14本章小结
第十四章 整式的乘法与因式分解
本章小结
学习目标
1.掌握整式乘除的计算法则;平方差公式和完全平方公式;掌握因式分解的方法和法则;
2.会运用法则进行整式的乘除运算,会对一个多项式分解因式;
3.培养独立思考能力和合作交流意识,培养及时反思的学习习惯.
学习过程
一、自主学习
1.计算:
①a·a3·a5;②(m+n)2·(m+n)3;③(b3)4;④(-4)3·
;⑤(-3x)4.
2.计算:
(1)3x2y·(-2xy3);(2)2a2(3a2-5b);(3)(x-3y)(x+7y).
3.计算:
(1)(3x+2)(3x-2); (2)(b+2a)(2a-b);
(3)(-x+2y)(-x-2y); (4)(4m+n)2;
(5)
4.将下列各式因式分解:
(1)-x3z+x4y; (2)3x(a-b)+2y(b-a);
(3)9x2-12x+4; (4)x4-81x2y2.
二、深化探究 . 结合刚才的计算,回忆下列问题,如果忘记了或不准确,可以查看课本.
1.同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方如何运算?请举例说明.
2.举例说明怎样将多项式乘(除以)单项式转化为单项式的乘除.多项式乘以单项式是如何转化为单项式相乘的?
3.本章学习了哪几个乘法公式?其结构特点是什么?
4.你能从几何的角度用图形解释单项式乘以单项式,多项式乘以多项式,乘法公式吗?
5.举例说明因式分解与乘法公式的关系,因式分解的一般过程与方法有哪些?请举例说明.
三、练习巩固
【例1】已知am=3,an=5,求a3m-2n.
【例2】(1)(x+2y-3)(x-2y+3);
(2)(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5);
(3)(b-2)(b2+4)(b+2).
【例3】已知(a+b)2=7,(a-b)2=4,求a2+b2,ab的值.
【例4】分解因式:
(1)x3-9x; (2)16x4-1; (3)6xy2-9x2y-y3.
四、深化提高
1.下列计算错误的是( )
A.(-a)·(-a)2=a3
B.(-a)2·(-a)2=a4
C.(-a)3·(-a)2=-a5
D.(-a)3·(-a)3=a6
2.计算×1.52 002×(-1)2 004的结果是(
A. B. C.- D.-
3.计算:·(-3xy2)2=
4.计算:(4×106)×(8×103)=.
)
5.当x=2时,代数式ax3+bx-7的值为5,则x=-2时,这个代数式的值为.
6.下列各式中,相等关系一定成立的是( )
A.(x-y)2=(y-x)2
B.(x+6)(x-6)=x2-6
C.(x+y)2=x2+y2
D.6(x-2)+x(2-x)=(x-2)(x-6)
7.(x+2)(x-2)(x2+4)的计算结果是( )
A.x4+16 B.-x4-16
C.x4-16 D.16-x4
8.1 9922-1 991×1 993的计算结果是( )
A.1 B.-1 C.2 D.-2
9.( )(5a+1)=1-25a2,(2x-3) =4x2-9,(-2a2-5b)(=4a4-25b2.
10.(x-y+z)(-x+y+z)=[z+()][=z2-(2.
11.多项式x2+kx+25是另一个多项式的平方,则k=
12.若x2+2(m-3)x+16是完全平方式,则m的值等于( )
A.3 B.-5 C.7 D.7或-1
13.把(a+b)2-4(a2-b2)+4(a-b)2分解因式的结果是
A.(3a-b)2 B.(3b+a)2
C.(3b-a)2 D.(3a+b)2
14.若多项式x2+pxy+qy2=(x-3y)(x+3y),则p,q的值依次为( )
A.-12,-9 B.-6,9
C.-9,-9 D.0,-9 ( )
15.分解因式:4x2-9y2=
16.若x=3.2,y=6.8,则x2+2xy+y2=.
17.计算
(1)(x-6)(x2+x+1)-x(2x+1)(3x-1);
(2)(2x+1)(x-1)-(x+2)(2x-1).
(3)(2x+3y)2-(4x-9y)(4x+9y)+(2x-3y)2;
(4)(x+2y)(x-y)-(x+y)2.
18.分解因式.
(1)(x+y)2-9y2; (2)10b(x-y)2-5a(y-x)2.
19.已知2x=a,2y=b,求2x+y+23x+2y的值.
20.如果(2a+2b+1)(2a+2b-1)=63,求a+b的值.
21.已知(a+b)2=60,(a-b)2=80,求a2+b2及ab的值.
