高二数学人教版上学期期中试卷(文)

【本讲教育信息】

一. 教学内容：

期中考试复习

二. 本周教学重、难点： 1. 重点：

不等式的性质、证明、均值不等式、不等式的解法、含绝对值不等式、直线的倾斜角和斜率，直线方程和位置关系。 2. 难点：

不等式的证明，含绝对值不等式，直线的方程与位置关系。

【典型例题】

[例1] 设00，a ≠

解：∵ 01即a >

1

，试比较|log 3a (1-x ) 3|与|log 3a (1+x ) 3|的大小。 3

1时 3

|log 3a (1-x ) 3|-|log 3a (1+x ) 3|=3[-log 3a (1-x ) -log 3a (1+x )]

=-3log 3a (1-x 2) >0（∵ 02

1时 3

|log 3a (1-x ) 3|-|log 3a (1+x ) 3|=3[log3a (1-x ) +log 3a (1+x )]

=3log 3a (1-x 2) >0

由（1）（2）知：|log 3a (1-x ) 3|>|log 3a (1+x ) 3|

a 2b 2

+[例2] 当0

a 2b 2a 2b 2a 2(1-x ) b 2x 22

+=[x +(1-x )]⋅(+) =a +b ++解：y = x 1-x x 1-x x 1-x

a 2(1-x ) b 2x

≥a +b +2⋅=a 2+b 2+2ab =(a +b ) 2

x 1-x

2

2

a a 2(1-x ) b 2x

=当且仅当 即x =时，取“=”

a +b x 1-x

[例3] 求证：a 2+b 2+b 2+c 2+c 2+a 2≥

2

2

2(a +b +c )

证明：∵ a +b ≥2ab ∴ 2(a 2+b 2) ≥a 2+b 2+2ab

∴

a 2+b 2≥

22

|a +b |≥(a +b ) 22

2

同理：b +c ≥

2

22

(b +c ) ，c 2+a 2≥(c +a ) 22

三式相加得：a 2+b 2+b 2+c 2+c 2+a 2≥

[例4] 已知：a >b >c ，求证：

证明：∵ a >b >c ∴ (a -c )(

2(a +b +c )

111

++>0 a -b b -c c -a

1111

+) =(a -b +b -c ) ⋅(+) a -b b -c a -b b -c

≥2a -b )(b -c ) ⋅2

∴

1

=4>1

(a -b )(b -c )

111111

+>++>0 ∴ a -b b -c a -c a -b b -c c -a

[例5] 解下列不等式：

15x 2-11x +2

-2x +3x +2

（2）|

x x |> x +3x +3

（3）|2x +log 2x |

（1）原不等式化为：(15x -11x +2)(2x -3x -2) >0

2

2

(5x -2)(3x -1)(2x +1)(x -2) >0

112

或2 235x x x |>

∴ x

⎧2x >0

（3）原不等式等价于⎨ ∴ 0

log x

[例6] 求证：|ax +2|≥|2x +b |恒成立的条件为ab =4且|a |≥2

证明：由题设得(ax +2) 2≥(2x +b ) 2即(a 2-4) x 2+(4a -4b ) x +4-b 2≥0

⎧a 2-4=0⎪2

（1）当a -4=0时，有⎨4a -4b =0⇒a =b =2或a =b =-2故命题成立

⎪4-b 2≥0⎩

⎧a 2-4>0

（2）当a -4>0时，有⎨得|a |≥2且(ab -4) 2≤0

⎩∆≤0

2

即|a |≥2且ab =4

∴ 由（1）（2）知原命题成立

[例7] 一条直线被两条直线l 1：4x +y +6=0，l 2：3x -5y -6=0截得的线段的中点恰好是坐标原点，求这条直线的方程。

解：方法一：由题意，所求直线过原点且斜率存在，设此直线的方程为y =kx 分别与l 1、求得与l 1的交点坐标(l 2的方程联立，

-6-6k 66k

, ) ，, ) 令与l 2的交点坐标为(k +4k +43-5k 3-5k

-6611

+=0解得k =- ∴ y =-x k +43-5k 66

方法二：设所求直线与l 1，l 2的交点分别是A 、B 设A （x 0, y 0）

∵ AB 关于原点对称 ∴ B （-x 0, -y 0）

⎧4x 0+y 0+6=0(1)

又 ∵ A 、B 分别在l 1、l 2上 ∴ ⎨

-3x +5y -6=0(2) 00⎩

（1）+（2）得x 0+6y 0=0 即点A 在直线x +6y =0上，又直线x +6y =0过原点 ∴ 所求直线的方程为x +6y =0

[例8] 已知两直线l 1：x +m 2y +6=0，l 2：(m -2) x +3my +2m =0，当m 为何值时，

l 1与l 2（1）相交（2）平行（3）重合

解：当m =0时，l 1：x +6=0，l 2：x =0 ∴ l 1//l 2

当m =2时，l 1：x +4y +6=0 l 2：3y +2=0 ∴ l 1与l 2相交

1m 2

=当m ≠0且m ≠2时，由得m =-1或m =3 m -23m

由

16

=得m =3 m -22m

∴（1）当m ≠-1，m ≠3且m ≠0时，l 1与l 2相交 （2）当m =-1或m =0时，l 1//l 2 （3）当m =3时，l 1与l 2重合

[例9] 已知过点A （1，1）且斜率为-m (m >0) 的直线l 与x 轴，y 轴分别交于P 、Q ，过P 、Q 作直线2x +y =0的垂线，垂足为R 、S ，求四边形PRSQ 面积的最小值。

