立体几何测试题+答案(一)

立体几何练习试题(一)

班级 姓名 得分

一．选择题（本大题共12小题，共60分）

1．如图给定的是纸盒的外表面，下列哪一项能由它折叠而成（ ）

A ． B ． C． D ．

2．在一个正方体的展开图中，5个正方形位置如图中阴影部分所示，第6个正方形在编号①到⑤的某个位置上，则第6个正方形所有可能位置的编号是（ ）

A ．②③ B ．②④ C ．①③ D ．③⑤

3．若某多面体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此多面体的体积是（ ）

A ．cm

3

B ．cm

3

C ．1cm D．2cm

33

4．如图，三棱台ABC ﹣A 1B 1C 1中，A 1B 1：AB=1：2，则三棱锥B ﹣A 1B 1C 1与三棱锥A 1﹣ABC 的体积之比为（ ）

A ．1：2 B ．1：3

C ．1： D ．1：4

5．如图所示，将无盖正方体纸盒展开，直线AB ，CD 在原正方体中的位置关系是( )

A ．平行 B ．相交 C ．异面 D ．相交成60°

6．如图长方体中，AB=AD=2，CC 1=2，则二面角 C1—BD —C 的大小为（ ） （A ）30 （B ）45 （C ）60 （D ）907．棱长为的正四面体内切一球，然后在正四面体和该球形成的空隙处各放入一个小球，则这些球的最大半径为（ ） A ．

8．设l 、m 、n 表示不同的直线，α、β、γ表示不同的平面，给出下列4个命题： ①若m ∥l ，且m ⊥α，则l ⊥α； ②若m ∥l ，且m ∥α，则l ∥α；

③若α∩β=l，β∩γ=m，γ∩α=n，则l ∥m ∥n ；

④若α∩β=m，β∩γ=l，α∩γ=n，且n ∥β，则m ∥l ． 其中正确命题的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

9．已知二面角α﹣l ﹣β为60°，AB ⊂α，AB ⊥l ，A 为垂足，CD ⊂β，C ∈l ，∠ACD=135°，则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为（ ） A ．

B ．

C ．

D ．

B ．

C ．

D ．

10．若α，β为两个不同的平面，m ，n 为不同直线，下列推理： ①若α⊥β，m ⊥α，n ⊥β，则直线m ⊥n ；

②若直线m ∥平面α，直线n ⊥直线m ，则直线n ⊥平面α； ③若直线m ∥n ，m ⊥α，n ⊂β，则平面α⊥平面β；

④若平面α∥平面β，直线m ⊥平面β，n ⊂α，则直线m ⊥直线n ； 其中正确说法的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

11．已知二面角α﹣AB ﹣β的平面角是锐角θ，α内一点C 到β的距离为3，点C 到棱AB 的距离为4，那么tan θ的值等于（ ） A ．

B ．

C ．

D ．

12． 如图，四棱锥E ﹣ABCD 中，底面ABCD 是梯形，且AB ∥CD ，2AB=3CD，点F 是线段EA 上的点，且EC ∥平面BDF ，则

等于（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

二．填空题（本大题共4小题，共20分）

13．如图AB 为圆O 的直径，点C 在圆周上（异于A ，B 点）直线PA 垂直于圆所在的平面，点M 为线段PB 的中点，有以下四个命题： （1）PA ∥平面MOB ； （2）MO ∥平面PAC ；

（3）OC ⊥平面PAB ； （4）平面PAC ⊥平面PBC ， 其中正确的命题是______．

14．将一副斜边长相等的直角三角板拼接成如图所示的空间图形，其中AD=BD=， ∠BAC=30°，若它们的斜边AB 重合，让三角板ABD 以AB 为轴转动，则下列说法正确的是______．

①当平面ABD ⊥平面ABC 时，C 、D 两点间的距离为； ②在三角板ABD 转动过程中，总有AB ⊥CD ；

③在三角板ABD 转动过程中，三棱锥D ﹣ABC 体积的最大值为

．

15．已知点P ，A ，B ，C ，D 是球O 表面上的点，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是边长为2正方形．若PA=2，则△OAB 的面积为______．

16．如图，三个半径都是10cm 的小球放在一个半球面的碗中，小球的顶端恰好与碗的上沿处于同于水平面，则这个碗的半径R 是__ ____cm．

三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17．(10分) 如图，在四面体ABCD 中，CB ＝CD ，AD ⊥BD ，且E 、F 分别是

AB 、BD 的中点．

求证：(1)EF ∥平面ACD ； (2)平面EFC ⊥平面BCD .

