002奇异函数建立侧移刚度矩阵的新方法
●‘工程力学》增刊２００１年・３６３・奇异函数建立侧移刚度矩阵的新方法徐彬梁启智（昆明理工大学建工学院．昆明６５０２２４）（华南理工大学建筑学院．广州５１０６４¨摘要本文舟绍了建立高层结构侧移刚度矩阵的一种新方法。首先利用奇异函数描述竖向构件变形，由侧移相等条件建立基本方程，井通过于矩阵聚和得到结构的侧移刚度矩阵，该矩阵对弯曲或剪切型结构均适用．最后进行了实例分析．关键词奇异函数，高层结构．例移剐度１前言高层建筑结构地震、风振等动力问题中，最常采用的分析模型是多个集中质点的“葫芦串”模型，建立模型的基本问题之一是需要得到结构的侧移刚度矩阵，一般分为刚度法和柔度法两”“”１种。刚度法是由结构的整体剐度矩阵经静力凝缩，去掉多余自由度，保留结构的侧移自由度，该方法需涉及整个结构的自由度，且要进行高阶方阵的求逆，比较麻烦。本文采用柔度法的基本思想，利用奇异函数建立变参数竖向构件（包括柱和剪力墙）的柔度矩阵，再由构件侧移相等条件得到竖向构件的整体关系式。以此同时，把与竖向构件相连的粱或板构件视为约束，利用作者由转角位移方程导出的新关系式，结合竖向构件的整体关系式，可得到一组结构基本方程。最后．基本方程通过子矩阵聚和的方法形成侧移刚度矩阵。
在高层结构中，如果把柱或剪力墙从结构中分离出来．即
为一个受到楼层梁或板传来集中力和集中弯矩作用的独立构
件．称为竖向构件。从整个高度来看，竖向构件的弯矩和剪力
在楼层节点处是不连续的（如图ｌ所示），一般不能用连续函
数直接表示。但是．通过引入奇异函数及相应的运算，问题却
很容易解决。对具有ｎ个节点。＿】｝次变刚度的构件，用奇异函７∥
数来表示侧向集中力、集中弯矩引起的构件弯矩及截面变刚度Ｉ，田Ｉ构件弩趄
有如下表达式”１
慷椎．男．１９６３．Ｉｌ出生，工学博士．刚教授
盂离省自然科学基叠资助项目◆２竖向构件柔度矩阵及整体关系式２．１竖向构件柔度矩阵
／Ｅ）２（
・３６４・｛ｑ－程力学》增刊２００１年
Ｍ（ｚ）＝ｉ缸一王）ｏＭ，＋兰（ｘ一一）１Ｎｊｒ４ＩＩ’Ｉ（１）
熹＝钮（，＿）。（ｘ）ｒ－Ｉ～、”
其中：符号ｃ，称为麦考利括号，ｃｘ—ｔ，’＝｛。ｊ置ｒ，’：：：，一＝。：尼为柔度系数，肛击一击趟扣卅’有仆击’击＿０魂“ｋ他城代入粱弯曲方程，采用奇异函数积分．对第．，个竖向构件在ｘ＝‘（ｉ＝１，ｎ）的节点位置可以求出转角ｙ：（ｘ，）和位移ｙ（ｔ），矩阵形式为
３ｙｌｉ＝＾Ｉ。Ｍ。．＋｝ｎｉＮ。＼ｙ＝，！ｔＪＭ。＋，ｎＪＮｉ（３．１）
（３．２）
其中：ｙ：节点转角向量．Ｙ节点侧移向量，Ｍ。集中弯矩向量，Ｎｊ横向集中力向量／；∽＾：，＾２，＝矗，为柔度矩阵，由奇异函数表示式确定。
２．２整体关系式
对具有ｍ＋１个竖向构件的抗侧力结构，分别进行两组变换：
