多指标统计过程控制图
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分类号:02131单位代码:10005
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密号。S200306023级:公开
北京工业大学硕士学位论文目题垒塑堑筮过过矍撞剑垦
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研究生姓名:
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导师姓名李—量玲研究方向;职称:应用统计教授业;煎奎迨皇塑理笙盐程维虎
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摘要
摘要
统计过程控制是现代企业生产过程中实现产品质量控制的手段.传统的作用的信息.
多变量统计过程控制图是以多元统计分析理论,特别是多元t分布理论为基础建立的统计过程控制技术.利用它通过对生产过程中的产品质量特性(数据)的多变量统计分析,可找出影响产品质量特性下降的主要原因,采取措施提高产品质量,且一旦发现产品生产过程处于失控状态,便及时报警,分析生产过程失控的原因,提出改进措旋,使产品的生产过程维持受控状态.
当产品的质量指标服从p元正态分布时,可用T2控制图和A控制图联合起来判断产品生产过程是否处于受控状态.本文利用T2统计量,F统计量、A统计量之间的关系得到了双F统计过程控制图,并给出了这种控制图的应用实例.论文中所有计算均使用R软件来实现,文末附有主要程序.关键词:多变量,统计过程控制图,多元正态分布,T2分布,’A分布,F分布统计过程控制采用单变量统计过程控制方法,只对生产过程中的一些重要指标单独的实施统计过程控制,但不能有效地提供关于多个质量特性之间相互
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Abstract
stati8ticalprocesscontrol(SPC)i8thewaytorealizethequalitycontr01ofthe
inmodern—dayindustries.Thetraditionalstatisticalprocesscontroladopts
univariatestatisticalprocesscOntrolmethOdwhichmOnitOringseveralimportantindexesindividuall弘Hawever,itca肌’tpravidetheinteractiveinforma土iononmanyqualitych”acteristics.
MultivariatestatisticalprocesscontrolbasesonUIetheoryofmulti、r盯iatesta土isticanaly8is,especiallymulti、氇riatetdistributiontheor矿ItcandiscoverthemaincausesforthedeclineoftheproductsquaUty盘omthemultiv甜iatesta七isticandysisofqu“itych缸acteri8ticsin址Ieproductsprocess,atthesametime,itcanalarmustheprocessisoutofcon七r01.OperatorscantakemeasllrestoimprovethequalityaccordingtotheusefuliⅡfbrmationandkeeptheproductsproces8incontrol_
whenthequalityindexe8oftheproductbeap一、miatenormaldistribution,wecananalyzetheproductprocesswhetheroutofcontr01ornotwithusingT2chartandAchart.TherelationshipsbetweentheT2statisticsandFstatistics,AstatisticsandFstatisticsarediscussedinthispaper.Andthen,weobtaintwokindofFstatisticalPmce88control(sPc)chartandgiveanexample.Allcakulation8arecarriedoutbyRsoftwareandthemainproceduresaregivenintheendofthepaper.
Keywords;multivarite,StatisticalProces8Contr01,multiv孙itenormaldis—tribution,T2.distribution,A.distribution,F.distribution.products
独创性声明
本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及
取得的研究成果,尽我所知,除了文中特别加以标注和致谢的地方外,论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果,也不包含为获得北京工业大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。
签名=剑塑日期签名:堑途日期泖易.6、L
关于论文使用授权的说明
本人完全了解北京工业大学有关保留、使用学位论文的规定,即:
学校有权保留迭交论文的复印件,允许论文被查阅和借阅;学校可以公布论文的全部或部分内容,可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。
(保密的论文在解密后应遵守此规定)
签名:至扫诠导师签名鱼魄嗍
第1章绪论
第1章绪论
1.1研究意义
用统计技术进行生产过程的质量控制称为统计过程控制,简称sPc(sta廿SticProces8comr。1).统计过程拄制图始于1924年美国贝尔电话实验室的休哈特
A博士(wshewhart)的第一张质量控制图,也称为休哈特控制图,简称控制图.自控制图问世以来,由于它把产品的质量控制从事后检验变成了事前预防,对于保证产品质量,降低生产成本,提高生产率开辟了广阔的前景.因此,统计过程控制从一开始就被看成提高产品质量和生产率的最重要技术手段,并在世界各地得到了广泛应用控制图是实现产品全质量管理的重要内容.
传统的统计过程控制一般地采用单变量统计过程控制方法,只对生产过程的一些重要指标单独地实施统计过程控制在统计过程控制的早期应用中,由于受测量技术、数据存储及分析技术的限制,人们只能测量和分析生产过程中的少数几个重要指标,并对这几个指标单独地实施统计过程控制,这虽然在某种程度上能够改进产品质量,但由于产品的各项重要指标不能得到同时分析,因此不能使产品的所有重要指标得到同时控制.
多变量统计过程控制图是以多元统计分析理论基础建立的统计过程控制技术通过对生产过程中产品质量特性(数据)的多变量统计分析,找出影响产品质量特性下降的主要原因,采取措施提高产品质量,且一旦产品生产过程处于失控状态,便及时报警、分析生产过程失控的原因、提出改进措施,使产品的生产过程始终维持在统计受控状态.
1.2研究现状
1924年,美国贝尔电话实验室的休哈特(w.A.shewhⅡt)博士首先将数理统计应用到工业生产中,制作了世界上第一张工序质量控制图,简称控制图统计应用到工业生产中,制作了世界上第一张工序质量控制图,简称控制图
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关于单指标统计过程控制图的研究已有许多非常完善的结果,有许多相关的文献可以查阅.但是,关于多指标统计过程控制图的研究还仅处起步阶段.