18．(12分) 如图, 在四面体ABCD 中，△ABC 与△DBC 都是边长为4的正三角形．

(1)求证：BC ⊥AD ；

(2)若点D 到平面ABC 的距离等于3，求二面角A －BC －D 的正弦值；

19．(12分) 如图，四棱锥P -ABCD 的底面是正方形，PD ⊥底面ABCD ，点E 在棱PB 上.

（1）求证：平面AEC ⊥平面PDB ；（2

）当PD =

20、(12分) 如图，在边长为a 的菱形ABCD 中，E,F 是PA 和AB 的中点。∠ABC=60°，PC ⊥面ABCD ；

（1）求证： EF||平面PBC ; （2）求E 到平面PBC 的距离。

A

F

C 且E 为PB 的中点时，求AE 与平面PDB 所成的角的大小.

B

21.(12分) △ABC 所在平面外有一点P ，A ′、B ′、C ′分别是△PAB 、△PBC 、△PAC 的重心． (1)求证：平面A ′B ′C ′∥平面ABC . (2)求S △A ′B ′C ′与S △ABC 的比值．

22．(12分) 如图，已知P A ⊥矩形ABCD 所在的平面，M 、N 分别为AB 、PC 的中点，∠PDA

＝45°，AB ＝2，AD ＝1. (1)求证：MN ∥平面P AD ； (2)求证：平面PMC ⊥平面PCD ； (3)求三棱锥M —PCD 的体积．

参考答案

一．选择题（共13小题）

1． 【解答】解：由已知中纸盒展开图，可得：该几何体是一个棱台，

从上住下看，四个侧面按逆时间排列应为：①空白梯形，②有中位线的梯形，③有两条平行于底面的三等分线的梯形，④有侧高的梯形，故排除A ，B ，

结合上底中位线的方向，可知②④侧面与上底的中位线平行，可排除D ，故选：C 2． 【解答】解：根据正方体的展开图特征，阴影部分的五个正方形复原正方体，可知后面无盖，只能是②③使之成为封闭的正方体．故第六个正方形可以是③，也可以是②， 故选A ． 3．【解答】解：由已知中的三视图，可得该几何体由一个以俯视图为底面的三棱锥和三棱柱组成而成，底面面积S=×1×1=cm ， 棱锥的高为2﹣1=1cm，棱柱的高为1cm ，

故棱锥的体积为××1=cm ，棱柱的体积为：×1=cm ， 故组合体的体积V=+=cm ， 故选：A ．

4． 【解答】解：∵三棱台ABC ﹣A 1B 1C 1中，A 1B 1：AB=1：2，

33

3

2

∴==

==．

故选：D ．

5． 【解答】选：D ． 6． 无

7． 【解答】解：由题意，此时的球与正四面体相切， 由于棱长为

的正四面体，故四个面的面积都是

=3

又顶点A 到底面BCD 的投影在底面的中心G ，此G 点到底面三个顶点的距离都是高的倍， 又高为

=3，故底面中心G 到底面顶点的距离都是2

=2

，

=，

．

由此知顶点A 到底面BCD 的距离是此正四面体的体积是×2

×3

=2

又此正四面体的体积是×r ×3上面的三棱锥的高为

×4，故有r=

，原正四面体的高为2

所以空隙处放入一个小球，则这球的最大半径为a ，

∴a=

． 故选C ．

，

8． 【解答】解：易知命题①正确；在命题②的条件下，直线l 可能在平面α内，故命题为假；在命题③的条件下，三条直线可以相交于一点，故命题为假；在命题④中，由α∩γ=n知，n ⊂α且n ⊂γ，由n ⊂α及∥βα∩β=m，得n ∥m ，同理n ∥l ，故m ∥l ，命题④正确． 故答案选B ．

9． 【解答】解：如图，过A 点做AE ⊥l ，使BE ⊥β，垂足为E ，过点A 做AF ∥CD ，过点E 做EF ⊥AE ，连接BF ， ∵AE ⊥l ∴∠EAC=90° ∵CD ∥AF 又∠ACD=135° ∴∠FAC=45° ∴∠EAF=45°

