14 菱形
菱形
【知识要点】
1.你知道菱形的定义吗?
2.你知道菱形有哪些性质吗? (1)边:(2)角:(3)对角线:
3.在菱形ABCD 中, 对角线AC,BD 相交于点O. (1)图中有哪些线段是相等的? 哪些角是相等的? (2)图中有哪些等腰三角形、直角三角形? (3)两条对角线AC ,BD 有什么特定的位置关系? 4.你知道如何辨别菱形吗? 5.你知道菱形的两种面积计算法吗? 6. 想一想:
(1)菱形是轴对称图形吗?如果是,那么它有几条对称轴?对称轴之间有什么关系? (2)如何利用折纸、剪切的方法,既快又准确地剪出一个菱形的纸片?
小颖是这样做的:将一张长方形纸对折、再对折,然后沿图中的虚线剪下,打开即可,你认为她这样做的道理吗?
(
3)李芳同学先画两条等长的线段AB
、AD ,然后分别以B
、
D 为圆心,AB 为半径画弧,得到两弧的交点C ,连接BC 、CD ,就得到了一个四边形,猜一猜,这是什么四边形?根据是什么? (4)把两张等宽的纸条交叉重叠在一起,你能判断重叠部分的形状吗?根据是什么?
1
C
(5)用一长一短两根细木条,在它们的中点处固定一个小钉,做成一个可转动的十字,四周围上一根橡皮筋,做成一个四边形,转动木条,这个四边形什么时候变成菱形?
【典型例题】
# 例1-1 如图,已知菱形ABCD 的对角线交于点O ,AC=16cm,BD=12
cm, 求菱形的高。
# 例1-2 菱形的周长为20cm ,两邻角的比为1:2,较短对角线的长是 ,一组对边的距离
为 ,面积是 。(要求自己作图)
# 例2 如图DE 是平行四边形ABCD 中,∠ADC 的平分线,DF//AD交DC 于F 。
求证:(1)四边形AEFD 是菱形。
(2)如果∠A =60︒,AD=5,求菱形AEFD 的面积。
例3 如图4-3-6,在△ABC中,∠ACB=90°,BD 是角平分线,CE⊥AB,交BD 于点G ,DF⊥AB,E 、F 为垂足,连结FG ,试判别四边形DCGF 的形状。
2
C
图4-3-6
例4 如图,边长为a 的菱形ABCD 中,∠DAB=60度,E 是异于A 、D 两点的动点,F 是CD 上的动点,满足AE+CF=a。
证明:不论E 、F 怎样移动,三角形BEF 总是正三角形。
C
* 例5
In the figure1, ABCD is a diamond, points E and F lie on its sides AB and BC
respectively, such that equal to ( ) A、40
(
AE BF
=, and ∆DEF is a regular triangle. Then ∠BAD is BE CF
B、60 C、80 D、100
(英汉小词典:diamond 菱形;regular triangle正三角形)
A
Fig.1
* 例6
如图所示,在菱形ABCD 中,∠DAB=120°,点E 平分DC ,点P 在BD 上,且PE+PC=1,那么
边长AB 的最大值是 。
例6 题图
* 例7
四边形的边分别为a,b,c,d ,且满足a +b+c+d=4abcd。猜想四边形ABCD 是什么图形,并说
4444
明你的理由。
3
* 例8
如图4-3-10,四边形ABCD 为正方形,BF∥AC ,四边形AEFC 为菱形,求证:∠ACF=5∠F。
F
图4-3-10
【大展身手】
# 1.下列判别错误的是( )
A、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形 B、有一条对角线平分一组对角的四边形是菱形 C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D、邻边相等的平行四边形是菱形
# 2.在菱形ABCD 中,AE⊥BC于E ,若S
A、4cm
B 、5cm
菱形ABCD
=24cm,且AE=4cm,则菱形ABCD 的边长为( )
D 、7cm
2
C 、6cm
# 3.在菱形ABCD 中,AE⊥BC ,AF⊥CD,且BE=EC,CF=FD,则∠AEF等于( )
A、120°
B 、45°
C 、60°
D 、150°
# 4.已知菱形的周长是40cm ,一条对角线的长是12cm ,那么这个菱形的面积是( )
A、190cm
2
B 、96cm
2
C 、48cm
2
D 、40cm
2
# 5.菱形的周长等于它的高的8倍,则它的相邻两个角的度数是( )
A、20°和160° B 、60°和120° C、45°和135° D、30°和150°