1947年,H.Hotellingll】提出了多元T2控制图,从此开辟了多元质量控制的时代.多元情形要比一元情形复杂得多,与一元控制图要求在方差受控前提下才能讨论均值的控制问题类似,多元p控制图是在假定协方差矩阵保持不变的前提下讨论均值向量的控制.1972年,Montgomery和wadsworth首次提出应用样本广义方差蚓建立多元协方差阵控制图[2]'用以控制多指标产品生产过程的变异性.1973年,Al删应用㈣分布的一、二阶矩,按3口原理建立了多元协方差阵控制图一151图.蚓图的使用前提是在多元分布的协方差阵∑为已知情形下讨论问题的,这在实际应用中要求数据必须充分地多,这正是其应用不足之处.其他多元协方差控制图还有w图,L图等.这些拄制图的缺陷同样是要求“协方差阵已知”,这在实际中过于苛刻.上世纪八十至九十年代初,多元累积和(cumulativesum,简称cusuM)控制图得到了发展,应用多元cusuM控制图对多元过程实旄控制时,也是分别控制过程的均值向量与协方差阵.从实用的角度看;均值向量的控制往往更重要.1992年,LoWTy与woodau,champ与Rigdon分别提出了多元指数加权滑动平均(exponentialIyweightedmovingaverage,简称EwMA)控制图【4】,该控制图也是用于控制产品均值向量的.此后,Mortel和Runger于1995年将EwMA控制图应用到多流过程中【5J.
近年来,国内的一些学者虽然提出了具有多个非控异因的多元控制图,多元协方差矩阵未知时样本广义协方差阵控制图及协方差阵的最大、最小特征根控制图【6】等,但所得结果不多,因此,在多元统计过程控制图方面还有诸多问题需要研究.
本论文利用T2分布与F分布、A分布与F分布之间可相互表示的理论,分别建立了与T2控制图和A控制图相对应的两类F统计过程控制图,.2.
第1章绪论
简称双F统计过程控制图;给出了双F统计过程控制图的应用实例.1.3论文结构
本文第二章是研究问题的基础。第一节介绍了单指标统计过程控制图的绘制原理、绘制方法及使用方法.单指标控制图是绘制多指标控制图的基础.
第二节介绍了三种重要的统计量分布;威沙特(wi8hart)分布、T2分布、威尔克斯(wi!ks)A分布,它们是构造多元统计控制图之基础.多指标统计过程控制的理论基础是多元投影方法,方法的实质是将过程数据(或质量数据)从高维数据空间投影到低维数据特征空阎,要求所得到的特征变量尽量地保留原始数据的信息特征,摒弃冗余信息.
第三章是论文的主体,其中包括多指标统计过程控制图绘制原理、绘制方法及其使用等.)(2控制图是应用在产品质量特性的均值向量和协方差阵均为已知情形下的,但大多数实际情况并非如此,即产品质量特征的均值向量和协方差阵均未知.此时,x2控制图便失去了使用价值了.本论文给出的双F控制图(用T2型F控制图和A型F控制图)联合起来对过程实施控制,正可以克月艮这一不足.T2型F控制图用于控制多指标数据的均值向量,A型F控制图用来控制多指标数据协方差阵.论文最后例举应用实例来说明双F控制图的应用过程.实例是在产品质量特性处于失控的情形下分析过程失控的原因.论文中所有计算均使用R软件来实现,文末附有主要程序.
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第2章预备知识
单指标统计过程控制
控制图就是将一个过程定期收集的产品质量特性值(数据),按一定要求点绘成一类特殊图形的图示技术.
控制图的用途是展示产品质量特性值变化是否正常,即判断(也称诊断)过程是否处于受控状态;当过程处于失控状态时,寻找过程失控的原因,采取措施对过程进行调整,使过程维持在受控状态,并确认过程的改进效果的循环过程.2.1
2.1.1控制图分类
(I).按数据类型分
由于产品质量特性值(数据)分成两大类,一类是计量数据,一类是计数数据.因此,常规控制图也分成两大类:一类是计量值控制图,又称变量控制图;一类是计数值控制图,又称属性控制图.现将常规控制图的分类列成下表(见表1).
(2).按用途分
按用途分,控制图可分成两大类:一类是分析用控制图,一类是控制用控制图.分析用控制图用来判断过程是否处于受控状态,或确认过程的改进效果;控制用控制图用来边进行、边实旖质量控制,以使过程保持在受控状态.
在对过程实施控制之前,首先要用分析用控制图来判断过程是否处于受控状态,当确认过程处于受控状态时,可将分析用控制图的中心线和控制限延长,使之转化为控制用控制图.
第2章预备知识
数据性质
计
量数据分布正控制图名称均值标准差控制图均值极差控制图
中位数极差控制图
单观测值控制图
不合格品率控制图
不舍格品数控制图
单位缺陷数控制图
缺陷数控制图控制图符号孟一S圈国家标准GB4091.2态牙一R图GB4091.3数分布i—R圈GB4091.4GB409l5据计数数z一冗s图二项分布p图GB409L6pn圈GB4091.7拍松u图GB4091.8GB4091.9据分布c图
2.1.2原理与构造
尽管控制图的种类不同,但其原理都一样,构造方式基本相同.以下用变量控制图来说明控制图的原理及构造.
前面已经讲过:当过程处于受控制状态时,产品质量特性x的分布是一个不随时间变化而改变的正态分布,不妨记为Ⅳ(p,一),其中“和。是两个固定的参数,分别为x的均值和标准差.此时不难发现;在m~3吒p+3—1范围之内大约包含了过程99.73%的产品,即几乎所有的产品.如果把汕一3∞p+3口1控制住(等价地把p和一控制住),也就控制住了几乎所有的产品.为控制住p和a,需要使用两张控制图,一张用来控制“,一张用来控制a.
在生产实际中,常用样本均值牙估计卢,用样本标准差s或样本极差冗估计a.如果用i和s估计肛和口,就形成了均值标准差控制图(2一s图),如果用i和R估计p和o,就形成了均值极差控制图忙一R图)..5一
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控制图是根据正态分布的3a原理构造的,如果。・,。2,…,z。是产品质量特性x的一个样本,T=T(钆22,…,。。)是样本的某个统计量.例如,T可以是样本均值互,也可以是样本标准差s或样本极差R等,
如果T服从或近似地服从正态分布Ⅳ(肛r,本),其中“T和四分别为T的均值和标准差.于是,根据正态分布的3a原理,有
P(卢了’一3盯丁ST墨pr+3盯T)≈0.9973
上式表明:如果对统计量T进行大量重复观测,落在区间[pr一3叼,肛T+3ar]内的T大概占99,73%.
基于上述原理,以时间为横坐标(刻度为样本序号),T的观测值为纵坐标,建立平面直角坐标系.在坐标系中画三条特殊的水平直线,然后把T的观测值按时间顺序(样本序号)点绘在坐标系中,再将点绘出来的点依次用线段连接起来,这样就构成了一张控制图(见图1).由参考文献[7]可知,休哈特博士将过程处于稳定受控状态时质量数据所形成的典型分布的弘土3a范围内的正态分布曲线转换为控制图(见图2).
