函数极限中等价无穷小的应用探讨
第１１卷第６期２００９年１１月
铜仁学院学报
ＪｏｕｒｎａＩｏｆＴｏｎｏｒｅｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ
函数极限中等价无穷小的应用探讨
李强
（铜仁学院数学系，贵州铜仁５５４３００）
摘要：利用等价无穷小量作代换是计算极限的一种常用、方便、有效的方法．围绕无穷小之比、变上限
积分的极限，幂指函数极限和Ｔａｙｌｏｒ为简、化难为易的目的．
关键词：
等价无穷小；
式，利用等价无穷小代换思想进行分析应用，以此达到极限求解中化繁
函数；极限；应用
文章编号：１６７３－９６３９（２００９）０６－０１４２－０３
中图分类号：０１７１文献标识码：Ａ
极限的计算方法是多样灵活的，也很有技巧性。其中等价无穷小代换是计算未定式极限的常用方法。但许多教材和工具书对其没有作深入讲解，只是一带而过，致使很多学生对这一概念理解不够，对其应用颇感茫然，更有人不明就里、胡乱套用。如果恰当选择用来替换的无穷小，可以使计算简化，但替换中要严格遵守无穷小替换法则，即下述的定理ｌ。
定理ｌ在自变量同一变化过程中的无穷小量，设口～口’，
（１）若口与声不等价，ｊ殳ｌ，ｉ。ｍａ∥＝七（七≠１），于是有：
若ｋ≠ｏ。，则ｌ，ｉ。ｍ小ａ－ｐ∥＝姆手－－可ｈＩ＝西ｋ－１＝Ｉ。
若ｋ：ｏｏ，贝ｌＪｌｉｍ＿－ｆｌ：０，于是
曰
户～∥，且ｌｈ芳存在，则ｌｉｍ芳＿Ｉｈ芳ｕ１・
该定理的证明见参考文献【ｌ】。
．
定理ｌ说明，无穷小替换只能在商运算中使用。其实不然，
下面介绍另外三种用法。
ｌｘｉ－ｍ＊Ｏ尝口＿ｐ＝脚乏１啼－ｒ＝而１－０乩
推论：设口、∥、ｙ是自变量同一变化过程中的无穷小
１．无穷小之比
无穷小代换在商式中使用时，必须满足一定条件，否则就会出现错误。比如：
例ｌ求ｌｉｒａｔａｎｘ－，ｓ—ｉｎ—ｘ。
Ｊ—蝴
工。
量，且口一∥，∥～∥，则有：（１）当口与∥不等价时，
则ｌｉｍ。。型：ｌｉｍａ＇－ｆｌ＇．：
。…
，
Ｊｏｏ
矿
（２）当口与∥等价时，上式极
解：原式＝ｌｉｍ三：：：０。。。蛐
Ｊ。
事实上，应该是如下的情形：
ｌｉｒａ．ｔａｎｘ＿＿；ｓｉｎｘ．：ｌｉｍ—ｓｉ—ｎ—ｘ—（：１—－—ｃ—ｏ—ｓｘ）：１２
ｘ．－＋Ｏ
工’ｘ－－＋ＯＸ・ｘ‘・ＣＯＳ工
蚴嘞忑ａ仙ｒｃｔａ（ｎ，２抖ｘ＋（ｅ。－郴１）忑。
原式：Ｉｉｍ．塾竺：６。
一３ｘ＋一１
ｘ一３ｘ
究其原因，无穷小代换在商式中使用时，必须满足一定条件，即定理２。
定理２设口～∥，夕～∥，则：
（１）若口与∥不等价，则口一∥～∥一∥。
收稿日期：２００９－０９．２４
作者简介：李强（１９７７．），男，贵州省铜仁市人，贵州铜仁学院数学系讲师．研究方向：数学教育．方程。
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李强：函数极限中等价无穷小的应用探讨
２．变上限积分的极限
常用的变上限积分的等价无穷小有；
例４求ｌｉｒａ
，—，Ｏ
Ｃｆ出一ｊ：ｏｓｉｎ
ｔａｆｔ～ｔａｎ
ｔｄｔ～Ｉｏ＂ａｎ：ｓｉｎ
ｔｄｔ
—ｒａｒｃ啪础一ｃｌｎ（１＋ｒⅫ～ｃ（口’一ｌ
ｋ～等
解：原式
肛洲肌詈
胂＋曲４一ｌ弦～罢Ｊ２
＝物寒＝磐黔＝姆旁硼
ｒ（口ｒ—Ｄｄｔ～三２
２
ｍ口
３．幂指函数极限和Ｔａｙｌｏｒ公式使用
ｌ
其中ａ＞０，ａ≠Ｉ。
定理设口。口，，∥～∥，且ｌｉｍ一（１＋口’）∥＝Ａ，Ｘ＿Ｕ
上述等式可以用洛必达法则直接证明，证明中我们可以三
上
看到被积函数之间均是等价无穷小，由此可得将被积函数用则ｌｉｍ一（１＋口）∥＝ｌｉｍ（１＋口’）声’＝Ａ。等价无穷小代换后的变上限积分仍是等价无穷小，即是：
Ｘ－－．＇．Ｕ
Ｊ—÷０
定理若当ｘ－－’Ｏ，厂（ｘ）一ｏ，，’（ｘ）存在，Ｆ（ｘ）寸ｏ，
硼明
Ｇ（ｘ）－－，ｏ，声（工）～Ｇ（Ｊ），则ｒｈ’Ｆ（ｆ）疵～ｒｂ’ｏ（ｔ）ａｔ。
｛ｉＦ明２
甥ｍ加
．ｇ枷
ｈ—ｍ
０Ｆ＋一＋旦∥∥一∥
＝胍雠
姆雠
…！鳃（ｃｏｓ扩
＝肌艄解：因舳ｓ－－：＝１－２ｓｉｎ（爿２，当ｘ－－－）ｏｏ时，有
＝肌删
ｓ；ｎ（苷（妤所以