22.已知x-y=1,xy=2,求x3y-2x2y2+xy3的值.
23.利用因式分解计算1 9992+1 999-2 0002.
24.观察下列等式:
13=12
13+23=32
13+23+33=62
13+23+33+43=102
…… 想一想,等式左边各项的底数与等式右边的底数有什么关系?猜一猜,可以得出什么规律?
五、反思小结
通过本节复习,你对整式的乘法与因式分解的知识有什么新的认识?
参考答案
一、自主学习
1.解:①a·a3·a5=a1+3+5=a9;②(m+n)2·(m+n)3=(m+n)2+3=(m+n)5;
③(b3)4
==b12;④(-4)3·==13=1.⑤81x4.
2.解:(1)3x2y·(-2xy3)=[3·(-2)](x2·x)(y·y3)=-6x3y4.
(2)2a2(3a2-5b)=2a2·3a2-2a2·5b=6a4-10a2b.
(3)(x-3y)(x+7y)=x2+7xy-3xy-21y2=x2+4xy-21y2.
3.解:(1)(3x+2)(3x-2)=(3x)2-22=9x2-4.
(2)(b+2a)(2a-b)=(2a)2-b2=4a2-b2.
(3)(-x+2y)(-x-2y)=(-x)2-(2y)2=x2-4y2.
(4)(4m+n)2=(4m)2+2·4m·n+n2=16m2+8mn+n2.
(5)=y2-2y·
+=y2-y+.
4.解:(1)原式=x3(-z+xy);(2)原式=(a-b)(3x-2y);
(3)9x2-12x+4=(3x-2)2;(4)x4-81x2y2=x2(x2-81y2)=x2(x+9y)(x-9y).
二、深化探究
三、练习巩固
【例1】解:a3m-2n=a3m÷a2n=(am)3÷(an)2=33÷52=
【例2】解:(1)(x+2y-3)(x-2y+3)=[x+(2y-3)]·[x-(2y-3)]=x2-(2y-3)2=x2-(4y2-12y+9)=x2-4y2+12y-9.
(2)(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)=(y2-4)-(y2+4y-5)=y2-4-y2-4y+5=-4y+1.
(3)(b-2)(b2+4)(b+2)=(b-2)(b+2)(b2+4)=(b2-4)(b2+4)=b4-16.
【例3】解:由题意可知,
a2+2ab+b2=7,
a2-2ab+b2=4,
①+②得2(a2+b2)=11,∴a2+b2=.
①-②得4ab=3.∴ab=.
【例4】解:(1)x3-9x=x(x2-9)=x(x+3)(x-3)
(2)16x4-1=(4x2+1)(4x2-1)=(4x2+1)(2x+1)·(2x-1)
(3)6xy2-9x2y-y3=-y(9x2-6xy+y2)=-y(3x-y)2.
四、深化提高
1.A 2.A 3.-x8y7 4.3.2×1010 5.-19 6.A
7.C 8.A 9.1-5a 2x+3 -2a2+5b
10.x-y z-(x-y) x-y 11.±10 12.D 13.C
①②
14.D 15.(2x+3y)(2x-3y) 16.100 17.(1)原式=-5x3-6x2-4x-6;(2)原式=1-4x;(3)原式=-8x2+99y2;(4)原式=-xy-3y2.
18.(1)原式=(x+4y)(x-2y);(2)原式=5(x-y)2(2b-a).
19.解:∵2x=a,2y=b,∴+23x+2y=2x·2y+23x·22y=2x·2y+(2x)3·(2y)2=ab+a3b2.
20.解:∵(2a+2b+1)(2a+2b-1)=63,
∴[(2a+2b)+1][(2a+2b)-1]=63,
∴(2a+2b)2-1=63,∴(2a+2b)2=64,∴2a+2b=8或2a+2b=-8,
∴a+b=4或a+b=-4,∴a+b的值为4或-4.
21.a2+b2=70,ab=-5.
22.解:x3y-2x2y2+xy3=xy(x2-2xy+y2)=xy(x-y)2.当x-y=1,xy=2时,原式=2×12=2.
23.解:1 9992+1 999-2 0002=1 9992-2 0002+1 999=(1 999+2 000)(1 999-2 000)+1 999 =-(1 999+2 000)+1 999=-1 999-2 000+1 999=-2 000.
24.由上述等式可以发现:
13=12
13+23=32=(1+2)2
13+23+33=62=(1+2+3)2
13+23+33+43=102=(1+2+3+4)2
……
综上所述,有13+23+33+…+n3=(1+2+3+4+…+n)2.