UG五
G三
上GL
榉本序号
图1:统计量z的控制图
三条特殊的直线分别为:
(1).中心线(centralLine,实线),符号为cL,纵坐标肛T;
(2)上控制限(uppercontrolLimit,虚线),符号为ucL,纵坐标肚T+3口T一6,
第2章预备知识
鲞
醋鬻
《撵奉镣)
图2:正态分布曲线转化为控制图
(3).下控制限(LowercontrolLimit,虚线),符号为LGL,纵坐标船一3叼.上控制限和下控制限统称为控制限.控制限用来判断过程是否处于受控状态,当控制图上的点越过了控制限时,认为过程不处于受控状态,即处于失控状态.控制图上的每个点越过控制限都是小概率事件,通常认为“它在一次试验中不可能发生”.于是,一旦发生,就认为过程处于失控状态.
由于控制图横坐标的刻度为样本序号,所以,在控制图应用过程中,必须按确定的时间间隔进行抽样.
2.1.3过程判断
分别用两条直线将中心线cL与上控制限ucL之间的区域等分成A,B,G三份,中心线cL与下控制限LcL之间的区域等分成∥,B’,G’三份(见图3).
根据正态分布的理论,人们制定了一套判断生产过程处于受控状态的规则,规则规定:仅当下列三条都满足时,才判断过程处于受控状态..7一
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B
———————旦——葡———————————————一GLG’一一。“
…一……………一髫……………一LGL
图3:控制区域分割图
第一条绝大多数点落在控制限之内
连续25点都落在控制限之内或连续35点中至多有一点落在控制限之外或连续100点中至多有两点落在控制限之外;
第二条点的排列无下列异常现象
(1),连续7点或7点以上呈上升或下降趋势;
(2).连续7点或7点以上在中心线同一侧;
(3).连续11点中至少有10点在中心线同一侧;
(4).连续14点中至少有12点在中心线同一侧;
(5).连续17点中至少有14点在中心线同一侧;
(6),连续20点中至少有16点在中心线同一侧;
第三条连续3点中至多有一点或连续7点中至多有两点落到A或川区域.
2.1.4两类错误
用控制图判断过程是否处于受控状态可能犯两类错误,一类是将受控过程判断为失控过程,称这类错误为第一类错误(或弃真错误),错判概率用a表示;另一类是将失控过程判断为受控过程,称这类错误为第二类错误(或取伪错误),错判概率用卢表示(见图4).一8.
第2章预备知识
ljcl,
oL
“薰
图4:控制图的两类错误
对统计量T,当过程处于受控状态时,设其分布为正态分布Ⅳ(po:a3);过程处于失控状态时,其分布发生了变化,变化后的分布函数为毋(z).记控制图的上、下控制限分别为
矿GL=po+^盯o,工GL=肛。一^口。
其中^是一个大于零的常数,称控制限系数.错判概率有如下表达式犯第一类错误的概率
a=2—2妒(柚.
犯第二类错误的概率
卢=.F}(uG工)一。%(LG三).
其中妒(z)为标准正态分布Ⅳ(o,1)的分布函数.
特别地,如果过程失控时T的分布虽然还是正态分布,但其均值或标准差至少有一个已经发生了变化,记变化后的均值和标准差分别为“l和一。,有(1)
p=妒(;一;)+t芦(;+;)一・.
.9.e2,
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其中△p=I“,一№I,∈=衄裂,,=嚣分别称均值偏移量,均值偏移系数和标准差变动系数.
由公式(1)可知,a随^的增大而减小,由公式(2)可知,当f和∈固定时,卢随^的增大而增大.
用控制图判断过程是否处于受控状态可能犯两类错误.减少犯第一类错误的概率就意味着增加了犯第二类错误的概率;减少犯第二类错误的概率就意昧着增加了犯第一类错误的概率.两类错误对立统一,如何处理好两者的关系十分重要.在控制图中,通常取控制限系数A=3,即规定犯第一类错误的概率约为。加27.
2.1.5过程能力指数
过程能力是指过程处于受控状态下,过程本身所表现出来的保证产品质量的能力.过程稳定程度越高,即产品质量特性波动越小,过程保证产品质量的能力越强;过程稳定程度越低,即产品质量特性波动越大,过程保证产品质量的能力越弱.因此,常用产品质量特性波动的标准差来反映过程能力.当过程处于受控状态时,记其产品质量特性x服从正态分布Ⅳ(p,a2),其中p和。分别为x的均值与标准差.于是,在阻一3正肛+30]的范围内包含了99.73%的产品,即几乎全部产品.而∞一3吒舢+3a]的区间长为6a,所以,通常用
口=6盯(3)
表示过程能力.必须指出:”B值小”表示”过程能力大”.由(公式3)可以看出:过程能力越大,一越小,加工精度越高;过程能力越小,a越大,加工精度越低.所以,过程能力的大小反映了加工精度的高低.因此,过程能力又称加工精度.提高过程能力的唯一途径是:设法减小产品质量特性x的标准差一.这往往涉及到许多方面,比如提高机器性能、保持原材料一致性、改善工作环境、提高操作者操作技能等。.10—
第2章预备知识
过程能力指数是指过程能力满足产品质量规范(或标准)要求的程度,通常用“公差范围”与“过程能力”之比表示.公差范围越大,o越小,过程能力越能满足质量规范要求,生产合格晶的能力越大.为定量地描述过程能力指数,总假定产品质量特性x服从正态分布Ⅳ(p,a2),其中卢和a分别为x的均值与标准差.下面分情况讨论过程能力指数的计算.
(1).具有双侧规格限情况
如果用u轧表示产品质量上规格限(upper
产品质量下规格限(Lowerspec访cationspecmcationLimit),LsL表示Li商t).称M=(us工+工s工)/2为产品质量规格中心,T=usL—Ls三为公差范围.
当产品质量特性中心(即均值)p与产品质量规格中心M一致,即p=M时,称过程无偏.过程无偏表示在产品的生产过程中,过程没有出现(引起产品质量特性中心偏离规格中心的)系统误差;反之,当产品质量特性中心与产品质量规格中心不—致,即“≠M时,称过程有偏.过程有偏表示在产品的生产过程中,过程出现了(引起产品质量特性中心偏离规格中心的)系统误差.
