关于极值点_拐点问题的探讨_余桂东
第32卷第2期
2007年4月 昆明理工大学学报(理工版)
Jour nal ofK un m i ngU n i versity of Sci ence a nd Technology (Sci ence and Technolo gy) Vo. l 32 N o . 2 Apr . 2007
关于极值点、拐点问题的探讨
余桂东
(安庆师范学院数学与计算科学学院, 安徽, 安庆, 246011)
摘要:利用数学归纳法及相关引理将文献[1]中通过考察U -(x 0) 和U +(x 0) 内f c (x ) 或f Ê(x) 的符号来判断(x 0, f (x0) ) 为曲线y =f (x) 的拐点的充分条件推广到通过考察U -(x 0) 和U +(x 0) 内f
(n )
00
(x ) 的符号来判断(x 0, f (x0) ) 是否为曲线y =f (x) 的拐点与极值点, 并在此基础上得到若y =
(n -1)
f (x ) 在点x =x 0的某去心邻域内具有(n -1) 阶导数, 在x =x 0具有n 阶导数(n \2), 如果f c (x 0) =f d (x 0) =, =f
(x 0) =0, 而f
(n )
(x0) X 0, 则当n 为奇数时, (x 0, f (x 0) ) 是拐点不是极值点;
(n)
当n 为偶数时, (x0, f (x 0) ) 是极值点不是拐点, 且当f 为极大值点. 最后将本文所得三定理举例加以应用.
关键词:拐点; 极值点; 导数中图分类号:O157
文献标识码:A
(x 0) >0时为极小值点, 当f
(n )
(x0)
文章编号:1007-855X (2007) 02-0121-04
D iscussi on of Extre m e Value Poi nt and Inflection Point
YU Gui -dong
(Depart m ent ofM a t he m a ti c o fA nqi ng T eacher . s Co llege , A nq i ng , A nhu i 246011, Ch i na)
Abst ract :F irstly , m athe m atical i n ducti v e m ethod and o t h er le mm a are adopted to judge whether (x 0, f (x 0) ) is or is not the po i n t of inflecti o n and the po i n t of extre m e val u e by exa m i n i n g the sign o f f U +(x 0) . It is then concl u ded t h at if y =f (x ) has f
(n -1)
(n )
(n -1)
(n )
(x ) i n U -(x 0) and
(x) i n U (x 0) and f
0(n)
(x 0) (n \2), f c (x 0) =f d (x0) =
, =f (x 0) , f (x 0) X 0, (x 0, f (x0) ) is the po int o f i n flecti o n and is not the point o f ex tre m e va l u e when n
is odd nu m ber , (x 0, f (x0) ) is not the point of i n flecti o n and is t h e po i n t o f extre m e va l u e when n is even nu m-ber , furt h er m ore (x 0, f(x 0) ) is extre m e m ini m um val u e w hen f val u e when f
(n )
(n )
(x0) >0and (x 0, f (x0) ) is ex tre m e m ax i m um
(x0)
K ey w ords :po i n t of inflection ; po int of ex tre m e va l u e ; derivative
0引言
到目前为止, 虽然有关判别极值点与拐点的方法已有很多结果, 但利用高阶导数判别极值点与拐点最好的办法要算文[1]和[2]的结论, 本文对这两个结论进行了推广, 在理论与应用两方面有重要的意义.
1相关定义与相关结论
定义1
[4]
若(x 0, f (x0) ) 为连续曲线y =f(x ) 上严格凸与严格凹的分界点, 则称(x 0, f(x 0) ) 为曲线
y =f (x) 的拐点.
定义2 若函数f 在点x 0的某邻域U (x0) 内对一切x I U(x 0) 有f (x0) \f (x) (f(x 0) [f (x) ), 则称函数f 在点x 0取得极大(小) 值f (x 0), 称点x 0为极大(小) 值点.
引理1
[3]124[3]92-93
设函数f 在(a, b) 内可导. 若f c (x) >0(fc (x)
收稿日期:2006-09-29. 基金项目:国家自然科学基金资助项目(项目编号:10501021) ; 安徽省高等学校自然科学研
究资助项目(项目编号:2005k j 214).
作者简介:(1973~女, 讲师、. :. -m ai:l yugui d @. edu .
122昆明理工大学学报(理工版) 第32卷
减).
引理2
[3]142
设f 在x 0连续, 在U (x 0, D ) 内可导.
(x0-D , x 0) 时f c (x ) \0, 当x I
(x0-D , x 0) 时f c (x ) [0, 当x I
(x 0, x 0+D ) 时f c (x ) [0, 则f 在x 0取得极大值.
(x 0, x 0+D ) 时f c (x ) \0, 则f 在x 0取得极小值.
( ) 若当x I
( ) 若当x I 引理3X 0.
[3]142
设函数f 在点x 0的某邻域U (x0) 内一阶可导, 在x =x 0处二阶可导, 且f c (x0) =0, f d (x 0)
( ) 若f d (x 0) 0, 则f 在x 0取得极小值.
