数学建模实验(传染病模型)

实验二：传染病模型

1、SI 模型的建立基于以下三个假设，求出平衡点，给出参数，图示模型曲线。

（1）不考虑人口的出生、死亡、流动等种群动力因素。人口始终保持一个常数，即N (t )≡K 。

（2）一个病人一旦与易感者接触就必然具有一定的传染力。假设t 时刻单位时间内，一个病人能传染的易感者数目与此环境内易感者总数S (t )成正比，比例系数为β，从而在t 时刻单位时间内被所有病人传染的人数为βS (t )I (t )。 2、SIS 模型的建立基于以下三个假设，求出平衡点，给出参数，图示模型曲线。

（1）不考虑人口的出生、死亡、流动等种群动力因素。人口始终保持一个常数。即N (t )≡K 。

（2）一个病人一旦与易感者接触就必然具有一定的传染力。假设t 时刻单位时间内，一个病人能传染的易感者数目与此环境内易感者总数S (t )成正比，比例系数为β，从而在t 时刻单位时间内被所有病人传染的人数为βS (t )I (t )。

（3）t 时刻，单位时间内从染病者中治愈的人与病人数量成正比，比例系数为γ，单位时间内治愈的人不具有免疫，将再成为易感者。

3、SIR 模型的建立基于以下三个假设，求出平衡点、给出参数、图示模型曲线。

（1）不考虑人口的出生、死亡、流动等种群动力因素。人口始终保持一个常数，即N (t )≡K 。

（2）一个病人一旦与易感者接触就必然具有一定的传染力。假设t 时刻单位时间内，一个病人能传染的易感者数目与此环境内易感者总数S (t )成正比，比例系数为β，从而在t 时刻单位时间内被所有病人传染的人数为βS (t )I (t )。

（3）t 时刻，单位时间内从传染者中移出的人数与病人数量成正比，比例系数为γ，单位时间内移出者的数量为γI (t ) 。

求解过程

1、SI 模型：由题目条件假设可以得到微分方程：

K

dI

dt

=K βS (t ) I (t ) ，又因为S (t ) +I (t ) =1， 令初始时刻病人的比例为I 0，则有：

dI

dt

=βI (t )(1-I (t )), I (0)=I 0 %求平衡点,r 为有效传染率,x 病人比例 syms r x

solve('r*x*(1-x)','x') ans = 0 1 %方程求解

syms i r t dsolve('Di=r*i*(1-i)','i(0)=i0','t')

ans =

1/(1-exp(-r*t)*(-1+i0)/i0) %绘制图形

r=0.5,i0=0.01 fplot('1/(1-exp(-r*t)*(-1+i0)/i0)',[0,40]) fplot('1/(1-exp(-0.5*t)*(-1+0.01)/0.01)',[0,40]) function di=isf(t,i)di=0.5*i*(1-i); [t,i]=ode45(@isf,[0 40],[0.01]);plot(t,i)

t

4 SI 模型的i~t曲线 图示5 SI 模型的di/dt~i曲线

2、SIS 模型 根据SI 模型及增加的假设条件，可得：

K

di

dt

=βKS (t ) I (t ) -γKI (t ) ，即： di

dt

=βI (t )(1-I (t )) -γI (t ), I (0) =I 0 记 σ=

β

γ

， 则方程改写为 di 1dt =-βi [i -(i -σ)]

i

图示

%求解方程

syms r b i t % b 为有效传染率,r 为治愈率 dsolve('Di=b*i*(1-i)-r*i','i(0)=i0','t') ans =

(b-r)/(b-exp(-(b-r)*t)*(-b+r+i0*b)/i0/(b-r)*b+exp(-(b-r)*t)*(-b+r+i0*b)/i0/(b-r)*r)

%求平衡点

syms x %(b=0.5,r=0.2) solve('0.5*x*(1-x)-0.2*x; ') ans =

0. .[***********][1**********]000 %绘制图形

function di=sisf(t,i) di=0.5*i*(1-i)-0.2*i;

[t,i]=ode45(@sisf,[0 40],[0.01]); plot(t,i)

t

t

图示6 SIS 模型的i~t曲线（σ>1） 图示7 SIS 模型的i~t曲线（σ≤1）

fplot('-0.5*x*[x-(1-1/20)]',[0,1]) fplot('-0.5*x*[x-(1-2)]',[ 0,1])

i

i

图示8SIS 模型的di/dt~i曲线（σ>1） 图示9SIS 模型的di/dt~i曲线（σ≤1） 3、 SIR 模型

dI

=βS (t ) I (t ) -γI (t ), I (0)=I 0dt

dS

=-βS (t ) I (t ), S (0)=S 0dt

模型的方程为{

function dx=sirf(t,x) dx=zeros(2,1);

dx(1)=0.5*x(1)*x(2)-0.2*x(1); %x(1)表示i,x(2)表示s dx(2)=-0.5*x(1)*x(2);

[t,x]=ode45(@sirf,[0 50],[0.01 0.99]); plot(t,x(:,1),t,x(:,2)),grid,pause plot(x(:,2),x(:,1)),grid

0.20.40.60.81

s

图示10 SIR 模型的I (t ), S (t ) 图形 图示11 SIR 模型的相轨线

备注：由于Matlab 与Word 连接不好，所绘制的图形上标的字符在Word 中看不清楚。