导数知识点归纳及应用
导数知识点归纳及应用
●知识点归纳 一、相关概念 1.导数的概念
函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量∆x ,那么函数y 相应地有增量∆y =f(x 0+∆x )-f (x 0),比值之间的平均变化率,即
∆y
叫做函数y=f(x )在x 0到x 0+∆x ∆x
∆y f (x 0+∆x ) -f (x 0) ∆y =。如果当∆x →0时,有∆x ∆x ∆x
极限,我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导,并把这个极限叫做f (x )在点x 0处的导数,记作f’(x 0)或y’|x =x 。
lim 即f (x 0)=∆
x →0
f (x 0+∆x ) -f (x 0) ∆y
lim =∆。 ∆x x →0∆x
注意:
(1)函数f (x )在点x 0处可导,是指∆x →0∆y ∆y
有极限。如果∆x ∆x
不存在极限,就说函数在点x 0处不可导,或说无导数。
(2)∆x 是自变量x 在x 0处的改变量,∆x ≠0时,而∆y 是函数值的改变量,可以是零。
由导数的定义可知,求函数y=f(x )在点x 0处的导数的步骤: ① 求函数的增量∆y =f(x 0+∆x )-f (x 0); ② 求平均变化率
∆y f (x 0+∆x ) -f (x 0)
=; ∆x ∆x
lim ③ 取极限,得导数f’(x0)=∆
x →0
∆y
。 ∆x
例:设f(x)= x|x|, 则f ′( 0)= .
lim [解析]:∵∆
x →0
f (0+∆x ) -f (0) f (∆x ) |∆x |∆x
=lim =lim =lim |∆x |=0 ∆x →0∆x →0∆x →0∆x ∆x ∆x
∴f ′( 0)=0
2.导数的几何意义
函数y=f(x )在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f(x )在点p (x 0,f (x 0))处的切线的斜率。也就是说,曲线y=f(x )在点p (x 0,f (x 0))处的切线的斜率是f’(x 0)。 相应地,切线方程为y -y 0=f/(x 0)(x -x 0)。
例:在函数y =x 3-8x 的图象上,其切线的倾斜角小于的点中,坐标
为整数的点的个数是 A .3
B .2
C .1
D .0
( )
π
4
[解析]:切线的斜率为k =y /=3x 2-8 又切线的倾斜角小于,即0
88
π
4
故没有坐标为整数的点
3. 导数的物理意义
't )若物体运动的规律是s=s(t ),那么该物体在时刻t 的瞬间速度v=s (。
若物体运动的速度随时间的变化的规律是v=v(t ),则该物体在时刻t 的加速度a=v ′(t )。
例:汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车,若把
这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数,其图像可能是( )
A .
B .
C .
D .
答:A 。
练习:已知质点M 按规律s =2t 2+3做直线运动(位移单位:单位:s )。
(1) 当t=2,∆t =0. 01时,求
∆s
∆t ; (2) 当t=2,∆t =0. 001时,求∆s
∆t
;
(3) 求质点M 在t=2时的瞬时速度。 答案:(1)8.02(2)8.002;(3)8 二、导数的运算
1.基本函数的导数公式: ①C '=0; (C 为常数) ②(x n )'=nx n -1; ③(sinx ) '=cos x ; ④(cosx ) '=-sin x ; ⑤(e x ) '=e x ; ⑥(a x ) '=a x ln a ; ⑦(ln x )'=1x
; ⑧(l o g 1
a x )'=x log a e . 例
1
:
下
列
求
导
运
算
正
确
cm ,时间的
是
( ) A .(x+) '=1+
1x
11 B.(logx) ′= 22
x ln 2x
C .(3x ) ′=3x log 3e D. (x2cosx) ′=-2xsinx [解析]:A 错,∵(x+) '=1-
1
x
1 x 2
1
x ln 2
B正确,∵(log2x) ′=
C 错,∵(3x ) ′=3x ln3 D 错,∵(x2cosx) ′=2xcosx+ x2(-sinx)
例2:设f 0(x ) = sinx ,f 1(x ) =f 0′(x ) ,f 2(x ) =f 1′(x ) ,…,f n +
1
(x ) = f n ′(x ) ,n ∈N ,则f 2005(x ) =
( )
A .sinx B.-sinx CD .-cosx
[解析]:f 0(x ) = sinx ,f 1(x ) =f 0′(x )=cosx ,f 2(x ) =f 1′(x )= -sinx ,
.
cos x
f 3(x ) =f 2′(x )= -cosx , f4(x ) = f 3′(x )=sinx ,循环了
则f 2005(x ) =f 1(x ) =cosx
2.导数的运算法则
法则1:两个函数的和(或差) 的导数, 等于这两个函数的导数的和(或差) ,
即: (u ±v ) ' =u ' ±v ' .