当过程无偏时,用%=学=丢吻2——磊~2丽
表示过程能力指数.(4)㈠
由%值可算出;当T=6口时,q=1,产品合格率约为99.73%,次品率约为千分之三;当T=8a时,G=1.33,产品合格率约为99994%,次品率约为十万分之六;当T=10a时,q=1.67,产品合格率约为99舶994%,次品率约为千万分之六,小于百万分之一.易见,G值越大,即过程能力指数越大,生产合格品的能力越大.当过程有偏时,(4)中的G已不能用来描述过程能力,必须引入新的过
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‰一《鼍≯,与竽)
来描述过程能力.
定义偏离系数
*=也裂.
容易导出G女与q有如下关系:
qk=(1一k)q
因此,叉称%k为修正的过程能力指数.
显然,如果产品质量特性的标准差保持不变,当产品质嚣特性中心偏离规格中心时,有q≈<o.
(2).只有单侧规格限情况
当产品只有质量规格上限us二时,用
‰=堕≯
表示过程能力指数;
当产品只有质量规格下限Ls五时,用
。面2—面_
表示过程能力指数.nH—LSL
在实际问题中,产品质量特性分布Ⅳ(p,a2)中的参数p和。通常未知,因此用这两个参数计算过程能力指数时,应先对其进行估计.
在计算过程能力指数时,常常用样本均值夏和样本标准差s分别估计p和o.特别地,当n≥20时,过程能力指数常用下列公式估计得到.12
第2章预备知识
(1).在产品质量特性值具有双侧规格限,即产品质量特性值在陋sL,c,s纠范围内为合格品情况下,记M=(us二+LsL)/2,T=usL—LsL.
当耳=M时,过程能力指数
G=志
当夏≠M时,过程能力指数
qK=(1一K)%.(5)
其中q由公式(公式5)给出,偏离系数
K=≮拶.
另外,该情况下的过程能力指数也可由下式给出
‰一n{号≯,与竽).
(2).在产品质量特性值只有单侧规格上限,即产品质量特性值小于等于usL为合格品情况下,
过程能力指数嘞=竺学.
‰=与竽.(3).在产品质量特性值只有单侧规格下限,,即产品质量特性值大于等于三sL为合格品情况下,过程能力指数
.13.
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2.2三种重要分布
威沙特(wishart)分布、铲分布、威尔克斯(wiIks)A分布,是构造多元统计控制图之基础.威沙特分布是一元统计中x2分布的直接推广;T2统计量是当样本抽自多元正态总体时,由样本的均值向量和样本的离差阵所构成的统计量,本文用该统计量构造T2控制图,控制多指标产品的质量特征的均值向量;威尔克斯(wilks)A统计量是通过威沙特(wishart)统计量构造的统计量,本文用该统计量来构造A型F控制图,用来控制多指标产品质量特征的协方差阵.
2.2.1威沙特(wishart)分布
威沙特分布是一元统计中)(2分布的直接推广.对p元正态总体%(p,£),常用样本均值向量X作为总体均值向量p的估计,样本协方差阵s=A/m一1)作为总体协方差阵∑的估计,A为样本离差阵.且有夏~%(Ⅳ,E/n).
对一元正态总体Ⅳ(芦,02),常用样本x1,x2,…,瓦的方差
s22击∑(拖一i)2・n
(6)
作为总体方差a2的估计,有∑翟。(墨一x)2一a2x:。类似地,对多元正态总体%(“∑),常用样本置-),五2jj..,五。)的协方差阵s=A/∞一1)作为总体协方差阵E的估计,A的分布就是威沙特(wishart)分布(见性质1).
定义2.2.1设x(。)=(。m…,。咖)’,i=1,2,…,n是抽自p元正态总体%(p,∑)的随机样本,记x=(。订)。。p为样本观测阵,当p≠o时,称
w=∑确曩;)=x7x
i=1
服从阶数为p,自由度为n,非中心参数为△的威沙特分布,记成Ⅳ一矸名(n,∑,△)其中△=np止当p=o时,称w=x’x服从阶数为p,自由度为n的中心威沙特分布,记成Ⅳ~w;(n,∑).-14—
第2章预备知识
显然,当p=1时,Ⅵ,1(n,口2,np2)就是口2xiⅢ。/。。,矸,1(n,J2)就是口2x:.所以,威沙特分布是x2分布的直接推广.此分布于1928年由威抄特给出.
威沙特分布有如下性质:
性质l设x(;)=(托1,…,。午)’,{=1,2,…,n是抽自p元正态总体%(p,∑)的随机样本,则样本离差阵A服从威沙特分布Ⅵ名∽一l,∑).
证明设r=(均)。。。为正交阵,且%j=l/、/瓦7=l,2,…,n,令
Z=时
㈠Jrh1l:l:rx
n
对i=l,2,-一,n,磊=(x(1),一一,x(。))(ml,・.-,竹。)’=∑托^x(b)为x(1),・.-,x(。)
k=1
的线性组合,也是p维正态随机向量,且有
E(zt):妻协E(砾)):窭m。p:(而壹佻协)肛:{0’I、/可,诘nE(zt)=∑协E(x(∞)=∑m≈p=(而∑佻协)肛={1皓1皓1皓1
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/,●\谆”””DGD"磊勿。∑随m≈Xk。∑H竹kXb\、/。∑眦协kWkE=
∑
nn
因∑级戤=zz’=xx’=∑x(女)■女),且≈=1七=l
n一1nn
∑反z:=∑盈^)x汹一磊磊=∑甄埘■≈)一厩岩=‘4k=l≈=1k=l
即存在相互独立的五一Ⅳp(o,∑),t=1,…,n一1,使得A=∑磊墨.由威沙特
t=1
分布的定义知样本离差阵A服从威沙特分布w名∞一l,E).
.15一
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2.2.2霍特林(H0telling)T2分布
在一完统计中,若x~Ⅳ(6,1),y一媛,且x与y独立,则随机变量扛x/、,俘万一如,6.如果将£2=nx2/y=nx7y一1x推广到p元总体;设总体x~%(p,E),随机阵w—w;(n,E),霍特林给出了T2=nx’Ⅳ一1x分布的定义、性质及应用等.