ｃ柚。ｓｉｎｔ２ｄｔ～ｃ皿。ｄｄｔ：三ｔａｎ＇Ｊ（工＿０）脐！文・一甜：或一玎～：Ｉ
挪∞
１
ｒ‘Ｊ’【（１＋ｒ）４—１１出～０‘。刃出＝要【，（ｆ）】２（当ｘ—ｏ时，
例６求ｌｉｒａ竺￥。
ｘ－－－）Ｏ
工’
厂（Ｊ）＿ｏ。）
…姆糌。
“嘟小争鲁，
一￡工２１工４
ｅ
２～１一二一Ｊ－一二一
２１
４
２１
…蜘器２粤翥＝卿争・
．．．
．．．ＣＯＳＸ—ｅ～２～睁爿ｘ４
一
～Ｉ二一之Ｉ１４３
２０１０年第１期
铜仁学院学报
因此，原式：ｌｉｍ』掣Ｊ４：占一—ｌ＿：一上
Ｉ
Ｊ－－’ｏ
ｌ
【ｌ】同济大学数学教研室．高等数学（上册）（第４版）【Ｍ】．北京：高等
教育出版社，２００６．
【２】符世斌．幂指函数极限的一种简捷求法（ＪＪ．高等数学研究，１９９９，２
（３）：２０－２１．
Ｊ４
４１
４・２１１２
综上所述，我们看到等价无穷小的应用非常广泛，但还是要具体情况具体分析，同时结合洛必达法则，选择合理恰当的方法进行求解。
【３】杨春林，张传芳．变上限积分的等价无穷小［Ｊ】．高等数学研究，２００４
（１１）．
【４】肖岸纯．等价无穷小性质的理解、延拓及应用［Ｊ】．数理医药学杂志，
参考文献：
２００７，２０（５）．
ＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｏｆｔｈｅＥｑｕｉｖａｌｅｎｔＩｎｆｉｎｉｔｅｓｉｍａｌｉｎＦｕｎｃｔｉｏｎａｌＬｉｍｉｔ
ＬＩ
Ｑｉａｎｇ
５５４３００，Ｃｈｉｎａ）
（ＤｅｐａｒｔｍｅｎｔｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，Ｔｏｎｇｒｅｎ
Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｔｏｎｇｒｅｎ，Ｇｕｉｚｈｏｕ
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｕｓｉｎｇ
ｏｎ
ｔｈｅＥｑｕｉｖａｌｅｎｔＩｎｆｉｎｉｔｅｓｉｍａｌｉｓ
ａ
ｃｏｍｍｏｎ，ｃｏｎｖｅｎｉｅｎｔａｎｄｅｆｆｅｃｔｉｖｅｍｅｔｈｏｄ
ｔｏ
ｃａｌｃｕｌａｔｅｌｉｍｉｔｓ．Ｔｈｉｓｐａｐｅｒｃｅｎｔｅｒｓ
ｔｈｅｒａｔｉｏｂｅｔｗｅｅｌｌｐｏｌｙｎｏｍｉａｌｓａｎｄｉｎｆｉｎｉｔｅｓｉｍａｌ，ｔｈｅｌｉｍｉｔｏｆｖａｒｉａｂｌｅｕｐｐｅｒｌｉｍｉｔｉｎｔｅｇｒａｌａｎｄｔｈｅｌｉｍｉｔｏｆｐｏｗｅｒ－ｅｘｐｏｎｅｎｔｆｕｎｃｔｉｏｎ，ａｓ
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Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：
ｅｑｕｉｖａｌｅｎｔ
ｉｎｆｉｎｉｔｅｓｉｍａｌ；
ｆｕｎｃｔｉｏｎ；ｌｉｍｉｔ；ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ
（责任编辑王婷婷）
●一－－－－－－－－●●－＿●●－－－●●一一一－一●●●一一一－一－●－－－－－●－●●－●－一一一－一－一一一一一＿－－－－●●－－一●＿一一●●＿－－●●●●－－－－－●－＿●一－－
（上接１４１页）
ＴｈｅＳｔａｔｉｓｔｉｃａｌＩｎｆｅｒｅｎｃｅｏｆＶａｒｉａｔｉｏｎＣｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｏｆＳａｍｐｌｅ
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ＧＵＳａｉ．ｓａｉ
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（１．ＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓＤｅｐａｍｎｅｎｔ，ＳｏｕｔｈｅａｓｔＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｎａｎｊｉｎｇ，Ｊｉａｎｇｓｕ２１００９６，Ｃｈｉｎａ；
２．Ｆｏｕｎｄａｔｉｏｎ