（１）考虑节点侧移相等的条件对（３．２）式求和，并令足。＝”三＋．１．，２２－１，，，。＾２，庀：（２）将（３．１）式解出Ｎ．代入（３．２）式ａ最终得到－『构件关系式－有ｏＬｙ＝塾ｊＪＸ：ｆ、Ｍ。＋ｊＪＫ：一Ｆｐ
Ｙｊｌ＝Ｌｊｍ—ｊｉｊｍ、Ｍ。＋Ｌｙ
把所有竖向构件的关系式组装为整体结构矩阵方程，有（４．１）（４．２）●
‘扣｝＝ｃ，｛Ｍ。｝＋扣：｝
加’｝＝Ｃ：似。｝＋Ｅ扫｝（５．１）（５．２）
其中：Ｅ由对角线子阵‘组成；ｃ２由对角线子阵石ｕ一蹦ｌ，组成：。Ｅ，由于阵，ｆ鲜１∥构成（ｆ，＿，＝ｏ，Ａ，卅），Ｅ，，Ｅ２分别代表竖向构件的弯曲柔度：荷载引起的转角向量｛ｙ：｝＝Ｅ巧１‘｝，‘为节点水平荷载向量。同样原理，竖向构件的轴向位
（－ｒ程力学）增刊２００１年・３６５・
移向量也可用奇异函数来表示为“，＝＾Ｊ（‘川一ｔｊ），其中厂Ⅳ，为Ｊ构件的轴向柔度矩阵，ｔｙ－ｉ，ｔｊ为竖向构件左、右两侧节点受到的梁端剪力向量・
３水平构件关系式
３．１梁单元方程
如图２所示，设任一构件线刚度为ｆ。，规定弯矩和转角以顺时针为正，将转角位
●移方程变换，即得到一组新的粱构件关系式：蚝，：毕＋ｉｊ．ｙ（Ｂ，一以，）（６＿１）虬．：华¨∥。一钆）（６＿２）
鲁＿，Ｈ，＝萼ｃ钆饥）（６∞
３．２粱列矩阵方程ｕ砼ｂ三蜀雠ｌｅｆ．Ｊｔ皇卜一￡‘Ｊ——一圈２
将竖向构件轴向变形关系式代入水平梁单元关系式（６．３）．再利用（６．１）和（６．２）
式．将相邻梁列粱端弯矩相加．有
，４．ｊ－ｉ，，Ｊ一１＋ＡⅣｔＪ—Ｋ６Ｊ—Ｉｑ—Ｉ＋（足＾』＋Ｋ６，一１）０ｊ一世６，０』＝Ｍ，（７）
其中：瓦，为对角线矩阵，对角元素为梁线刚度，ｑ和—ｑ分别为粱列在节点处转角和弯矩向量，对整个结构水平构件，写出矩阵方程，有
＇［≯％Ｅ］１ｐｔ；）＝｛｛勉）｝鹕’●
方程由四块组成，，ｋ由粱列剪切柔度和竖向构件轴向变形柔度子矩阵组成：足。由粱列线刚度子矩阵组成；Ｅ则由竖向构件轴线与梁列跨中的距离子矩阵一，，一＿组成，｛０｝为未知的梁构件节点转角向量。进一步地从（８）式中消去未知向量｛ｆ），整理后有
ｍ。）＝（Ｊｒ。＋瓦）｛曰｝
其中髟。．＝一Ｅ７，矗￡为水平梁构件侧向变形刚度．（９）
・３６６・‘工程力学》增刊２００１年
４侧移刚度矩阵
由（５．１）（５．２）及（９）式，考虑两类构件在节点处的平衡条件和协调条件，
｛Ｍ，｝＋∞。｝＝｛ｏＸ扣’｝＝｛０｝整理后得基本方程
｛ｇ：轾譬跫Ｓ＆篓２未５移挺ｂ；｝盟１０．。１；
（１０．２）式代八（１０．１）式，同时令Ｆ＝Ｃ１＋Ｃ２，Ｋ＝Ｋｍ＋瓦。整理后得
Ｅｃｙ）＝ＧＥ砖１巴｝（１１）
其中：Ｇ＝Ｊ—ＣＩＫ（Ｚ＋ＦＫ）～，』为单位方阵。（１１）式为对整个结构的方程式共（ｍ＋１）×ｎ阶．研为粱得列数，ｎ为总楼层数。其中列向量｛ｙ｝和｛睇１巴）是由埘＋１个相同的ｎ阶分向量组成。对方程中的子矩阵方程求和，有