定义2.2.2设x~%(p,易),随机阵w—w;(n,易),n>p'且x与w相互独立,记T2=nx’Ⅵ,_1x,则当p≠o时,称随机变量r2服从自由度为n,菲中心参数为p的非中心霍特林T2分布,简称?2分布,记成T2一磋。,。;当“=o时,称T2服从自由度为n的中心霍特林T2分布,简称铲分布,记成铲~磋。.二者统称T2分布.
,.
T2分布有如下惶质:
性质1若Ⅳ~W名(n,∑),【,~Ⅳp(肛,c∑),E>o,n>p,c>o为常数,且w与u相互独立,则
nu7(cI矿)一1【,一警。(。E)一・,:p,(7)
E鲁旦《“。E)-1~一乃肘1刊(。E)-1p.—i矿一』p,n,(cE)一1,2p~,p,¨1一P,一(cE)一1p’
性质1的证明可参见文献[8】)p161.3.
性质2设x(1),x(2)1…,盈。)是抽自p元正态总体%沁,E)的随机样本,且∑>o,n>p,记X为样本均值向量,A为样本离差阵,则
T2=n(n一1)(x一肛)’A一1(夏一p)~磋。一l,
塑%型(叉~∞’A-1(x—p)一马,,.(8)
证明事实上,取c=1/仉因X一Ⅳp(p,c∑),有夏一芦一%(O,c∑)。而.16、
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A~%∽一l,∑),且A与耳一p独立。由性质1,有
T2=nm—1)(舅一肛)’且一1(膏一p)
=(n一1)(夏一“)7(cA)一1(X一肛)
一瑶。一1;
竿(__∥圹1(n萨尚严屿唧.
注意:此性质在本文中非常重要,在第三章构造T2控制图中用到,
2.2.3威尔克斯(wilks)A分布
定义2.2.3设随机向量x~%(p,E),则称I∑J为x的广义方差.若x(1),x(2),…,五。)为p元总体x的随机样本,A为样本离差阵,则称f4加I或lA/(n一1)j为样本广义方差.
定义2.2.4设啊一%(n1,∑),%一%(n2,£),E>o,n2≥p,且矾与w2相互独立,则称
A=书‰
为威尔克斯统计量或A统计量,其分布为威尔克斯分布,记成A一~。。.
下面只给出与本文密切相关的两个性质(可参见文献[9】)p118):
性质l当">p时,有
A2mm皇E蓊性质2当p=2时,有~n叠再螽‰扯,垒半≮挚l十—_;一Rn+】一D‰皇去,姘%皆,
‰㈨叫皇等%享
17.(9)
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注意:此性质在本文中非常重要,在第三章构造A型F控制图中要用到.2.3小结
本章第一节介绍了单指标控制图的绘制原理、绘制方法及使用方法,编制控制图使用软件,单指标控制图是绘制多指标控制图的基础.尽管控制图的种类不同,但其原理都一样,构造方式基本相同,第一节还给出了休哈特博士将过程处于稳定受控状态时质量数据所形成的典型分布的p士3a范围内的正态分布曲线转换为控制图,这有助于读者从直观上理解控制图的构造原理.最后,给出了用控制图判断过程是否处于受控状态可能犯的两类错误,两类错误对立统一,如何处理好两者的关系十分重要.
第二节介绍了三种重要的统计量分布t威沙特(wishart)分布、T2分布、威尔克斯(wilks)A分布,它们是本文构造多元统计控制图的基础.还给出了妒统计量与F统计量的关系,A统计量与F统计量的关系,这是为后面得到双F控制图做铺垫的.一18-
第3章多指标统计过程控制图
第3章多指标统计过程控制图
3.1多指标统计过程控制图原理
x2控制图3.1.1
设。一%(卢,∑),i£l>o,则
(。一p)’E一1(z—p)~)(:
其中,x;表示自由度为p的)(2分布.由面~Ⅳp(p,去∑)可以推出,
)(2=n(虿一肛)’∑一1(面一“)~x:
则称由(10)构造的控制图为)(2控制图.
取显著水平为a,则)(2控制图上、下控制限为(10)
uGL=瑶.。,LGL=o.
若由样本计算出的x2值大于uG工值,则认为过程失控,此时应当查明过程失控的原因,并予以排除.易见,)(2统计量的计算需要用到质量特性的均值向量和协方差阵,即“和E须是已知的.但大多数的实际情况中并非如此,通常质量特性的均值向量和协方差阵是未知的.此时x2控制图便失去了作用.3.1.2r2控制图
设产品由p个质量特性来描述,设总体服从p元正态总体%(芦,∑),从总体中抽出容量为n的%个子样本,每个子样本数据矩阵可以表示为
z“=(z},。≥,…,。:)垒(z暮)
这里^=1,2,…,%,根据每个子样本的数据矩阵可将每个子样本平均值的p×l维向量和样本协方差的p×p阶矩阵表示如下:
茁^=(;耋z%,:薹z乞,,一,;砉。刍)7=c面},面2,,’‘,霹,’,.19
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船击喜湾删磅雹7
其中^=l,2,一,k.记
I【.i一岛虿。∑恤一os2÷∑妒・^=1(11)
则孑和s分别是总体平均值向量p和总体协方差矩阵∑的无偏估计.如果过程处于受控状态,则砂一Ⅳp(肛,吾),其中肛和E分别用苗和s来估计.可以证明(砂一i)和s相互独立【10】,【1l】,由此可以证明得到
T2=晦h~面)’s~1(i“一面)~c(南,n,p)0,k(n一1)一。一1)
其中c(k,n,p)=《舞犏,于是,T2控制图的上控制限为
uG三=c(%,礼,p)0,≈(。一1)一扫一1)(a)
这里见。。(a)是F分布上侧概率a分位数(以下同).因为T2是距离的度量,故控制下限LG工=o.将k个T2值描在具有上限ucL和下限LcL的控制图上,如果发现%个初始子样本中的一个或者多个点超出控制限,则判断过程失控.
3.1.3A型F控制图
设产品由p个质量特性来描述,设总体服从p元正态总体%(p,∑),从总体中抽出容量为n的≈个子样本,
对样本总离差阵进行分解
.20.
