浅谈中学数学转化与化归思想的巧妙运用

浅谈中学数学转化与化归思想的巧妙运用

陈运栋

(湛师10级 数本1班 32 广东湛江，524048）

摘要：转化与化归是数学思想方法的灵魂，如今中学数学中许多问题的解决都离不开转化与化归. 本人将通过巧妙运用转化与化归的思想原则及方法策略，分析、点评典型数学例题，展示巧用转化与化归思想方法的启发与便利作用，归纳得到中学数学巧妙运用转化与化归思想方法的要求与途径.

关键字：中学数学；转化与化归；思想方法；巧妙运用

中图分类号：O1-0

近年来，许多省份的中考、高考数学考题越来越注重以思想方法为主，计算为辅的命题方向，然而在各种数学思想方法中，转化与化归思想的解题运用也越来越广泛，运用篇幅的占据比重也越来越重 .

如今，中学数学中许多问题的解决都离不开转化与化归：数形结合思想体现了数于形的相互转化，函数方程思想体现了函数、方程、不等式间的相互转化，分类讨论思想体现了局部与整体的相互转化. 化归思想也是中考高考的重要考查对象，数学中的各种变换多离不开化归，换言之，转化与化归是数学思想方法的灵魂.

1 概念及模式

数学中的化归与转化思想方法，指的是在研究和解决有关数学问题时，通过某种转化过程，归结到一类已经解决或比较容易解决的问题，最终求得问题的解答的一种手段和方法. 化归与转化的思想方法的特点是实现问题的规范化，模式化，以便应用已知的理论，方法和技巧达到问题的解决.

转化与化归思想方法的思维模式框架图如下：

2 方法与策略

在化归思维过程中，我们往往对原来问题中的条件进行了简化，分化，转化，特殊化的变形，最后将原问题归结为简单的，熟悉的问题而得到解决. 应用转化和化归思想解题的原则一般是化难为易、化生为熟、化繁为简，尽可能是等价转化. [1]

而在数学试题中常见的转化策略有：正与反的转化、数与形的转化、相等与不等的转化、整体与局部的转化、空间与平面的转化、常量与变量的转化、数学语言的转化等. 接下来，本文将针对以上方法策略的应用，分析一些典型数学题，巧妙运用转化与化归的思想方法，展现其效果与特点优势.

3 化归与转化遵循的原则

熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决.

简单化原则：将复杂的问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据.

和谐化原则：化归问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐的形式，或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们的思维规律.

直观化原则：将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决.

正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获解.

4 方法与策略的妙用

下面谈谈化归与转化思想方法在中学数学应用中主要涉及的基本类型.

4.1 一般与特殊的转化

数学题目有的具有一般性，有的具有特殊性，解题时，有时需要把一般问题化归为特殊问题，有时需要把特殊问题化归为一般问题．

例1：设等比数列｛a n ｝的公比为q ，前n 项和为S n ，若S n +1、S n 、S n +2成等差数列，则q =___________.

分析：由于该题为填空题，我们不防用特殊情况来求q 的值. 如：S 2, S 1, S 3成等差，求q 的值. 这样就避免了一般性的复杂运算.

略解：S 2=a 1+a 1q S 1=a 1, S 3=a 1+a 1q +a 1q 2

∵S 2+S 3=2S 1 ∴2a 1+2a 1q +a 1q =2a 1(a 1≠0)

∴q =－2或q =0（舍去）

点评：当问题难以入手时，应先对特殊情况或简单情形进行观察、分析，发现问题中特殊的数量或关系结构或部分元素，然后推广到一般情形，以完成从特殊情形的研究到一般问题的解答的过渡，这就是特殊化的化归策略．

2[2]

4.2 等与不等的转化

相等于不等是数学解题中矛盾的两方面，但是它们在一定的条件下可以互相转化，例如有些题目，表面看来似乎只具有相等的数量关系，根据这些相等关系又难以解决问题，但若能挖掘其中的不等关系，建立不等式（组）去转化，往往能获得简捷求解的效果.

例2：已知a , b 都是实数，且a -b 2+b -a 2=1求证：a +b =1.

分析：利用均值不等式先得到一个不等关系，再结合已知中的相等关系寻求a 与b 之间的关系. 22

a 2+(1-b 2) b 2+(1-a 2) 2, b -a ≤ 解： a -b ≤， 222

∴a -b 2+b -a 2≤1. 又a -b 2+b -a 2=1，a =-b 2且b =-a 2即a +b =1. 22

点评：利用等与不等之间的辩证关系，相互转化，往往可以使问题得到有效解决.

4.3 变量与常量的转化

在处理多变元的数学问题时，我们可以选取其中的常数（或参数），将其看做是“主元”，而把其它变元看做是常量，从而达到减少变元简化运算的目的.