法则2:两个函数的积的导数, 等于第一个函数的导数乘以第二个函数, 加上第一个
函数乘以第二个函数的导数,即:(uv ) ' =u ' v +uv ' .
若C 为常数, 则(Cu ) ' =C ' u +Cu ' =0+Cu ' =Cu ' . 即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数: (Cu ) ' =Cu ' .
法则3:两个函数的商的导数,等于分子的导数与分母的积,减去分
'
u ' v -uv ' ⎛u ⎫
母的导数与分子的积,再除以分母的平方: ⎪=(v ≠0)。
v 2⎝v ⎭
例:设f(x)、g(x)分别是定义在R 上的奇函数和偶函数, 当x <0时, f '(x ) g (x ) -f (x ) g '(x ) >0. 且g(3)=0.则不等式f(x)g(x)<0的解集是 ( )
A . (-3,0)∪(3,+∞) B. (-3,0)∪(0, 3) C. (-∞,- 3) ∪(3,+∞) D. (-∞,- 3) ∪(0, 3) [解析]:∵当x <0时, f '(x ) g (x ) -f (x ) g '(x ) >0 ,即[f (x ) g (x )]/>0
∴当x <0时,f(x)g(x)为增函数,
又g(x)是偶函数且g(3)=0,∴g(-3)=0,∴f(-3)g(-3)=0 故当x 0时,f(x)g(x)为减函数,且f(3)g(3)=0 故当0
3. 复合函数的导数
形如y=f[ϕ(x ) ]的函数称为复合函数。复合函数求导步骤: 分解——>求导——>回代。
法则:y '|X = y'|U ·u '|X 或者f '[ϕ(x )]=f '(μ)*ϕ'(x ) . 练习:求下列各函数的导数: (1)y =
x +x 5+sin x
x 22⎝
; (2)y =(x +1)(x +2)(x +3);
11-x
+
11+x
.
x ⎫
(3)y =-sin x ⎛ 1-2cos 2⎪; (4)y =
4⎭
1
x 2
解:(1)∵y = ∴y ′=(x
-
+x 5+sin x x 2
=x
-
32
+x 3+
sin x x 2
5
,
3
2) '+(x 3) '+(x -2sin
3-
x ) '=-x 2+3x 2-2x -3sin x +x -2cos x . 2
(2) y=(x 2+3x+2)(x+3)=x3+6x2+11x+6,∴y ′=3x2+12x+11.
x ⎫1
(3)∵y=-sin x ⎛ -cos ⎪=sin x ,
2⎝
2⎭
2
'
1⎛1⎫1
y '= sin x ⎪=(sinx ) '=cos x .
2⎝2⎭2
11-x
+
11+x
=
1+x +1-x (1-x )(1+x )
=2
1-x
∴
(4)y =∴
,
'
2⎛2⎫-2(1-x ) '
y '= =. ⎪=
(1-x ) 2(1-x ) 2⎝1-x ⎭
三、导数的应用 1. 函数的单调性与导数
(1)设函数y =f (x ) 在某个区间(a ,b )可导,如果f ' (x ) >0,则f (x ) 在此区间上为增函数;如果f ' (x )
( )
A .(2, +∞) B.(-∞, 2) C.(-∞, 0) D.(0,2) [解析]:由f /(x ) =3x 2-6x
∴函数f (x ) =x 3-3x 2+1是减函数的区间为(0,2)
2.极点与极值:
曲线在极值点处切线的斜率为0,极值点处的导数为0;曲线在极大值点左侧切线的斜率为正,右侧为负;曲线在极小值点左侧切线的斜率为负,右侧为正;
例:函数f (x ) =x 3+ax 2+3x -9, 已知f (x ) 在x =-3时取得极值,则a = ( )
A .2 B.3 C.4 D.5 [解析]:∵f /(x ) =3x 2+2ax +3,又f (x ) 在x =-3时取得极值
