜边边长为定数l 的直角三角形中, 求有最大周长的直角三角形.
五、计算题（共12分） 1. （6分）计算曲线积分⎰
, 其中L 为x 2+y 2=a 2(a >0), y =x
及x 轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界.
2. （6分）求曲面积分I =⎰⎰xdydz +ydzdx +
(z 2-2z ) dxdy , 其中∑为锥面
∑
z =
z ≤1) 的下侧.
六、计算题（共18分）
⎛1⎫
1. （6分）计算曲线积分⎰(x 2y -2y ) dx + x 3-x ⎪dy , 其中c 是由直线
c
⎝3⎭
x =1, y =x , y =2x 所围成的三角形的正向边界.
11
2. （6分）判别级数∑tan 的敛散性.
n n =1n
∞
3. （6分）求幂级数∑(-1)
n =1
∞
n -1
(x +1) n
的收敛半径和收敛区间. n
七、计算题（共12分）
1. （6分）求微分方程y ''-y =4xe x 在初始条件y x =0=0, y 'x =0=1下的
特解.
2. （6分）设曲线积分⎰[f (x ) -e x ]sinydx -f (x )cos ydy 与路径无关,
L
其中f (x ) 有一阶连续的导数, 且f (0)=0, 求f (x ) .
评分标准
一、 1. -10 ; 2.
x -1y -2z -3
==; 123
3. y =C 1e x +C 2e -2x . 4. a n =
π⎰π
-
1
π
f (x )cos nxdx , b n =
f (x )sin nxdx ; ; ⎰ππ
-
1
π
二、 1 C; 2 C; 3 B; 4 B. 三、 1 解
x
f (x , 1=) e , 2分
∴f x (x ,1) =e x . 4分 2 解 方程两边求微分得e z dz -yzdx -xzdy -xydz =0, 3分 dz =
yzdx +xzdy
3分
e z -xy
2
y
四、 1 解 画图 1分
22
原式 =⎰dy ⎰y (x +y -x ) dx 2分
2
2⎡193⎤
=⎰⎢y 3-y 2⎥dy 2分 0248⎦⎣
=
13
. 1分 6
2 解
x 2x 3x 4
l n (+1x =) x -+-+
234x 1
+(-1)
n +1
n
n +
+(-1x
2分
x ⎫x ⎫⎛⎛
∴ln(2+x ) =ln 2 1+⎪=ln 2+ln 1+⎪ 1分
2⎭2⎭⎝⎝⎛x ⎫⎛x ⎫⎛x ⎫ 2⎪ 2⎪x 2⎪⎝⎭=ln 2+-+⎝⎭-⎝⎭+
2234
2
3
4
⎛x ⎫
⎪n ⎝2⎭+(-1) +n +1
n +1
(-1
x
≤1), 2
2分
x x 2x 3x 4
=ln 2+-+-+
22⋅223⋅234⋅24x n +1
+(-1) +
(n +1) ⋅2n +1
n
(-2
1分 3 解 设周长和两个直角边分别为z , x , y ,
则z =x +y +l , l 2=x 2+y 2. 1分
作辅助函数为F (x , y ) =x +y +l +λ(l 2-x 2-y 2), 1分 由拉格朗日乘数法，
⎧F x =1-2
λx =0, ⎪
⎨F y =1-
2λy =0, 2分 ⎪222⎩
l =x +y .
⎫
⎪. 由问题本身的性质可知最大值一定存在，⎪⎭⎝
解之得唯一可能的极值点并在该点处取得，既当两个直角边分别为
, l ，斜边为l 时，周长最大. 22
2分
五、 1 解 画图 1分 原式
=
⎰
+⎰
π
2
+ 3分
=
a
xdx +⎰4a dt +0
1分
a 2πa 2a 2
+ =242
= 1+
⎛⎝
π⎫
2a . 1分 ⎪4⎭
2 解 画图 1分
补充平面∑1:z =1(x 2+y 2≤1) 取上侧. 1分 由高斯公式可得
I =
∑+∑1
⎰⎰xdydz +ydzdx +(z 2-2z ) dxdy -⎰⎰xdydz +ydzdx +(z 2-2z ) dxdy
∑1
=⎰⎰⎰(1+1+2z -2) dxdydz -
Ω
x 2+y 2≤1
⎰⎰
-1dxdy 2分
=
⎰
2π
d θ⎰rdr ⎰2zdz +π 1分
r
11
=
3π
. 1分 2
六、1 解 画图 1分 由格林公式得
=⎰⎰[(x 2-1) -(x 2-2)]dxdy 分
D
=
11
⋅1⋅1=. 2分 22
2 解 由比较判别法的极限形式 1分
11
tan
=1, 2分 lim n
n →∞1
n 2
而级数
1
收敛, 所以原级数收敛. 3分 ∑2n n =1
∞
3 解
ρ=l i n →∞
a n +1
2分 =a n
∴R =1, 1分
又当x +1=1时原级数收敛, 当x +1=-1时原级数发散,
2分 所以原级数的收敛区间为(-2,0]. 1分 七、1 解 特征方程为r 2-1=0,
特征值是r 1=-1, r 2=1, 1分 所以齐此方程的通解为 y =C 1e -x +C 2e x . 1分 因为λ=1是特征方程的单根，故可设特解为y *=x (ax +b ) e x , 1分
利用待定系数法可得a =1, b =-1, 1分
于是原方程的通解为y =C 1e -x +C 2e x +(x 2-x ) e x . 1分 将初始条件代入上式得所求特解为y =e x -e -x +(x 2-x ) e x .
1分
2 解 由所给条件可知
[f (x ) -e x ]cosy =-f '(x )cos y , 1分
即 f '(x ) +f (x ) =e x . 分
1
用常数变易法可得通解为f (x ) =Ce -x +e x , 分
21
将初始条件代入上式得C =-, 分
2
所求函数为f (x ) =
1x 1-x
e -e . 分 22