引理4 设f 为I 上二阶可导函数. 若在I 上f d (x 0) >0(f d (x 0)
证明 ( ) 任取x 1, x 2I I , 不妨设x 10, 在[x 1, x 2]上应用拉格朗日中值定理, 存在N I
(x 1, x 2), 使得f(x 2) -f (x1) =f c (N ) (x 2-x 1) , 由引理1知f c 在I 上严格递增, 因而f c (N ) (x 2-x 1) >f c (x1) (x2-x 1). 这样f (x 2) -f(x 1) >f c (x 1) (x 2-x 1). ( ) 任取x 1, x 2I I , 令x 3=K x 1+(1-K )x 2(0
f (x 1) >f (x 3) +f c (x 3) (x 1-x 3) =f(x 3) +(1-K )f c (x 3) (x1-x 2) f (x 2) >f (x 3) +f c (x 3) (x 2-x 3) =f(x 3) +K f c (x3) (x 2-x 1). 分别用K 和(1-K ) 乘以上列两式并相加, 得到K f(x 1) +(1-K )f (x 2) >f (x 3) =f(K x 1+(1-K ) x 2). 从而f 在I 上严凸. 同理可证严凹情形. 引理5
[1]98
设函数y =f (x ) 在点x 0可导, 在U (x0; D ) 内二阶可导, 且f c (x 0) =0. 若在U -(x0) 和
00
U +(x 0) 内f c (x) 的符号相同, 则点(x 0, f (x0) ) 是曲线y =f(x ) 的一个拐点.
引理6
[1]99
设函数y =f(x ) 在点x 0的邻域U (x 0, D ) 内三阶可导, 且f d (x0) =0. 若在U -(x0) 和
U +(x 0) 内f Ê(x ) 的符号相同, 则点(x 0, f(x 0) ) 是曲线y =f (x ) 的拐点.
从上面两个定义看出极值点是指横坐标为x 0的X 轴上的点, 拐点(x 0, f (x0) ) 是曲线上的点, 为了叙述简便, 下文把极值点x 0所对应曲线上的点(x 0, f(x 0) ) 称为极值点, 即下文的极值点也在曲线上.
2主要结论
定理7 设y =f(x ) 在点x =x 0的某邻域内具有n 阶导数(n \2), 如果f c (x 0) =f d (x 0) =, =f
(n-1)
(x0) =0, 且在U -(x0) 和U +(x 0) 内f
00(n)
(x ) 的符号相同, 则当n 为奇数时, (x0, f (x 0) ) 是拐点不是
(n )
极值点; 当n 为偶数时, (x 0, f(x 0) ) 是极值点不是拐点, 且当在U -(x 0) 和U +(x 0) 内f
(n )
(x ) 同为负时,
f (x 0, f(x 0) ) 是极大值点, 当在U -(x 0) 和U +(x 0) 内f (x ) 同为正时, (x0, f (x 0) ) 是极小值点.
证明 ¹当n =2时, 由引理4知曲线y =f (x ) 在(x0, f (x 0) ) 两侧同为严凹或同为严凸, 故此时(x 0, f (x 0) ) 不是拐点. 当f d (x ) 在U -(x0) 和U +(x 0) 内同为负时, 由引理1与f c (x0) =0知当x I U -(x0) 时f c (x) >0; 当x I U +(x 0) 时f c (x ) 0, 由引理2知(x 0, f (x0) ) 是极小值点.
当n =3时由引理6知(x 0, f(x 0) ) 是拐点. 不妨设在U -(x 0) 和U +(x0) 内f Ê(x ) 的符号同为正, 由引理1与f d (x 0) =0知当x I U -(x0) 时f d (x ) 0, 再由引理1与f c (x0) =0知当x I U -(x 0) 时f c (x) >0, 当x I U +(x 0) 时f c (x ) >0, 故(x 0, f (x0) ) 不是极值点.
º假设n [k 时结论成立.
00(k+1) (k ) 0
»当n =k +1时, 设在U -(x 0) 和U +(x 0) 内f (x ) >0, 由引理1与f (x 0) =0知在U -(x 0) 内f
(k)
00
(x )
(k-1)
0(k)
(x) >0, 再由引理1与f
(k-1)
(x 0) =0知在U -(x 0) 内f
0(k-1)
(x ) >0, 在
U +0, (, 1) )
第2期 余桂东:关于极值点、拐点问题的探讨
123
当(k -1) 为偶数, 即(k +1) 为偶数时, (x 0, f (x0) ) 是极小值点不是拐点. 同理可证在U -(x0) 和U +(x 0) 内f
(k+1)
(x)
极大值点不是拐点. n =k +1即时结论仍然成立.
由¹º»知定理7成立.
定理8 设y =f(x ) 在点x =x 0的某邻域内具有n 阶导数(n \2), 如果f c (x 0) =f d (x 0) =, =f
(n-1)
(x0) =0, 且在U -(x0) 和U +(x 0) 内f
00(n)
(x ) 的符号相异, 则当n 为偶数时, (x0, f (x 0) ) 是拐点不是
(n )
极值点; 当n 为奇数时, (x 0, f (x 0) ) 是极值点不是拐点, 且当在U -(x 0) 内f
(n)
(x ) >0在U +(x 0) 内f
(n)
0(n )
(x )
(x ) 0时, (x 0, f(x 0) ) 是
极小值点.