∴f /(-3) =30-6a =0 则a =5
3.最值:
在区间[a,b]上连续的函数f (x ) 在[a,b]上必有最大值与最小值。但在开区间(a ,b )内连续函数f (x )不一定有最大值,例如
f (x ) =x 3, x ∈(-1,1) 。
(1)函数的最大值和最小值是一个整体性的概念,最大值必须是整个区间上所有函数值中的最大值,最小值必须在整个区间上所有函数值中的最小值。
(2)函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出来的,函数的极值是比较极值点附件的函数值得出来的。函数的极值可以有多有少,但最值只有一个,极值只能在区间内取得,最值则可以在端点取得,有极值的未必有最值,有最值的未必有极值,极值可能成为
最值,最值只要不在端点处必定是极值。
例:函数f (x ) =x 3-3x +1在闭区间[-3,0]上的最大值、最小值分别是[解析]:由f ' (x ) =3x 2-3=0,得x =±1,
当x 0,当-11时,f /(x ) >0, 故f (x ) 的极小值、极大值分别为f (-1) =3、f (1) =-1, 而f (-3) =-17、f (0) =1
故函数f (x ) =x 3-3x +1在[-3,0]上的最大值、最小值分别是3、-17。
●经典例题选讲
例1. 已知函数y =x f '(x ) 的图象如图所示(其中 f '(x ) 是函数f (x ) 的导函数),下面四个图象中y =f (x ) 的图象大致是
( )
[解析]:由函数y =x f '(x ) 的图象可知: 当x 0,此时f (x ) 增 当-10,f '(x )
当01时,x f '(x ) >0,f '(x ) >0,此时f (x ) 增 故选C
例2. 设f (x ) =ax 3+x 恰有三个单调区间,试确定a 的取值范围,并求其单调区间。 解:f '(x ) =3ax 2+1
若a >0,f '(x ) >0对x ∈(-∞, +∞) 恒成立,此时f (x ) 只有一个单调区间,矛盾
若a =0,f '(x ) =1>0 ∴ x ∈(-∞, +∞) ,f (x ) 也只有一个单调区间,矛盾
若a
∴ a
(-
1|a |
,
1|a |
)
1|a |
) 和(
1|a |
, +∞) ,单调增区间为
1|a |
) ⋅(x -
1|a |
) ,此时f (x ) 恰有三个
例3. 已知函数f (x ) =x 3+bx 2+ax +d 的图象过点P (0,2), 且在点M (-1, f (-1)) 处的切线方程为6x -y +7=0. (Ⅰ)求函数y =f (x ) 的解析式; (Ⅱ)求函数y =f (x ) 的单调区间.
解:(Ⅰ)由f (x ) 的图象经过P (0,2),知d=2, 所以f (x ) =x 3+bx 2+cx +2,
f '(x ) =3x 2+2bx +c .
由在M (-1, f (-1)) 处的切线方程是6x -y +7=0,知
-6-f (-1) +7=0, 即f (-1) =1, f '(-1) =6. ⎧3-2b +c =6, ⎧2b -c =3, ∴⎨即⎨解得b =c =-3. -1+b -c +2=1. b -c =0, ⎩⎩
故所求的解析式是 f (x ) =x 3-3x 2-3x +2. (Ⅱ)f '(x ) =3x 2-6x -3.
令3x 2-6x -3=0, 即x 2-2x -1=0.
解得 x 1=1-2, x 2=1+2. 当x 1+2时, f '(x ) >0; 当1-2
故f (x ) =x 3-3x 2-3x +2在(-∞, 1-2) 内是增函数, 在(1-2, 1+2) 内是减函数,在(1+2, +∞) 内是增函数.