# 6.菱形中,两条对角线相交于一点,则这个图形中,面积相等的三角形有( )
A、8对
B 、12对
C 、15对
D 、16对
# 7.菱形ABCD 中,若∠ABC=120°,则BD :AC 的值是( )
A、、2:1
B
C 、1:2
2
菱形ABCD
D
# 8.在菱形ABCD 中,AE⊥BC于E ,若S
A、4cm
B 、5cm
=24cm,且AE=4cm,则菱形ABCD 的边长为( )
C 、6cm D、7cm
# 9.菱形中,两条对角线相交于一点,则这个图形中,面积相等的三角形有( )
A、8对
B 、12对
C 、15对
D 、16对
10.在菱形ABCD 中,AE⊥BC,AF⊥CD,且BE=EC,CF=FD,则∠AEF等于( )
4
A、120° B 、45° C 、60° D 、150°
11.已知菱形的周长是40cm ,一条对角线的长是12cm ,那么这个菱形的面积是( ) A、190cm
2
B 、96cm
2
C 、48cm
2
D 、40cm
2
12.菱形的周长等于它的高的8倍,则它的相邻两个角的度数是( ) A、20°和160° B 、60°和120° C、45°和135° D、30°和150° 13.菱形ABCD 中,若∠ABC=120°,则BD :AC 的值是( ) A
2
B
C 、1:2
D
14.将任意一张凸四边形的纸片对折,使它的两个不相邻的顶点重合,然后剪去纸片的不重合部分,展开纸片,再一次对折,使另外的两个顶点重合,再剪去不重合的部分后展开,此时纸片的形状是( ) A、正方形
B 、长方形
C 、菱形
D 、等腰梯形
15.已知菱形ABCD 的两条对角线AC 、BD 的乘积等于菱形的一条边长的平方,则菱形的一个钝角的大小是 ( ) A.165°
B .150°
C .135°
D .120°
16.菱形对角线的平方和等于一边平方的( ) A、2倍
B 、3倍
C 、4倍
D 、8倍
17.菱形对角线的平方和等于一边平方的( ) A、2倍
B 、3倍
C 、4倍
D 、8倍
# 18.菱形的周长为a ,高为h ,一条对角线长为m ,则另一对角线可表示为 。 # 19.若菱形两条对角线长分别是6cm 和18cm ,则它的周长是 。 # 20.若菱形两邻角之比为1:2,周长为24cm ,则较短对角线的长为 。
# 21.若从菱形的一个顶点到对边的距离等于边长的一半,则菱形两相邻内角的度数分别
是 。
# 22.菱形的一个角是60°,边长是8,那么菱形的两条对角线的长分别是 。 # 23.菱形ABCD 中,若AB=13,BD=10,则AC= 。
# 24.菱形的面积为27cm ,两条对角线的比为2:3,则较长对角线的长为 。
2
# 25.菱形的两条对角线长分别为a 、b, 则它的边长为 ,面积为 ,高为 。
26.如图,是一个圆形花坛,中间的鲜花构成一个菱形图案(图中尺寸单位为米),如果每平方米种植鲜花20株,那么这个菱形图案中共有鲜花 株。
5
27.菱形的一边与两条对角线夹角的差是20°,那么菱形的各角的度数为 。
28.如图,菱形ABCD 中,AE 垂直平分BC ,AF 垂直平分CD ,则∠B= 。
29.若以菱形的一个顶点到对边的距离等于边长的一半,则该菱形的两个相邻内角的度数分别是 和 。
F
D
# 30.如图已知∆ABC 中,AB=AC,D 为BC 中点,DE ⊥AC ,DF ⊥AB ,E 、F 为垂足,FG ⊥AC ,EH ⊥AB
且交于Q 、G 、H 为垂足。求证:四边形DEQF 为菱形。
31.如图,四边形ABCD 是菱形,F 是AB 上的一点,DF 交AC 于E 。求证:∠AFD=∠CBE 。
6
32.如图菱形ABCD 中,E 是AB 的中点,且DE ⊥AB ,AB=a,求:(1)∠ABC 的度数。 (2)对角线AC 的长。 (3)菱形ABCD 的面积。
33.已知:如图,△ABC 中,∠BAC=90°,AD ⊥BC 于点D ,BE 平分∠ABC 交AD 于点M ,AN 平分∠DAC 交BC 于点N 。求证:四边形AMNE 是菱形。
34.如图,∆ABC 中,AB=AC,AD 是角平分线,E 为AD 延长线上点,CF//BE交
AD 于F ,连结BF 、CE 。求证:四边形BECF 是菱形。
35.已知:如图所示,在平行四边形ABCD 中,AB=2AD
,
7
的一
D E
C
F B
∠A =60︒,E 、F 分别是DC 、AB 的中点.