第3章多指标统计过程控制图
G=∑l:。∑釜。(z}一虿)(。}一虿)’
=∑2:l∑暑I(。}一茸“+砂~茁)(砖一虿“+虿“一虿)’
=∑::,∑≥1(苟一面“)(毋一面“)7+∑::・∑各,(面“一面)(面“一面)’
=∑::1A^+∑::1[札(面“一习(蚕6一虿)’】
=A+B,
其中A=∑》。(砖一砂)(z;一砂)’为抽自第h个总体样本(z},z2,…,zi)的离差阵,A=∑£:l山为组内离差阵,B=∑{:l坼(砂一司(砂一虿),】为组间离差阵.
由2.2~节当中的有关wi8hart分布的性质可以得到
G”w≥(n缸一1,E),A~%(n免一免,E),B们%婶一t,∑)
且B与A相互独立.(具体的证明过程可以参看文献【12】,p124)
于是,根据A分布的定义有
A2A=端~A,,nm一*,t一・,i夏瓦r干面~Ap,n≈一‘,‘一1’
由A分布的性质及A分布与F分布的关系,有如下结果:
当p=2时,
则A型F控制图的控制限为(并)(喾)嗍也:舡。M.uG三=[,+兰毋*一。,。。m—ze~。c,一鼍]一1,LG工=【・+元i冬;毫毛1F2*一。,。。m一。t~。(。)]一1.一21.
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当p>2,&>30时,对A作如下变换(12],p131—132:
始・n妒F=湍.喾,
其中(12)t=nm一-一(p+t)/z,s=\/ij;!鬻,x=望芈
用?2控制图和A型F控制图联合起来对过程进行控制,即双F控制x2近似于)(&川,,F近似于曩k~1)p,¨2^,此时也可做控制图(此结论是在样本分组数k兰30条件下取得的,这在实际使用中容易办到).图.T2控制图通过均值来控制生产过程,A型F控制图通过方差来控制生产过程.
3.2多指标统计过程控制图构造及使用
首先假设p个变量的联合分布是p元正态分布,其次收集p个变量的数据,然后从实际问题出发,将数据分成若干个组,假设分成了女个组,每个组有n组观测向量,需要使用两张控制图,一张用来控制卢,一张用来控制B.
T2控制图(控制均值向量用)
1.分别算出总体平均值向量p和总体协方差矩阵∑的无偏估计茁和s,其中
1七,^
弘÷蚤砂,
中各组醒统计量的值,h=1,2,…,%;肚÷圣驴・2.由公式瑶=(砂一面)7s一1(驴一i)~c(%,n,p)乃,k(。一1)一(p一1)分别算出%个组
3.由公式uG三=c(☆,,z,p)乃,≈(。一1)一。一1)(。)计算上控制限,用于与步骤2中k个霹值相比较,即k个组将受到控制检验;
4.分析这%组数据中是否有失控的数据.若有,则分析数据失控原因..22.
第3章多指标统计过程控制图
A型F控制图(控制协方差阵用)
1.分别算出样本的组内离差阵血和组间离差阵风,其中
k
A≈ll
。∑糊Ah仇=∑h(砂一虿)(砂一i)7]
h=1
2.由公式Ak=面‰分别算出≈个组中各组A统计量的值
3,利用公式
Va工=[,+石i冬;毫毛1F2*一:,。。*一。t一。(t—a)]一1
LG工=[・+ij÷!;≥:了F2e一。,z。m—zt—z(a)]一1,
计算出上、下控制限,用于与步骤2中除了第一个样本点外的剩下k一1个A值相比较,即%一1个组将受到控制检验;
4.分析这k一1个组(第一组除外)的数据是否有失控数据.若有,则分析数据失控原因.
最后,综合两张图来对产品的生产过程进行分析和进一步的调查研究以找出问题所在.
3.3应用实例
例1某工厂同时加工一种零件的5种尺寸,其中D,和D2是主要尺寸,共20次测得DL和D2的尺寸(见表2).希望能从T2控制图和A型F控制图上获得所需要的信息,考虑到T2控制图和A型F控制图之间的可靠性和灵敏性之间的平衡,对两图分别取0:=o.009和口=o.005
—23.
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表2零件尺寸D1的平均值和极差值
NO墓}
2639944R18.3863Noi}2719587Rl27.6402111
2263850928549712268664522407132652209
259.753914765113259258133713242903814邪6.9373
257919327.399752640663408lg15
1635151862591302199822269.671428.8894
7258315326293617268580625738267580337、523IL827243102l8189254.815012.247819268.341l34.260110261250430.9808202801247207514
表3零件尺寸D2的平均值和极差值
N。.z≥
4638651兄2254651No.砖4812323兄2l1l32,1291
2471.639925227112470847129.30763474.097513378813473.70982568644464808226.330814476.6935
47654541311945470.344228209415331127
6452,7271392603164594q425017S7465383D10.8903】7469.25422414846236433l650518465.16332096039458936430.583519456.762828.510610468106358.54722D484.0309130234
可以算得到T2型控制图的上控制限:A型F控制图的上下控制限为:矿GL=1.9251,LGL=ouGL=o.8959,工GL=o.6931..24,
第3章多指标统计过程控制图
表4各组的T值和^值
NO.T值
016536042A值lNO.T值1225505640A值7792260111
20194230570912443312D10257372O7866516303578794l0.871979213l132077600770557840.2259982308767841140B08L76760763487450085520360.8961930152L19428950745871861857106030807561416l630659200711686l7037641147O.80t8883170.10卯6407
10716776380.649497720.789848618040814160.6979372
9O.94781936O.7818791192.05519758O.8852689100164695140822799420228363785065365392。5
.
1.5
0.5
Oj一¨气
3591113151了/产19
样本序号
图5:于2控制圉.25.
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挑9\.
一V\≮O.锻;孰霉.蝴/
.O.事5、、bo.甲~
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趣6S.。.。。。。.。。..,。。。..\.
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图6:A型F控制图.26.
第3章多指标统计过程控制图
对这两种尺寸利用单独的夏一R控制图的控制限公式
【,G上=X+01再,LGL=X~01瓦.