2例3：对于满足0≤p ≤4的一切实数，不等式x +px >4x +p -3恒成立，试求x 的

取值范围．

分析：设函数f (p ) =(x -1) p +(x 2-4x +3) ，显然x ≠1，则f (p ) 是p 的一次函数，要使f (p ) >0恒成立，当且仅当f (0) >0，且f (4) >0时，解得x 的取值范围是(-∞, -1) ⋃(3, +∞) ．

点评：本题巧妙地将不等式问题转化为视变量为主元的函数的解的问题，降低了难度，这种方法在解析几何中用的较普通.

4.4 数与形的转化

数形结合其实质是将抽象的数学语言与直观图形相结合. 可以使许多概念和关系直观而形象，有利于解题途径的探求.

例4：求函数f (x ) =

分析：函数f (x ) =

x 2-4x +13+x 2-12x +37的最小值. x 2-4x +13+x 2-12x +37=(x -2) 2+(0-3) 2+

(x -6) 2+(0-1) 2，设A (2, 3), B (6, 1), P (x , 0) ，则上述问 题转化为求+PB 的最小值，如图点A 关于x 轴的对称点为)

C (2, -3) ，因为+=PC +PB ≥BC =42，所以f (x ) 的最小值为42.

点评：通过数与形的转化，抓住了函数的特征，建立了点与点的距离关系，从而求出两定点和一动点距离和的范围，体现了数形结合的特点.

4.5 正与反的转化

对于那些从“正面进攻”很难奏效或运算较繁的问题，可先攻其反面，运用补集思想从而使正面得以解决.

例5：已知函数f (x ) =4x 2-ax +1在（0，1）内至少有一个零点，试求实数的取值范围.

分析：至少有一个零点的情况比较复杂，而其反面为没有零点，比较容易处理.

2解：设f (x ) =4x -ax +1，对称轴为x =a ，注意到f (0) =1>0，故对称轴必须在8

y 轴的右侧.(1) 当0

⎧∆=a 2-16≥0, ⎧a ≤-4或a ≥4, ⇒a ≤-4或a ≥4，此时4≤a ≤8； ⇒⎨有⎨a ∈R f (0) >0⎩⎩

(2)当a ≥1时，有f (1) 5, 此时有a ≥8. 8

综合（1）（2）得实数的取值范围是[4, +∞)

点评：运用以上直接求解时，要有较强的数形结合能力，分类讨论能力和较强的洞察力，有一定的难度；若转为先考虑它的反面情形，则解题目标与思路会变得更集中与明确. “正难则反”有时会给我们的解题带来意想不到的妙处.

4.6 抽象与具体的转化

一般的问题抽象成立，具体也成立. 具体可以得到确切的答案与规律. 这种关系在中学数学中普遍存在，经常运用，这也是化归思想的体现.

例6：已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1、a 3、a 9成等比数列，则a 1＋a 3＋a 9 a 2＋a 4＋a 10

分析：由题意知，只要满足a 1、a 3、a 9成等比数列的条件，{a n }取何种等差数列与所求

代数式的值是没有关系的．因此，可把抽象数列化归为具体数列．比如，可选取数列a n ＝n (n ∈N *) ，则a 1＋a 3＋a 91＋3＋913＝a 2＋a 4＋a 102＋4＋1016

点评：抽象也能求解，但计算较繁锁，易错．因此，把抽象问题转化为具体的简单的问题进行分析，可以很快得到答案从而达到快速的处理问题的效果.

综合上述，从数学例子的分析点评中，我们可总结归纳巧妙运用转化与化归思想的方法策略所具备的要求与能力：1、有敏锐的洞察能力，才能找准目标模型，2、有较强的化归能力，才能有效地把问题转化为目标模型，至于运用模型的内部规律求解就比较容易了.

与此同时，我们通过以上例子的分析，可以总结得到巧妙运用转化与化归思想的以下几个途径.

1、掌握转化和化归的思想方法，在运用时应注意用“变换”的方法解决数学问题，依据问题本身提供的信息，去寻求有利于解决问题的变换途径和方法，进行合理的选择．

2、转化时要注意转化的方向性，使转化的目的明确，以致解题思路自然流畅，此外还

要注意转化前后的等价性．

3、在训练中应重视数学化归思想，强化在解决数学问题中的应变能力，提高解决数学问题的思维能力和技能．

参考文献

[1] 陈伟理，张同君. 竞赛数学教程第二版[M].高等教育出版社，2005.283-291.

[2] 陈学锋，张秀全. 浅谈转化与化归思想[J].新课标学习（下），2010（10）.

[3] 殷堰工. 数学解题策略精编[M] .上海科技教育出版社，1994.

[4] 孙瑞清，熊斌等. 全国初中数学竞赛辅导[M].北京大学出版社，1998.