ＣｏｌｌｅｇｅｏｆＣｈｅｍｉｃａｌ
Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｎａｎｊｉｎｇ，Ｊｉａｎｇｓｕ２１００４８，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：ＶａｒｉａｔｉｏｎＣｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｉｓ
ａｎｉｍｐｏｒｔａｎｔ
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ｒｅｆｌｅｃｔｔｈｅｏｖｅｒａｌｌｄｅｇｒｅｅ
ｏｆｄｉｓｐｅｒｓｉｏｎ．Ｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ，Ｗｅｓｔｕｄｉｅｄｔｈｅ
ａｓｙｍｐｔｏｔｉｃｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎｏｆｖａｒｉａｔｉｏｎｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｏｆｓａｍｐｌｅｂｙｔｈｅｄｅｌｔａｍｅｔｈｏｄ，ａｎｄｆｕｒｔｈｅｒｅｓｔａｂｌｉｓｈｅｄｃｏｎｆｉｄｅｎｃｅｉｎｔｅｒｖａｌａｎｄｔｅｓｔ
ｓｔａｔｉｓｔｉｃｓ，ａｎｄ
ｍｅｔｈｏｄ，ａｎｄ
ｇａｖｅ
ｔｈｅｓｉｍｕｌａｔｉｏｎｃｏｖｅｒａｇｅｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙｏｆｃｏｎｆｉｄｅｎｃｅｉｎｔｅｒｖａｌｓａｎｄｔｈｅｓｉｍｕｌａｔｉｏｎｅｆｆｅｃｔｉｖｅｎｅｓｓｏｆｔｅｓｔｂｙＭｏｎｔｅＣａｒｌｏ
ａｎａｌｙｚｅｄ
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ｆｉｎａｌｌｙｗｅ
ｇｒｏｕｐｏｆｐｒａｃｔｉｃａｌ
ｅｘａｍｉｎａｔｉｏｎｒｅｓｕｌｔｓｂｙｔｈｅｍｅｔｈｏｄｏｂｔａｉｎｅｄｆｒｏｍｔｈｉｓｐａｐｅｒ．
ｉｎｔｅｒｖａｌｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ；ｈｙｐｏｔｈｅｓｉｓｔｅｓｔｉｎｇ
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：
Ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｏｆｖａｒｉａｔｉｏｎ；ｄｅｌｔａｍｅｔｈｏｄ；
（责任编辑王婷婷）
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函数极限中等价无穷小的应用探讨
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：
李强
铜仁学院,数学系,贵州,铜仁,554300铜仁学院学报
JOURNAL OF TONGREN UNIVERSITY2010，12(1)0次
参考文献(4条)
1. 同济大学数学教研室 高等数学 2006
2. 符世斌 幂指函数极限的一种简捷求法 1999(3)3. 杨春林. 张传芳 变上限积分的等价无穷小 2004(11)4. 肖岸纯 等价无穷小性质的理解、延拓及应用 2007(5)
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,Ak(x)-lnx/x-1～ak(x-1)2k-2的代数函数Ak(x)(k=2,3,4)的表达式以及条件④中相应系数a2及a3的值,并利用该方法构造出了A5(x),求出了相应的系数a4及a5的值.
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9.期刊论文 王烂漫 高等数学中求极限的常用方法 -湖南工程学院学报(自然科学版)2002,12(3)
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下载时间：2010年8月6日