求证:EF ⊥BD .
* 36.如图,在菱形ABCD 中,∠B=∠EAF=60°,∠BAE=20°,
的大小是 。 D
* 37.如图,在△ABC,点P 自点A 向点C 运动,作PE∥CB交
A E ,作PE∥AB交BC 于点F 。
E
P
(1)是否存在点P ,使□PEBF 是菱形? (2)若存在,请作出;否则说明理由。
B
F 8
则∠CEF
AB 于点
矩形与正方形
15-1 矩形 【知识要点】
1.你知道矩形的定义吗?
2.矩形有哪些性质呢? (1)边: (2)角: (3)对角线: 3.你能辨别矩形吗? (1) (2) (3) 4.注意:
(1)矩形被两条对角线分成的四个小三角形都是等腰三角形且面积相等。 (2)矩形是轴对称图形,两组对边的中垂线是它的对称轴。
5. 投圈游戏:四个学生正在做投圈游戏, 他们分别站在一个矩形的四个顶点处,目标物放在对角线的交点处, 这样的队形对每个人公平吗? 为什么?
6. 探索新知:直角三角形斜边上的中线长等于斜边的一半。你知道如何利用矩形的知识加以说明吗?
【典型例题】
9
# 例
1 如图,已知矩形ABC D的两条对角线相交于O ,∠AOD =120︒,AB=4cm,求此矩形的面积。
# 例2 矩形的两条对角线的交角之一是60,矩形较短的边与一条对角线长度之和为12cm ,则对角
线的长为 ,较短的边的长为 ,较长的边的长为 。
# 例3 如图,矩形ABCD 中,CE ⊥BD ,E 为垂足,
∠DCE :∠ECB =3:1,则∠ACE 等于多少?
# 例
4 如图,□ABCD 中,AE 、BF 、CG 、DH 分别是各内
角的平
矩形。
分线,E 、F 、G 、H 为它们的交点,求证:四边形EFGH 的
例5 已知:如图, 四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于且AC ⊥BD 。E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、AD 的中点。四边形EFGH 是矩形
10
点O ,
F
求证:
E
B
例6矩形ABCD 中,E 是CD 上一点,且AE=CE,F 是AC 上一
FH ⊥AE 于H ,FG ⊥CD 于G ,求证:FH +FG =AD
* 例7如图4,将矩形ABCD 的四个角向内折起,恰好拼
既无缝隙又无重叠的四边形
EFGH ,若
EH =3,EF =4,那么线段AD 与AB 的比等于
_________。
* 例8折叠问题:如图,矩形纸片ABCD 中,AB=4厘
BC =8厘米,现将A 、C 重合,使纸片折叠压平,设折EF 。试确定重叠部分△AEF 的面积和折痕EF 的长。
11
点
米,痕为
* 例9动点问题:△ABC 中,点O 是AC 边上
动点,过点O 作直线MN ∥BC, ,设MN 交∠BCA 线于点E ,交∠BCA 的外角平分线于点F . F
(1)求证:EO=FO
(2)当点O 运动到何处时,四边形AECF 是矩形? C
D
你的结论.