在Rt △BEA 中，设AE=a，则AB=2a，BE=a ， 在Rt △AEF 中，则EF=a，

AF=a ， 在Rt △BEF 中，则BF=2a，

∴异面直线AB 与CD 所成的角即是∠BAF ， ∴cos ∠

BAF=

=

=

． 故选：B ．

10． 【解答】解：对于①，若α⊥β，m ⊥α，n ⊥β，根据面面垂直和线面垂直的性质定理可以得到直线m ⊥n ；故①正确；

对于②，若直线m ∥平面α，直线n ⊥直线m ，则直线n 与平面α可能平行或者相交；故②错误；

对于③，若直线m ∥n ，m ⊥α，则n ⊥α，n ⊂β，满足面面垂直的判定定理所以平面α⊥平面β；古③正确；

对于④，若平面α∥平面β，直线m ⊥平面β，则m ⊥α，n ⊂α，则直线m ⊥直线n ；正确； 故正确命题故个数是3个； 故选：C

11． 【解答】解：如图，作CE ⊥AB ，CD ⊥β，连接ED ， 由条件可知，∠CED=θ，CD=3，CE=4 ∴ED=

，tan

=

， 故选C

12． 【解答】解：在EA 上取点F 使EF ：FA=2：3，连接AC ，BD 交于O ，连接OF ， ∵底面ABCD 是梯形，且AB ∥CD ，2AB=3CD， ∴△COD ∽△AOB ， 则

，

∵，∴，

则FO ∥CE ，

∵CE ⊄在面BDF 中，OF ⊂面BDF ， ∴EC ∥平面BDF 成立， 故

=， 故选：B

13． 【解答】解：由题意可知PA ⊥平面ABC ，点M 为线段PB 的中点，O 是圆的圆心，所以MO ⊥平面ABC ，PA ∥OM ，所以PA 与MO 共面，（1）不正确； 又PA ∥OM ，OM ⊄平面PAC ，PA ⊂平面PAC ，∴MO ∥平面PAC ；（2）正确； 因为AB 为圆O 的直径，点C 在圆周上（异于A ，B 点），所以OC 不垂直AC ，所以OC ⊥平面PAB ；不正确；

因为AB 为圆O 的直径，点C 在圆周上（异于A ，B 点），所以BC ⊥AC ，∵直线PA 垂直于圆所在的平面，∴BC ⊥PA ，可知BC ⊥平面PAC ，BC ⊂平面PBC ，所以平面PAC ⊥平面PBC ， （4）正确． 故答案为：（2）（4）．

14． 【解答】解：①取AB 中点O ，连接DO 、CO ， ∵AD=BD=，∴DO=1，AB=2，OC=1

∵平面ABD ⊥平面ABC ，DO ⊥AB ，∴DO ⊥平面ABC ，DO ⊥OC ， ∴DC=，①正确；

②若AB ⊥CD ，则AB ⊥平面CDO ，AB ⊥OC ，∵O 为中点，∴AC=BC，∠BAC=45°与∠BAC=30°矛盾，∴②错误； ③当DO ⊥平面ABC 时，棱锥的高最大，此时V 棱锥=××AC ×BC ×DO=×

×1×1=

．③正确．

故答案是①③

15． 【解答】解：依题意，可将P ，A ，B ，C ，D 补全为长方体ABCD ﹣A ′B ′C ′D ′，让P 与A ′重合，则球O 为该长方体的外接球，长方体的对角线PC 即为球O 的直径． ∵ABCD 是边长为2正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA=2，

222

∴PC =AP+AC =24+24=48， ∴2R=4，R=OP=2，

∴△OAB 为边长是2的等边三角形， ∴S △OAB =×2

×2

×sin60°=3

．

故答案为：3．

16． 【解答】解：分别作出空间几何体的正视图和俯视图如图：

则俯视图中，球心O （也是圆心O ）是三个小球与半圆面的三个切点的中心， ∵小球的半径为10cm ，

∴三个球心之间的长度为20cm ， 即OA=

cm ．，

在正视图中，球心B ，球心O （同时也是圆心O ），

和切点A 构成直角三角形， 则OA 2

+AB 2

=OB2

，

其中OB=R﹣10，AB=10， ∴， 即，

∴，

即R=10+

=

cm ． 故答案为：

． 17．证明 (1)∵E ，F 分别是AB ，BD 的中点，

∴EF 是△ABD 的中位线，∴EF ∥AD ， ∵EF ⊄面ACD ，AD ⊂面ACD ， ∴EF ∥面ACD .

