数学与应用数学(师范类)专业

数学与应用数学（师范类）专业

《数学分析》教学大纲

课程英文名称Mathematics analysis 、理论学时: 274 实验学时： 0

一、课程的性质与任务

数学分析是数学及应用数学专业的一门重要的基础课。它为进一步学习微分方程、复变函数、实变函数以及概率论等后继课程打下一定的基础。通过本课程的学习有助于学生树立辩证唯物主义思想和观点，有助于培养学生严密的逻辑思维能力和较强的抽象思维能力。特别对于师范类专业的学生而言，在中学教材已增添了部分微积分内容的情况下，本课程对中学的数学教学更具有直接的指导意义。因此，不论从学习后继课程，还是从指导中学数学教学来说，学习本课程都具有十分重要的意义。

本课程是以极限为工具，研究函数的微分和积分的一门学科，其主要内容包括极限论、一元微积分理论、多元微积分和级数等四大部分，理论学时共274学时，分三学期完成：数《数学分析I*》94学时；《数学分析II*》90学时；《数学分析III*》90学时。

通过本课程的学习，要求学生达到：

1、对极限思想和极限方法有深刻的认识，从而树立辩证唯物主义观点。

2、掌握数学分析的基本知识和基本理论，能熟练地进行基本运算（如求极限、导数、微分和积分等），并具有一定的逻辑思维能力和抽象思维能力，以及分析论证能力。

3、能应用微积分方法解决一定的实际问题。

二、 《数学分析I*》课程内容、目的要求学时分配（总学时94）

（一）函数 8学时

1．熟练掌握函数、反函数、复合函数、单调函数、有界函数、奇偶函数与周期函数等概念。

2．会求函数的定义域。

3．了解函数的各种表示法，掌握分析（或解析）表示法特别对分段表示的函数要很好地理解。

4．熟悉基本初等函数，初等函数。

（二）极限 30学时

1．掌握数列极限、函数极限、无穷小量、无穷大量及确界概念，对极限的否定形式要有所了解。

2．会用“ε-N ”，“ε-δ”，“ε-A ”方法处理极限问题。

3．对下述性质与定理要求能准确地叙述并会证明。

唯一性、有界性、保号性、收敛定理和海涅定理。

4．能运用四则运算、两边夹定理、单调有界数列极限存在定理及两个重要极限熟练地求极限。

5．理解无穷小量、无穷大量的概念，并会用无穷小量、无穷大量的性质处理极限问题。

（三）连续函数 8学时

1．理解一点连续、单侧连续与区间上连续的定义；理解间断点及其分类概念。

理解保号

性，有界性，四则运算，复合函数的连续性，反函数的连续性。

2．能准确叙述并会证明闭区间上连续函数的介值性，有界性，最值定理，一致连续定理（一致连续性定理的证明不作要求）。

3．了解初等函数的连续性。

（四）实数的连续性 10学时

1．准确地叙述并会证明实数系的几个基本定理

区间套定理，确界概念，确界存在定理，单调有界数列极限存在定理，聚点原理，收敛准则，有限覆盖定理。

2．会用上述定理处理某些证明问题。

（五）导数与微分 14学时

（一）目的要求

1．掌握导数（包括单侧导数与导函数）的概念，熟悉它的几何意义，掌握可导与连续的关系。

2．能熟练地应用导数定义与四则运算，复合函数的导数，反函数的导数，基本公式表，隐函数求导法，参数方程求导法求函数的导数。

3．会求一些函数的高阶导数。

4．理解微分的定义，微分的几何意义，微分与导数的关系，微分法则，一阶微分形式的不变法，会用微分进行近似计算。

（六）微分中值定理及泰勒公式，导数的应用 24学时

1．能正确叙述并证明费尔马引理，罗尔中值定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理。

2．会用中值定理证明一些恒等式与不等式。

3．会求一些简单函数的泰勒展开式。

4．能熟练地应用洛毕大法则求不定型的极限。

0∞∞" " 型与" " 型(型不证), 其它形式的不定型转化成以上两种形式的不定型。

0∞∞

5．函数单调性判别法。理解函数单调的充要条件，函数严格单调的充要条件，应用函数的单调性证明不等式。

6．理解极值概念，极值判别法，最大值与最小值概念，能熟练地求函数的极值和最大（小）值。

7．理解函数的凹凸性，拐点，渐近线等概念，会用有关的知识讨论函数的凹凸性及拐点，能应用导数较正确地作出函数的图像。

三、 《数学分析II*》课程内容、目的要求学时分配（总学时90）

（七）不定积分 18学时

1．掌握原函数与不定积分的概念，熟记基本积分表，理解线性运算法则。

2．熟练地掌握换元积分法与分部积分法。

3．掌握有理函数积分法，三角函数有理式的积分。

4．掌握简单无理函数的积分。

（八）定积分 18学时

1．掌握定积分概念。

2．可积的必要条件，理解大和与小和及其性质，可积的充要条件。

3．理解可积的充要条件，并能应用它判断或证明函数的可积性（包括可积函数类）。