矿CL=dl夏,LGL=d2再。
其中oi=o.579,dl=2.115,d2=o
分别计算得
尺寸D1的夏图控制限
UG工=280.3309.LG_L=2498555
285
280
275
2了0
平均值265
260
255
250
2哇5
l35791113151719
样本序号
图7:尺寸Dl的x控制图
尺寸Dl的R图控制限
UG三=55.661.LG工=0.27.
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60
50
40
}《值30
20
10
O
13579ll131517i9
样本序号
图8:尺寸D1的R控制图
尺寸_D2的叉图控制限
UGL=483.773.工GL=452.8226
尺寸D2的R图控制限
UG厶=56.5286.LGL=0
从T2控制图上可以看出,第5、6、15个点处产生了波动,第19,20号样本点都已经越过控制限.对从A型F控制图可以知道从第5(12)个样本点开始,连续5个点都成下降趋势,且第5个点已经接近或者超出上控制限,此.28.
第3章多指标统计过程控制图
O
5
O
5
0
平均渣5
0
5
0
5
O
萼掘鼋矧妤蚓辐蛎稻蛆暑:鹞5;“一/.Vo
123456789lOlll213王4151617181920
样本序号
图9:尺寸D2的x控制图
70
60
50。
平均值40
30
20
10
O;VV弋、
l234567/\89lOli1213王唾1516l?181920
样本序号
图10:尺寸D2的R控制图
.29.
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现象说明在该段时间内过程产生了某中波动,第19,20号样本点都已经越过控制限;所以从双F控制图看,此过程已经处于失控状态.
进一步研究得出结论:
・从均值向量上来看
1.第15、19个样本点在单独x控制图上看属于正常点,但是在铲控制图上属于失控点;
2.第20个样本无论从单独的x控制图上来看还是T2控制图上看都属于失控点;
3.第6个样本点的口z尺寸在单独的x控制图上来看失控了,在?2控制图上看也失控了.
・从协方差阵上来看
1.第10个样本的D2尺寸在单独的R控制图上失控了,在A型F控制图上可以看出生产过程在此处有波动;
2.第5、19、20个样本点在在A型F控制图上失控了,但是在单独的R控制图上属于正常点.
3.4,J、结
第三章是本文所主要研究的内容,即多指标统计过程控制图.由前面第二章所给出的三种分布及控制图的构造原理得出了三种控制图:)(2控制图、丁2控制图、A型F控制图.)[2控制图是应用在当质量特性的均值向量和协方差阵是已知的情况下.但大多数的实际情况中,质量特性的均值向量和协方差阵是未知的,此时,)(2控制图便失去了使用价值.而双F控制图可以克服,30.
第3章多指标统计过程控制图
这一不足.Tz控制图通过均值来控制生产过程,A型F控制图通过方差来控制生产过程.最后举出一个应用实例来说明双F控制图的应用,实例是产品质量特性失控的情况,并分析了失控的原因.关于多指标统计过程控制图的控制限的确定,可根据多元统计量分布与正态分布,t分布。)(z分布,F分布等分布的关系,计算出多指标统计过程控制图的控制限.一31
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结论与讨论
传统的统计过程控制是基于单变量统计过程控制的方法.单变量统计过程控制只能监测单一质量特性的变化,而不能有效的提供关于多个质量特性之间的相互作用信息.因而单变量统计过程控制难以满足现代工业生产过程一需要同时监测大量质量特性的要求.于是多变量统计过程控制就应运而生.
多变量统计过程控制成功应用能提高产品质量的一致性,提高生产过程的灵活性和能力,进而提高企业资产的有效利用.通过对过程进行有效的监控,可大大提高产品的合格品率,降低因再加工所引起的原材料及能源的消耗,通过对生产过程的有效监控还能及早发现生产过程中的诸多隐患,提高生产过程的安全性.
多变量统计过程控制的理论基础是多元投影的方法,本文利用F分布,T2分布,A分布之间的关系将过程数据和质量数据从高维数据空间投影到低维数据特征空间,且所得到的特征变量尽量地保留原始数据的信息特征,摒弃冗余信息.
本文利用A统计量与F分布之闻的关系且F分布的分位点可以由R软件直接给出的优点,做出A型F控制图,进而得出双F控制图.T2控制图从均值向量的角度上来对产品的生产过程实施监控,A型F控制图从方差阵的角度上来对产品的生产过程实施监控.
尽管如此,双F控制图理论还有些问题值得进一步思考和研究:例如,本文例题中研究的是p=2,情形,是否可以利用(12)式把双F控制图推广到更高维情形7.32
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R程序附录
R程序附录
xbarl(一(b1【,1]+b1【,2]+b1【,3]+bl【,4]+b1[,5])/5
xbar2(一(b2[,l】+b2【,2]+b2【,3]+b2[,4]+b2[,5])/5
xbar3<一(b3[,1]+b3[,2】+b3(,3】+b3[,4]+b3[,5])/5
xb“4(-(b4[,1H-b4[,2】+b4【,3】+b4【,4】十b4[,5])/5
xbar5(一(b5[,l】+b5[,2]+b5【,3]+b5【,4】+b5【,5])/5
xbar6<-(b6【,1]+b6【,2]+b6[,3]+b6[,4]+b6【,5])/5
xb村7<一(b7[,1]+b7f,2]+b7[,3]+b7[,4]+b7[,5】)/5
xbar8<一(b8[,1】+b8(,2】+b8[,3】+b8[,4】+b8【,5】)/5
xb”9(一(b9【,1】+b9【}2]+b9【,3】+b9[,4】+b9【,5])/5
xbarlo(-(blo【,1]+blo[,2]+blo【,3]+blo【,4]十blo【,5])/5
xbarll<一(b11[,1]+bll[,2]+b11【,3]+bll【,4]+bll【,5】)/5
xbarl2(・(b12【,1】+b12【,2】+b12【,3】+b12【,4】+b12(,51)/5
xbarl3(一(b13【,1H_b13【,2]+b13【,3]+b13[,4]+b13【,5])/5
xbarl4(一(b14[,1]+b14【,2]+b14【,3]+b14【,4]+b14【,5])/5
xbarl5(一(b15[,1】+b15[,2]+b15[,3】+b15f,4]+b15[,5】)/5
xbarl6(一(b16【,l】+b16[,2】+b16(,31+b16(,4】+b16(,5])/5
xbarl7(一(b17【,1]+b17[,2]+b17【,3]+b17[,4】+b17[,5])/5
xb甜18(-(b18【,1]+b18[,2】+b18【,3]+b18【,4]+b18【,5])/5
xbarl9<-(b19【,1】+b19[,2】+b19[,3】+b19【,4]+b19【,5】)/5
xbar20<-(b20[,lH_b20【,2】+b20(,3】+b20[,4|+b20f,5])/5
zbor<一f茁60r1+zbⅡr2+z60r3+z6。r4+茁bor5+茁bor6十。bor7+。bor8
+zbor9+z60r10+盘bnrll+z60r12+zborl3+zbnrl4+茁borl5
十。6。r16+茁6。r17+茁6口r18+z6。r19+。60r20)/20.37.