（。富，），＝（笔ｊ－１１｛．＝１１鼻，，）巧‘‘（１２）
则侧移刚度为Ｄ＝Ｅ（ｊ；蛋，，）“（ｊ，）ａ由于在侧移刚度矩阵的整个的推导过程中并未增加任何的附加假设．所以该侧移刚度矩阵对平面框架结构、框剪结构或剪力墙结构均适用，且考虑了竖向构件的轴向变形，具有很好的通用性。
（１）剪力墙结构：尺寸如图３所示
单位ｃｍ。Ｅ＝１．０，／２＝２，Ｐ＝１１０，
４＝４＝０．０９，厶＝‘＝０．０００９７２，Ｉ
（２）框架剪力墙结构：如图４所示．ＨｌＨ．
Ｅ：４．１７１×１０。ＫⅣ／ｍ２，Ｌ’一７ｌｌＤ＝１．１９７×１０。４ＫＮ．Ｓ２／ｍ４，Ｈ嶂５分析实例实例１结构的自振周期计算
（－ｒ程力学，增刊２００１年・３６７・
’表１剪力墙自振频率（Ｈｚ）表２框剪结构频率（Ｈｚ）方法ｑｑｑＩ方法∞．ｍ：吡文［５］法６２．６７７３４０．０２３８４ｉ．５１４文［５］法１．５６１９．７９０２７４０有限元法６０．６１１２８７．０３９６６８．３２８有限条法１．５９５９．４５９２１．６１本文结果６０．６４０３１７．７００７８３．６５０本文结果１．５９９９．７８８２７．０８实例２动力响应分析见文献［６］九层框架结构．计算模型及质量如图５所示，～＿１７。’ｏ毗．１６３‘５Ｔ寸动力响应结果如图６所示。计算时阻尼比取加速孝＝０．０５ｉ寸度最大值２００９ａｌ，持续时间８秒。ｍｚ＝１６３．５＋：ｌ采用Ｗｉｌｓｏｎ一０法进行数值积分运算。输入宁河地震加ｍ，：１６３．５ｌ速度记录时，在ｆ＝１．４８秒时刻结构顶点位移最大为０．２ｌｌｍ２：２３４．５ｌ；ｌ＋米。输入美国Ｅ１ｃｅｎｔｒｏ南北向地震加速度记录计算，在ｍＩ－１６３．５Ｉ卦ｔ＝５．６秒时刻出现结构顶点最大位移为Ｏ．１６１米。７７打，。—’图５计算模型＇，、。ｊ●．ｉ、ｉ？ｏｉ／．＋Ｉｊ‘ｆ图６（ａ）宁河地震波响应圈６（ｂ）ＥＩｃｅｎｔｒｏ地震波响应本文的主要工作是给出了利用奇异函数推导平面结构侧移刚度矩阵方法．若利用平面结构空间协调原理．不难把方法推广到空间结构动力分析。从实例分辑结果看，方法是正确和有效的。
参考文献
【Ｉ】粱启智编著．高层建筑结构分析与设计．华南理工夫学出版社．１９９２
【２】龙驭球．包世华．结构力学教程（上、下）．高等教育出版社．１９８８
１３】王燮山著．奇异函数及其在力学中的应用．科学出版社．１９９３
【４】徐棒，粱启智．双肢剪力墙分析的奇异函数法．华南理工大学学报．１９９９｛（１２）；ｕ０～１１５
【５１刘宗贤．多层与高层工业及民用建筑结构自振特性分析．建筑结构学报，１９９４：（４）：６２～７５【６】中国建筑科学研究院建筑结构研究所主编．高层建筑结构设计．科学出版社．１９８２６总结◆