曲线论 曲线的切线和法平面
§2.3 曲线的切线和法面
给出曲线上一点P，点Q是P的临近一点（如图1），把割线PQ绕
P
点旋转，使Q点沿曲线趋于P点，若割线PQ趋近于一定的位置，则
我们把这个割线PQ的极限位置称为曲线在P点的切线. 定点P称为切点. 直观上看，切线是通过切点的所有直线当中最贴近曲线的直线。
设曲线的参数方程是r=r(t)，切点P对应参数t0，Q点对应参数t0+∆t
（如图
2），则有PQ=r(t0+∆t)-r(t0)。
r (t0+∆t)-r(t0)
在割线PQ上作向量PR，使得PR=
∆t
。
当Q→P（即∆t→0）时，若
r(t)在t0
可微，则由向量函数的微
商可得向量PR的极限
r(t0+∆t)-r(t0)
r'(t0)=lim
∆t→0∆t
。
根据曲线的切线定义，得到
PR
的极限是切线上的一向量
O
r'(t)，它称为曲线上一点的切向
量。
由于我们已经规定只研究曲线的正常点，即r'(t)≠0，所以曲线上一点的切向量是存在的。而这个切向量就是切线上的一个非零向量。由以上的推导过程可以看出，这个切向量的正向和曲线的参数t
的增
量方向是一致的。
现在我们导出曲线上一点的切线方程。
我们仍设曲线上一个切点P所对应的参数为t0，P点的向径是
（如图3），因为ρ-r(t0) r'(t0)，r(t0)，ρ={X,Y,Z}是切线上任一点的向径
则得P点的切线方程为ρ-r(t0)=λr'(t0)，其中λ为切线上的参数。
下面再导出用坐标表示的切线方程。设
r(t0)={x(t0),y(t0),z(t0)}，
r'(t0)={x'(t0),y'(t0),z'(t0)}，
则由上述切线方程消去λ得到
X-x(t0)x'(t0)
=
Y-y(t0)y'(t0)
=
Z-z(t0)z'(t0)
，
这是坐标表示的切线方程。
例1 求圆柱螺线r(t)={acost,asint,bt}在t=
π
3
处的切线方程。
解：易得
r(t)={acost,asint,bt}，
r'(t)={-asint,acost,b}，
t=
π
3
时，有
aπb π
r()={,，
3223a π
r'()={-,,b}， 322
所以切线的方程为
ρ-r(
π
π
)=λr'()33
，
即
ρ=
1-λ2
ae1+
λ2π
ae2+(+λ)be3。
3
如果用坐标表示，则得切线方程为
X-2a=Y-
a2=Z-
π
b
b
，
即
2X-a2Y-
aZ-=
π3
b
=
b
。
经过切点而垂直于切线的平面称为曲线的法平面或法面。下面导出曲线的法面方程。
设曲线上一点P，它所对应的参数为t0，P点的向径是r(t0)，
ρ={X,Y,Z}是法面上任一点的向径
（如图4），则由ρ-r(t0)⊥r'(t0)得到曲线的法面方程为
[ρ-r(t0)]⋅r'(t0)=0
。
若设r(t0)={x(t0),y(t0),z(t0)}，
r'(t0)={x'(t0),y'(t0),z'(t0)}，
则由上述法面方程得到
[X-x(t0)]⋅x'(t0)+[Y-y(t0)]⋅y'(t0)+[Z-z(t0)]⋅z(t0)=0，这就是坐标表示
的法面方程。
例2 求圆柱螺线r(t)={acost,asint,bt}在t=解：易得
π
6
处的法面方程。
r(t)={acost,asint,bt}，
r'(t)={-asint,acost,b}，
t=
π
6
时，有
aπb π
r()=,,，
6226a π
r'()={-,a,b}。 622
所以法面的方程为
π π
[ρ-r()]⋅r'()=0
66
，
即
[X-
2]⋅(-
a2)+(Y-
a2)⋅2
)+(Z-
π
6
b)b=0
，
整理后得到
aX-
-2bZ+
π
3
b=0。
2