北京工业大学理学硕士学位论文
o<一c(芏6口r1,。6口r2,06盘r3,z60r4,06。r5,。60r6,。60r7,z扛or8
zbnr9,正borl0,zborll,z6Ⅱr12,茁borl3,zborl4joborl5,ob。r16
∞6nrl7,z6drl8,zbⅡr19,zbⅡr20,zbor)
x<・matriX(da七a=x,nrow=21byrow=FALsE)
Ⅳ<一c(6l[,1],b1[,21扣坫3】,b1[,4],b1[,5]'b2【,1],b2【,2],62【,3],
b2【,4】,62【,5】,b3【,1]加3【,2]加3【,3],b3[,4],b3[,5],b4【,l】】
64(,2],64(,3】{64L4j,64[,乱65【,扎65L2】,65(,3j,65[,4i,
帖【,5],b6【,1],b6【,2],b6【,3]如6【,41,b6【,5】,b7[,1]1b7[,2],
b7[,3],b7【,4],b7【,5],68【,1]加8【,2],b8【,3],b8[,4】,68[,51,
59[,lj’69【,2】,69[,%69f,4】,69f,5],61001],61%2J,6lof,3】
blo【,4]曲10[,5],611【,1],611[,2】1611【,3],bll[,4】,611【,5],
b12【,1],612[,2],612【,3]加12[,4】,612【,5],b13[,1],b13【,2】,
613L3),613f)4j,的3L5],614f,1】,614f,2],614f,33,M41,4】,
614[,51,b15【,1],b15[,21,615【,3],b15【,4]一15【,5】,b16【,1】,
616[,2],616【,3],616[,4],616【,5],617【,1],b17【,2】,617【,3],
617f,4],617f,5】,618[,1],618f,2],618f,3],618【,4),b18』,5],
b19【,1],619[,2】,619【,3],b19[,4】,b19【,5],觇o【,11,620【,2],
620【,3],620[14]曲20【,5】)
Y(-matrix(data=yInrow=2,byrDw=FALsE)
Y
A(一Ⅱray(O,dim=c(2,2,21))
B(.A.38.
R程序附录
T(一A
Lan<・c(1:20)
bar<一”。ay(o,dim=c(2,21))
templ<一array(O,dim=c(2,2))
temp2(一”ray(0,dim=c(2,2))
bwl(一c(o,o)
e(一c(0,O)
f(一array(0,dim=c(2,1))
for(hin1:20)
{
for(j
{
i<一5+(h-1)in1:5)
el<・Y【,i+j]-x【,h]
fl(一matrix(data=e1)
templ<-templ+n
)
A[,,h+1](一templ
for(hinl:20)
bar[1h+1]<’bar【,h]+x【,h】
barl(一bu【m+1]/h
五wOinl:h)
(.39.
北京工业大学理学硕士学位论文
e2(一x[Jj]一barl
f2(一matrix(data=e2)
temp2<一temp2+5+(f2
)
Bf,,h+I】(一te】np2
temp2(一array(0,dim=c(2,2))
for(hin1:20)
Lan【h】(一det(A【,{h+11)/det(A[,,h+l】+B(,】h十1】)
sqrt(Lan)
D<・(1/80)+A[,,2l】
G(一solve(D)
T2<一c(0,O,O,O,O,0,O,0,O,O,O,0,O,0,O,0,0,O,0,O)
for(h
(in1:20)
T2【h】(一t(x【,h]_xbar)
}
T2.40.
致谢
致谢
在三年的研究生学习期间,我得到了很多人的关心和帮助
首先,我要向我的导师程维虎教授致以深深的感谢.在我论文撰写过程
中,程老师给予了悉心指导。他一遍又一遍地修改了我的论文,给我提出了许
多宝贵的意见和建议,这些使得我受益匪浅.在生活中,程老师也经常嘘寒问
暖,给予了我很大的关心和照顾.在此,对程老师辛勤的付出和无私的奉献,
表示感谢【程老师严谨的治学态度,渊博的学识,敏捷的思维,以及热情的工
作精神都深深地影响着我,是我以后学习的榜样.三年中,程老师不辞辛苦地
为我们开讨论班,不仅让我学到很多必备的专业知识,而且使我懂得了如何
去求知,这些对我以后的学习和工作都是很有益处的.另外,程老师在做人处
事方面也教会了我不少的东西.
其次,我想感谢王松桂教授、杨振海教授、薛留根教授、张忠占教授、李
寿梅教授以及统计专业各位老师对我的教育和培养.
此外,我还想感谢实验室的各位师兄、师姐,感谢他们在学习上对我的帮
助与鼓励,生活上对我的关心!
特别的,我要感谢我的家人,他们是我的强大的后盾,感谢他们三年来对
我学业的支持,生活的关心.最后,感谢所有曾经帮助过我,鼓励过我的同学!.41。
多指标统计过程控制图
作者:
学位授予单位:李丹玲北京工业大学
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3. 史荣珍 自相关过程的统计监测及控制[学位论文]2009
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5. 王前洪 统计公差与累积和控制图并行设计方法的研究与应用[学位论文]2006
6. 吕海利 低不合格率过程质量控制图的研究与应用[学位论文]2007
7. 巩震 基于时间序列的s-EWMARtR控制中SPC控制图的设计[学位论文]2009
8. 谢琍 具有预警线的控制图在完全检验中的最优设计[学位论文]2007
9. 李莉 多元质量特性诊断控制理论及其应用研究[学位论文]2009
10. 秦岭 多变量控制图的分析与应用研究[学位论文]2008
本文链接:http://d.wanfangdata.com.cn/Thesis_Y890136.aspx