1

, 0) ，Q （0, 1+m ） m m +1

=0和x -2y +2(m +1) =0 从而得直线PR 和QS 的方程为：x -2y -m

解：设l 的方程为y -1=-m (x -1) 则P (1+

|2m +2+1+

又 PR //QS ∴ |RS |=

5

11|3+2m +=

2+

又 |PR |=

2

|QS |=m +1 5四边形PRSQ 为梯形

1

S PRSQ =[

2

≥

2+

21

3+2m +

+m +1]⋅=1(m +1+9) 2-1

5m 48055191

(2+) 2-=3. 6 5480

∴ 四边形PRSQ 的面积最小值为3.6

【模拟试题】（答题时间：60分钟）

一. 选择：

1. 已知a

11b a a +b

b 2 C. > D.

a b a b b

x

y

2. 设x ，y ∈R 且x +y =5，则3+3的最小值是（ ） A. 10 B. 63 C. 46 D. 3

3. 某工厂第一年的产量为A ，第二年的增长率为a ，第三年的增长率为b ，这两年的平

均增长率为x ，则（ ） A. x =

a +b a +b a +b a +b

B. x ≤ C. x > D. x ≥ 2222

4

3

4. 设m ≠n ，x =m -m n ，y =mn 3-n 4，则x 、y 的大小关系为（ ） A. x >y B. x =y C. x

2

2

2

B. (a +b +c ) 2≥3 D. a +b +c ≤

111

++≥2 a b c

6. 不等式

|a +b |

≤1成立的条件是（ ）

|a |+|b |

22

A. ab ≠0 B. a +b ≠0 C. ab ≥0 D. ab ≤0

7. 若直线l 的斜率k =-tan α且α是三角形的一个内角，则l 的倾斜角是（ ） A.

π-α B.

π

2

-α C. α D. -α

8. 过直线2x -y +4=0与x -y +5=0的交点，且垂直于直线x -2y =0的直线方程是（ ）

A. 2x +y -8=0 C. 2x +y +8=0

二. 填空：

1. 若a >b >1，不等式

B. 2x -y +8=0 D. 2x -y -8=0

(a -x ) ⋅(b -x )

ax -b

2. 已知y =log b (2-bx ) 在[0，1]上是增函数，则不等式log b |x +2|>log b |x -4|的解

集是

3. 直线2x +11y +16=0关于点P （0，1）对称的直线的方程是4. 过原点的直线与直线x -y +8=0的夹角等于30︒，则其方程是

三. 解答题：

|a 2-b 2||a |-|b |

1. 设a ≠0，a , b ∈R ，求证： ≥

2|a |2

2. 周长为2+1的直角三角形面积的最大值是？

3. 已知l 过点P （3，1）且被两平行直线l 1：x +y +1=0，l 2：x +y +6=0截得的线段长为5，求直线l 的方程。

4. 若抛物线y =2x 2上的两点A （x 1, y 1）B （x 2, y 2）关于直线y =x +m 对称，且

1

x 1x 2=-，求m 的值。

2

【试题答案】

一.

1. B 2. D 3. B 4. A 5. B 6. B 7. A 8. A 二. 1. {x |x

b

或b

2. {x |x

3. 2x +11y -38=0 三.

4. y =

x 或x =0 3

|a 2-b 2||a |-|b |

1. 证明： -

2|a |2||a |2-|b |2||a |-|b |

= -

2|a |2

=

|(|a |+|b |)(|a |-|b |)||a |-|b |

-

2|a |2(|a |+|b |)⋅||a |-|b |||a |-|b |

-

2|a |212

|b |1

) ||a |-|b ||-(|a |-|b |)2|a |2

=

=(+

≥

1111

||a |-|b ||-(|a |-|b |)≥(|a |-|b |)-(|a |-|b |)=0 2222

|a 2-b 2||a |-|b |

∴ 当b =0或a =±b 时取“=” ≥

2|a |2

2. 解：设两直角边为a ，b ，斜边为c ，则c =a +b ∵ a +b +a 2+b 2=∴

2

2

2

+1，a +b +a 2+b 2≥2ab +2ab =(2+2) ab

=

2+12+2

=2

2

ab ≤

a +b +a 2+b 2

2+2

而S =

11ab 当a =b 时，S max = 24

3. 解：设l 与l 1、l 2分别相交于A （x 1, y 1）B （x 2, y 2）

则x 1+y 1+1=0，x 2+y 2+6=0两式相减得(x 1-x 2) +(y 1-y 2) =5（1）

又 (x 1-x 2) 2+(y 1-y 2) 2=25（2） 联立（1）（2）得⎨

⎧x 1-x 2=5⎧x 1-x 2=0

或⎨

y -y =0y -y =522⎩1⎩1

∴ l 的倾斜角为0︒或90︒ ∴ l 的方程为x =3或y =1 4. 解：设AB 的方程为y =-x +b 代入y =2x 2得2x +x -b =0 ∴ x 1+x 2=-

2

1-b 1

=- ，x 1x 2=

222

∴ b =1即AB 的方程为y =-x +1

设A 、B 的中点为M （x 0，y 0）则x 0=得y 0=

x 1+x 21

=-代入y 0=-x 0+1 24

515

又 M （-, ）在y =x +m 上 444513∴ =-+m ∴ m =

442