例4. 设函数f (x )=x 3+bx 2+cx (x ∈R ) ,已知g (x ) =f (x ) -f '(x ) 是奇函数。 (Ⅰ)求b 、c 的值。 (Ⅱ)求g (x ) 的单调区间与极值。 解:(Ⅰ)∵f (x )=x 3+bx 2+cx ,∴f '(x )=3x 2+2bx +c 。从而
g (x ) =f (x ) -f '(x )=x 3+bx 2+cx -(3x 2+2bx +c ) =x 3+(b -3) x 2+(c -2b ) x -c
是
一个奇函数,所以g (0)=0得c =0,由奇函数定义得b =3; (Ⅱ)由(Ⅰ)知g (x ) =x 3-6x ,从而g '(x ) =3x 2-6,由此可知,
(-∞,
和+∞) 是函数g (x
) 是单调递增区间;(是函数
g (x ) 是单调递减区间;
g (x
) 在x =
g (x
) 在x =
-。 例5. 已知f (x )=x 3+ax 2+bx +c 在x=1,x=-时,都取得极值。 (1)求a 、b 的值。
(2)若对x ∈[-1, 2],都有f (x )
1
2
23
2a b 2,=1⨯(-) 333
2
3
1c
23
(2)由(1),有f (x )=x 3-x 2-2x +c ,f /(x )=3x 2-x -2 当x ∈[-1, -) 时,f /(x ) 0,当x ∈(-, 1) 时,f /(x ) 0,当x ∈(1, 2]时,
f /(x ) >0,
2
3
12
23
当x =-时,f (x ) 有极大值
23221
+c ,f (-1) =+c , f (2) =2+c , 272
∴ 当x ∈[-1, 2],f (x ) 的最大值为f (2) =2+c 对x ∈[-1, 2],都有f (x )
例6. 已知x =1是函数f (x ) =mx 3-3(m +1) x 2+nx +1的一个极值点,其中
m , n ∈R , m
1c 1c
(I )求m 与n 的关系式; (II )求f (x ) 的单调区间;
(III )当x ∈[-1,1]时,函数y =f (x ) 的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m ,求m 的取值范围.
解:(I)f '(x ) =3mx 2-6(m +1) x +n 因为x =1是函数f (x ) 的一个极值点,
所以f '(1)=0, 即3m -6(m +1) +n =0,所以n =3m +6
⎡2⎫⎤
(II )由(I )知,f '(x ) =3mx 2-6(m +1) x +3m +6=3m (x -1) ⎢x -⎛1+ ⎪⎥
⎣
⎝
m ⎭⎦
当m 1+
如下表:
x
f '(x ) f (x )
2
,当x 变化时,f (x ) 与f '(x ) 的变化m
2⎫⎛
-∞,1+ ⎪ m ⎝⎭
1+
2
m
2⎫⎛1+,1⎪
m ⎝⎭>0
1 0 极大值
(1, +∞)
0 极小值
调调递减 单调递增 单调递减
2⎫
故有上表知,当m
⎝
m ⎭
在(1+
2
,1) 单调递增,在(1,+∞) 上单调递减. m
(III )由已知得f '(x ) >3m ,即mx 2-2(m +1) x +2>0
又m
①
设g (x ) =x 2-2(1+) x +
立,
22⎧
⎧g (-1)
⎩g (1)
-
4
所以-
3
1m
2
,其函数开口向上,由题意知①式恒成m 2m
222
⎫
即m 的取值范围为⎛-,0 ⎪ 3
⎝
⎭
4
例7:(2009天津理20)已知函数f (x ) =(x 2+ax -2a 2+3a ) e x (x ∈R ), 其中
a ∈R
(1) 当a =0时,求曲线y =f (x ) 在点(1, f (1))处的切线的斜率; (2) 当a ≠时,求函数f (x ) 的单调区间与极值。
本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识,考查运算能力及分类讨论的思想方法。满分12分。
解:(I )当a =0时,f (x ) =x 2e x ,f ' (x ) =(x 2+2x ) e x ,故f ' (1) =3e .
所以曲线y =f (x ) 在点(1, f (1)) 处的切线的斜率为3e .
2
3
(II )f ' (x ) =[x 2+(a +2) x -2a 2+4a ]e x .
令f ' (x ) =0,解得x =-2a ,或x =a -2. 由a ≠
2
知,-2a ≠a -2. 3
以下分两种情况讨论。
(1)若a >,则-2a <a -2. 当x 变化时,f ' (x ) ,f (x ) 的变化情况如下表:
23
所以f (x ) 在(-∞,-2a ) ,(a -2,+∞) 内是增函数,在(-2a ,a -2) 内是减函数.
函数f (x ) 在x =-2a 处取得极大值f (-2a ) ,且f (-2a ) =3ae -2a . 函数f (x ) 在x =a -2处取得极小值f (a -2) ,且f (a -2) =(4-3a ) e a -2.
(2)若a <,则-2a >a -2,当x 变化时,f ' (x ) ,f (x ) 的变化情况如下表:
2
3
所以f (x ) 在(-∞,a -2) ,(-2a ,+∞) 内是增函数,在(a -2,-2a ) 内是减函数。
函数f (x ) 在x =a -2处取得极大值f (a -2) ,且f (a -2) =(4-3a ) e a -2.