证明 ¹当n =2时, 由引理4知(x 0, f (x 0) ) 是曲线y =f (x ) 的拐点. 不妨设在U +(x 0; D ) 内f d (x ) >0, 在U -(x0; D ) 内f d (x ) 0, 在U -(x 0; D ) 内f c (x ) >0, 故y =f (x ) 在U(x 0; D ) 内严格单调增加, 此时(x0, f (x 0) ) 不是极值点.
当n =3时, 不妨设在U +(x 0; D ) 内f Ê(x ) >0, 在U -(x 0; D ) 内f Ê(x ) 0, 在U -(x 0; D ) 内f d (x) >0, 由引理4知此时(x0, f (x 0) ) 不是拐点. 再由引理1与f c (x0) =0知在U +(x 0; D ) 内f c (x ) >0, 在U -(x0; D ) 内f c (x ) 0时不是拐点是极大值点.
º假设n [k 时结论成立.
»当n =k +1时, 设在U +(x 0; D ) 内f f
(k)
(k+1)
00
(x) >0, 在U -(x0; D ) 内f
(k)
0(k+1)
(x )
(k+1)
(x 0) =0知在U +(x0; D ) 内f
(k-1)
0(k) 0
(x ) >0, 在U -(x 0; D ) 内f
(k-1)
(x) >0. 再由引理1与f (x) =0知
在U +(x 0; D ) 内f (x ) >0, 在U -(x 0; D ) 内f (x)
(k+1)
(x)
0(k+1)
(x) >0时不是拐点是极大值点.
由¹º»知定理成立.
定理9 设y =f (x ) 在x =x 0点的某去心邻域内具有(n -1) 阶导数, 在x =x 0具有n 阶导数(n \2), 如果f c (x 0) =f d (x 0) =, =f
n-1
(x 0) =0, 而f
(n)
(x 0) X 0, 则当n 为奇数时, (x 0, f(x 0) ) 是拐点不是
(n )
极值点; 当n 为偶数时, (x 0, f(x 0) ) 是极值点不是拐点, 且当f 为极大值点.
证明 不妨设f
(n )
(x 0) >0时为极小值点, 当f
(n ) (x )
(x0) =x li m y x f
(n-1)
f
n-1
(n-1)
(x ) -f (x 0) =x li m >0, 由极限的局部保号性知必存在y x x -x 0x -x 00
n-1
(x) 0(n-1) 0(n-1)
>0, 即在U +(x0; D ) 内f (x ) >0, 在U -(x 0; D ) 内f (x )
x -x 0
由定理8知当(n -1) 为偶数时, 即n 为奇数时(x 0, f (x0) ) 是拐点不是极值点, 当(n -1) 为奇数时, 即n 为D >0, 当x I U (x; D ) 时
偶数时(x 0, f (x0) ) 不是拐点是极小值点, 同理可证f
(n )
(x 0)
3应用举例
例1 设F (x ) =
x
(2t-x ) f (t) d t , 其中函数f (x ) 可导, 且f c (x) >0在区间(-1, 1) 内成立, f (x) 在Q
x
x
x
点x =0处二阶可导, 则(0, F (0) ) 是曲线y =F (x ) 的拐点, 但不是极值点.
证明 F (x) =
(2t -x )f (t) d t =2Q tf (t) d t -x Q f(t) d t , Q F c (x ) =xf (x ) -Q (x ) f(t) d t , F d (x) =xf c (x )
x 0
F (x 0; F d 08(0, F ) )
124昆明理工大学学报(理工版) 第32卷
F (x) 的拐点, 但不是极值点.
F d (0) =0又F Ê(x) =f c (x ) +xf d (x ), F Ê(0) >0, 由定理9知(0, F (0) ) 是曲线y =F (x ) 的拐点, 但不是极值点..
54
例2 设f(x ) =x +x , 则(0, 1) 是y =f (x ) 的极小值点, 但不是拐点.
证明 f c (x) =5x +4x , f d (x ) =20x +12x , f Ê(x ) =60x +24x, f c (0) =f d (0) =f Ê(0) =0, f 由定理9知极小值点不是拐点. 参考文献:
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2
(4)
4
3
3
2
(x ) =120x +24, f
(4)
(0) >0,
(上接第98页)
5结 论
本文采用将道路的行驶条件、路面的线形、纵坡, 前导车和跟随车之间的相关性等因素考虑在内的车辆跟驰模型, 改进了原有水利水电工程交通仿真中的这个缺陷, 使车辆可根据路况等信息的变化而及时调整速度, 通过在某水利工程中的应用以及与原有方法相比较表明, 该仿真模型更能反映实际情况. 随着人工智能技术已经融入城市交通系统的管理, 下一步的工作应着眼于在水利工程中建立交通监控系统, 便于管理者直接、形象地对可能出现的冲突进行预测、控制. 参考文献:
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