4．定积分的性质。熟悉定积分的线性，有限可加性，单调性，绝对可积性，积分中值定理。

5．理解可变上限的定积分的性质并能熟练的处理相关问题。

6．能熟练地应用牛顿——莱布尼兹公式、换元积分法和分部积分法计算定积分。

7．了解定积分的近似计算方法。

（九）定积分的应用 12学时

1．会用微元法解决几何、物理中的一些问题。

2．定积分在几何上的应用。

掌握平面图形的面积，已知截面面积函数的立体体积，旋转体的侧面积，曲线的弧长与曲率。

3．定积分在物理上的应用。

求压力、功、静力矩、重心。

（十）级数 42学时

（1） 数项级数

1．掌握无穷级数的收敛、发散、和、绝对收敛及条件收敛等概念。

2．掌握收敛级数的性质（包括绝对收敛与条件收敛的性质）。

3．熟练掌握正项级数的敛散性判别法。

4．掌握交错级数的莱布尼兹判别法，理解任意项级数的狄利克雷、阿贝耳判别法。

5．了解级数的重排性质（黎曼定理不证明）。

（2） 函数项级数

1．理解收敛域、极限函数、和函数和一致收敛等概念。

2．熟练掌握优级数判别法；理解狄利克雷判别法、阿贝耳判别法。

3．理解函数列的极限函数的连续性、可积性、可微性、函数项级数的和函数的连续性、可积性（逐项积分）与可微性（逐项微分）。会用性质处理一些相关问题。

（3） 幂级数

1．理解幂级数、函数的泰勒级数的概念，了解函数可展成泰勒级数的条件。

2．掌握幂级数的内闭一致收敛性，和函数的连续性，可积性（逐项积分）与可微性（逐项微分）。

3．熟练掌握幂级数的收敛半径与收敛域的求法。

4．能用幂级数做某些近似计算。

（4） 傅里叶哀级数

1．掌握三角函数系的正交性与函数的傅里叶级数的概念。

2．能正确叙述傅里叶级数收敛性判别法。

3．能将一些函数展成傅里叶级数（包括只含正弦或余弦的展开）。

四、 《数学分析III*》课程内容、目的要求学时分配（总学时90学时）

（十一）多元函数及其连续性 10学时

（一）目的要求

1．掌握平面点集（邻域、内点、聚点、界点、边界、开集、闭集与区域）的一些基本概念，多元函数的极限，累次极限以及连续性等概念。

2．了解闭区域套定理、聚点原理、有限覆盖定理以及多元连续函数的性质。

（十二）多元函数微分学 15学时

1．掌握偏导数、全微分、方向导数、高阶偏导数等概念。

2．掌握全微分、偏导数、连续三者之间的关系。

3．会求函数的偏导数（包括高阶）、全微分、方向导数。

4．理解极值和最值的概念，掌握极值的必要条件，充分条件，会求多员函数的极值和某些函数的最大（小）值。

（十三）隐函数 14学时

1． 了解隐函数、函数行列式、条件极值的概念。

2． 能用隐函数存在定理判别隐函数的存在性，会求隐函数的导数或偏导数。

3．理解条件极值的概念及Lagrange's 乘数法。会求多元函数的条件极值。

4．会求曲线的切线方程和法平面方程，曲面的切平面方程和法线方程。

（十四）反常积分与含有参变量的积分 15学时

1．掌握广义积分（无穷积分、瑕积分）收敛、发散、绝对收敛与条件收敛等概念。

2．能用收敛性判别法判断一些广义积分的敛散性。

3．理解含有参变量积分的概念和分析性质，了解Г-函数、B -函数的性质。

4．能用收敛性判别法判断一些广义含参积分的敛散性。

（十五）重积分 18学时

1．理解二重积分与三重积分的概念。

2．理解二重积分与三重积分的性质。

3．掌握直角坐标系及极坐标系下二重积分的计算方法，能将三重积分化为累次积分，并利用柱面坐标、球面坐标计算三重积分。

4．会求一些图形的面积、体积以及一些物体的质量和重心。

（十六）曲线积分与曲面积分 18学时

1．理解第一型曲线积分及第二型曲线积分的定义、性质，掌握第一型、第二型曲线积分的计算方法，了解第二型曲线积分与第一型曲线积分的关系；掌握格林公式。

2．理解第一型曲面积分的定义、性质；第二型曲面积分的定义、性质，掌握第一型、第二型曲面积分的计算方法，了解第二型曲面积分与第一型曲面积分的关系；理解奥——高公式, 了解斯托克斯公式。

3．了解场论初步。

五．说明：本课程是重庆三峡学院的核心课程

六．课程使用的教材和主要参考书：

使用教材：刘玉琏，数学分析讲义（上、下册），东北师范大学数学系，高等教育出版社出版。 主要参考书：

[1]谢惠民等，数学分析讲义（上、下册），苏州大学数学系，高等教育出版社出版。

[2]陈纪修等，数学分析（上、下册），复旦大学数学系，高等教育出版社出版。

[3]华东师范大学数学系，数学分析（上、下册），华东师范大学数学系，高等教育出版社出版。

[4]裴礼文，数学分析典型问题与方法，高等教育出版社出版。

教学大纲制订者：刘学飞 审定者：陈晓春 数学与计算机科学 学院 函数论分析 教研室