(2)∵AD ⊥BD ，EF ∥AD ，∴EF ⊥BD . ∵CB ＝CD ，F 是BD 的中点， ∴CF ⊥BD .

又EF ∩CF ＝F ，∴BD ⊥面EFC . ∵BD ⊂面BCD ，∴面EFC ⊥面BCD .

18．证明：(1)取BC 中点O ，连结AO ，DO ． ∵△ABC ，△BCD 都是边长为4的正三角形， ∴AO ⊥BC ，DO ⊥BC ，且AO ∩DO ＝O ， ∴BC ⊥平面AOD ．又AD ⊂平面AOD ，

∴BC ⊥AD ．

解：(2)由(1)知∠AOD 为二面角A －BC －D 的平面角，设∠AOD ＝ ，垂足为E ．

∵BC ⊥平面ADO ，且BC ⊂平面ABC ，

∴平面ADO ⊥平面ABC ．又平面ADO ∩平面ABC ＝AO ， ∴DE ⊥平面ABC ．

∴线段DE 的长为点D 到平面ABC 的距离，即DE ＝3． 又DO ＝

3

2

BD ＝2，

则过点D 作DE ⊥AD ，

在Rt △DEO 中，sin ＝

DE ＝，

2DO

． 2

故二面角A －BC －D 的正弦值为19. 无 20、（1）证明：

AE =PE , AF =BF , ∴EF ||PB

又 EF ⊄平面PBC , PB ⊂平面PBC , 故 EF ||平面PBC

（2）解：在面ABCD 内作过F 作FH ⊥BC 于H

PC ⊥面ABCD , PC ⊂面PBC

∴面PBC ⊥面ABCD

又 面PBC 面ABCD =BC ，FH ⊥BC ，FH ⊂面ABCD ∴FH ⊥面ABCD

又EF ||平面PBC ，故点E 到平面PBC 的距离等于点F 到平面PBC 的距离FH 。

在直角三角形FBH 中，∠FBC =60, FB =

a

， 2

FH =FB sin ∠FBC =

a a 3⨯sin 600=⨯=a 2224

故点E 到平面PBC 的距离等于点F 到平面PBC 的距离， 等于

a 。 4

21. [解析] (1)连PA ′并延长交AB 于A ″， 连PB ′并延长交BC 于B ″， 连PC ′并延长交AC 于C ″，

连A ″B ″，B ″C ″.∵A ′、B ′分别为△PAB 、△PBC 的重心，∴

PA ′PB ′

＝ PA ″PB ″

∴A ′B ′∥A ″B ″，同理B ″C ″∥B ′C ′，∴平面A ′B ′C ′∥平面A ″B ″C ″，即平面

A ′B ′C ′∥平面ABC

.

(2)由(1)A ′B ′PB ′2211

＝∴A ′B ′＝A ″B ″，又A ″B ，∴A ′B ′＝，

A ″B ″PB ″332同理B ′C 13AB ，A ′C ′＝1S △A ′B ′C ′1

3BC ，∴S ＝△ABC 922．(1)证明 取PD 的中点E ，连接AE ，EN ，∵N 为中点， ∴EN 为△PDC 的中位线，∴EN 1

2，又∵CD 綊AB ，M 为中点，

∴EN 綊AM .∴四边形AMNE 为平行四边形，∴MN ∥AE . 又∵MN ⊄平面PAD ，AE ⊂平面PAD ， ∴MN ∥平面PAD .

(2)证明 ∵PA ⊥平面ABCD ，

CD ⊂平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD .

∴PA ⊥CD ，PA ⊥AD . ∵CD ⊥AD ，PA ∩AD ＝A ， ∴CD ⊥平面PAD .

又∵AE ⊂平面PAD ，∴CD ⊥AE . ∵∠PDA ＝45°，E 为PD 中点， ∴AE ⊥PD .

又∵PD ∩CD ＝D ，∴AE ⊥平面PCD . ∵MN ∥AE ，∴MN ⊥平面PCD ，

又∵MN ⊂平面PMC ， ∴平面PMC ⊥平面PCD . (3)解 V 111

M —PCD ＝V P —CDM ＝3S △CDM ·PA ＝3×2CD ×AD ×PA

131

2×2×1×1

3

＝