数列解题技巧归纳总结

知识框架

⎧⎧数列的分类数列⎪⎪

⎨数列的通项公式←函数角度理解⎪

的概念⎪⎪

⎩数列的递推关系⎪

⎪⎧⎧等差数列的定义a n -a n -1=d (n ≥2) ⎪⎪⎪⎪⎪⎪等差数列的通项公式a n =a 1+(n -1) d

⎪⎪⎪等差数列⎨n n (n -1)

⎪等差数列的求和公式S =(a +a ) =na +d ⎪n 1n 1⎪⎪22⎪⎪⎪⎪⎪⎩等差数列的性质a n +a m =a p +a q (m +n =p +q ) ⎪⎪⎪两个基⎪a n ⎧

等比数列的定义=q (n ≥2) ⎪⎨⎪本数列a n -1⎪⎪⎪

n -1⎪⎪⎪等比数列的通项公式a n =a 1q

⎪⎪⎪

⎧a 1-a n q a 1(1-q n ) ⎪⎪等比数列⎨

数列⎨=(q ≠1)

⎪⎪等比数列的求和公式S =⎪1-q 1-q ⎨n ⎪⎪⎪⎪na (q =1) ⎪⎩1⎪⎪

⎪⎪⎪等比数列的性质a a =a a (m +n =p +q )

n m p q ⎪⎩⎩

⎪

⎧公式法⎪

⎪⎪分组求和⎪⎪

⎪错位相减求和⎪

⎪数列⎪裂项求和

⎨

⎪求和

⎪倒序相加求和

⎪

⎪⎪

⎪累加累积

⎪

⎪⎪⎩归纳猜想证明⎪

⎧分期付款⎪

数列的应用⎨⎪

⎩其他⎩

掌握了数列的基本知识，特别是等差、等比数列的定义、通项公式、求和公式及性质，掌握

了典型题型的解法和数学思想法的应用，就有可能在高考中顺利地解决数列问题。

一、典型题的技巧解法 1、求通项公式

（1）观察法。（2）由递推公式求通项。

对于由递推公式所确定的数列的求解，通常可通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列问题。

(1)递推式为a n+1=an +d及a n+1=qan （d ，q 为常数） 例1、 已知{an }满足a n+1=an +2，而且a 1=1。求a n 。

例1、解 ∵a n+1-a n =2为常数 ∴{an }是首项为1，公差为2的等差数列

∴a n =1+2（n-1） 即a n =2n-1 例2、已知{a n }满足a n +1=

12

a n ，而a 1=2，求a n =？

（2）递推式为a n+1=an +f（n ）

12

14n -1

=

2

例3、已知{a n }中a 1=

，a n +1=a n +

1

，求a n .

1(

1

-

12n +1

)

解： 由已知可知a n +1-a n =

(2n +1)(2n -1) 22n -1

令n=1，2，…，（n-1），代入得（n-1）个等式累加，即（a 2-a 1）+（a 3-a 2）+…+（a n -a n-1）

a n =a 1+

12(1-

12n -1

) =

4n -3

4n -2

★ 说明 只要和f （1）+f（2）+…+f（n-1）是可求的，就可以由a n+1=an +f（n ）以n=1，2，…，（n-1）代入，可得n-1个等式累加而求a n 。

(3)递推式为a n+1=pan +q（p ，q 为常数）

例4、{a n }中，a 1=1，对于n ＞1（n ∈N ）有a n =3a n -1+2，求a n .

解法一： 由已知递推式得a n+1=3an +2，a n =3an-1+2。两式相减：a n+1-a n =3（a n -a n-1） 因此数列{an+1-a n }是公比为3的等比数列，其首项为a 2-a 1=（3×1+2）-1=4 ∴a n+1-a n =4·3n-1 ∵a n+1=3an +2 ∴3a n +2-an =4·3n-1 即 an =2·3n-1-1

解法二： 上法得{an+1-a n }是公比为3的等比数列，于是有：a 2-a 1=4，a 3-a 2=4·3，a 4-a 3=4·3，…，a n -a n-1=4·3，

把n-1个等式累加得： ∴an=2·3n-1-1

2

n-2

(4)递推式为a n+1=p an +q n（p ，q 为常数）

b n +1-b n =

b 1n 1n 2n

(b n -b n -1) 由上题的解法，得：b n =3-2() ∴a n =n =3() -2() n 33232

2

(5)递推式为a n +2=pa n +1+qa n

思路：设a n +2=pa n +1+qa n , 可以变形为：a n +2-αa n +1=β(a n +1-αa n ) ，

想

于是{an+1-αa n }是公比为β的等比数列，就转化为前面的类型。

求a n 。

(6)递推式为S n 与a n 的关系式

关系；（2）试用n 表示a n 。

∴S n +1-S n =(a n -a n +1) +(

∴a n +1=a n -a n +1+

n+1

n+1

n

1

n -2

12

n -1

n

∴a n +1=

212

-

1212

n n -1

)

a n +

上式两边同乘以2得2a n+1=2a n +2则{2a n }是公差为2的等差数列。

∴2n a n = 2+（n-1）·2=2n

2．数列求和问题的方法

（1）、应用公式法

等差、等比数列可直接利用等差、等比数列的前n 项和公式求和，另外记住以下公式对求和来说是有益的。

1＋3＋5＋……＋(2n-1)=n

2

【例8】 求数列1，（3+5），（7+9+10），（13+15+17+19），…前n 项的和。

解 本题实际是求各奇数的和，在数列的前n 项中，共有1+2+…+n=n (n +1) 个奇数，

21

∴最后一个奇数为：1+[

12

n(n+1)-1]×2=n2+n-1

因此所求数列的前n 项的和为

（2）、分解转化法

对通项进行分解、组合, 转化为等差数列或等比数列求和。

【例9】求和S=1·（n 2-1）+ 2·（n 2-22）+3·（n 2-32）+…+n（n 2-n 2）

解 S=n2（1+2+3+…+n）-（13+23+33+…+n3）

（3）、倒序相加法

适用于给定式子中与首末两项之和具有典型的规律的数列，采取把正着写与倒着写的两个和式相加，然后求和。

12n

例10、求和：S n =3C n +6C n + +3nC n

012n

例10、解 S n =0∙C n +3C n +6C n + +3nC n

∴ Sn =3n·2n-1

（4）、错位相减法

如果一个数列是由一个等差数列与一个等比数列对应项相乘构成的，可把和式的两端同乘以上面的等比数列的公比，然后错位相减求和．

例11、 求数列1，3x ，5x 2, …,(2n-1)xn-1前n 项的和．

解 设S n =1+3+5x2+…+(2n-1)xn-1． ①

(2)x=0时，S n =1．

23n

(3)当x ≠0且x ≠1时，在式①两边同乘以x 得 xSn =x+3x+5x+…+(2n-1)x，② ①-②，得 (1-x)Sn =1+2x+2x2+2x3+…+2xn-1-(2n-1)xn ．

(5)裂项法：

把通项公式整理成两项(式多项) 差的形式，然后前后相消。 常见裂项方法：

例12、求和

11∙5

+

13∙7

+

15∙9

+

1

(2n -1)(2n +3)

注：在消项时一定注意消去了哪些项，还剩下哪些项，一般地剩下的正项与负项一样多。

在掌握常见题型的解法的同时，也要注重数学思想在解决数列问题时的应用。

二、常用数学思想方法 1．函数思想

运用数列中的通项公式的特点把数列问题转化为函数问题解决。

【例13】 等差数列{an }的首项a 1＞0，前n 项的和为S n ，若S l =Sk （l ≠k ）问n 为何值时S n 最大？

此函数以n 为自变量的二次函数。∵a 1＞0 Sl =Sk （l ≠k ），∴d ＜0故此二次函数的图像开口向下 ∵ f（l ）=f（k ）

2．方程思想

【例14】设等比数列{an }前n 项和为S n ，若S 3+S6=2S9，求数列的公比q 。 分析 本题考查等比数列的基础知识及推理能力。

解 ∵依题意可知q ≠1。

∵如果q=1，则S 3=3a1，S 6=6a1，S 9=9a1。由此应推出a 1=0与等比数列不符。 ∵q ≠

1

整理得 q（2q -q -1）=0 ∵q ≠

3

6

3

此题还可以作如下思考：

33336

S 6=S3+qS 3=（1+q）S 3。S 9=S3+qS 6=S3（1+q+q）， ∴由S 3+S6=2S9可得2+q3=2（1+q3+q6），2q 6+q3=0

3．换元思想

【例15】 已知a ，b ，c 是不为1的正数，x ，y ，z ∈R+，且

求证：a ，b ，c 顺次成等比数列。

证明 依题意令a x =by =cz =k ∴x=1oga k ，y=logb k ，z=logc

k

∴b 2=ac ∴a ，b ，c 成等比数列（a ，b ，c 均不为0）