【大展身手】
# 1.下列命题正确的是( )
A、有两个角是直角的四边形是矩形 B、两条对角线相等的四边形是矩形 C、两条对角线垂直且相等的四边形是矩形 D、四个角都是直角的四边形是矩形
# 2.过矩形ABCD 的顶点D ,作对角线AC 的平行线交BA 的延长线于E ,则△DEB是(
12
的一个的平分
并证明
)
A、不等边三角形 B 、等腰三角形 C 、等边三角形 D 、等腰直角三角形
# 3.E 为矩形ABCD 中AB 边上的中点,CE⊥DE,那么∠CEB等于( )
A、30°
B 、45°
C 、60°
D 、75°
# 4.在四边形ABCD 中,O 是对角线的交点,能判定这个边形是正方形的是( )
A、AC=BD,∠A=∠B,∠C=∠D C、AO=CO,BO=DO,∠A=∠B
B 、∠ABD=∠CBD,AB=CD,∠A=∠B D 、AO=CO,BO=DO,AB=BC
# 5.矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ,则边与对角线组成的直角三角形的个数是( )
A、1个
B 、2个
C 、3个
D 、4个
# 6.如图4-4-1,已知正方形ABCD 的边长为53cm ,E 为DC 边上一点,∠EBC=30°,则BE 的长为
( ) A、cm
图4-4-1
图4-4-2
图4-4-3
B
B 、25cm C 、5cm
D 、10cm
7.如图4-4-2,等边三角形ABE 与正方形ABCD 有一条公共边,则∠AED等于( ) A、10°
B 、12.5°
C 、15°
D 、20°
8.如图4-4-3,E 是正方形ABCD 内一点,且△EAB是等边三角形,则∠ADE等于( ) A、70°
B 、72.5° C 、75° D 、77.5°
9.若矩形各角平分线能围成一个四边形,则这个四边形是( ) A、平行四边形
B 、矩形
C 、菱形
D 、正方形
10.用两个全等的直角三角形拼下面图形:
(1)平行四边形(2)矩形(3)菱形(4)正方形(5)等腰三角形(6)等边三角形,可以拼成的图案是( ) A、(1)(4)(5)
B 、(2)(5)(6)
C 、(1)(2)(3)
D 、(1)(2)(5)
11.如图,在矩形ABCD 中,AB=2BC,在CD 上截取一点E ,使AE=AB,则∠EBC 的度数为( ) A、10︒ C、22. 5︒
13
B 、15︒ D 、30︒
# 12.长方形如图.已知AB=2,BC=1,则长方形的内接三角形的面积最接近的数是 ( )
* 13.用长为30cm 的一根绳子,围成一个矩形,其面积最大值为( )
A、225cm
2
B 、112.5cm
2
2
C 、56.25cm
D 、100cm
2
* 14.如图,在矩形ABCD 中,AE 、AF 三等分∠BAD ,若BE=2,CF=1,则最接近矩形面积的是( )。 A、13
B 、14
C 、15
D 、16
四边形AEFD
F
* 15.如图,在矩形ABCD 中,点E 是边AB 的中点,过点E 作直线EF 交对边CD 于点F ,若S
S 四边形BCFE =2:1,则DF :FC 等于( ) A.5:1 C.4:1
B .5:2 D .3:1
:
# 16.一个矩形的长为15厘米,宽为8厘米,以矩形的四边中点为顶点的四边形的周长= ,
面积= 。
17.已知,如图,矩形ABCD 中,AC=10,ABCD 的面积是,
则
∠CAB 的度数是。
若AB=12
18.如图,沿AE 折叠长方形ABCD ,使D 点落在BC 边的点F 处,㎝,BC=13㎝,则FC 的长度是 。
19.如图,矩形ABCD 中,CE 平分∠BCD , ∠ACE =15,则
∠DOC , ∠BOE 的度数分别是 和 。
E ,且∠
20.如图,矩形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ,AE ⊥BD 于点DAE :∠BAE=2:1,AE=
。则矩形ABCD 的面
积
14
是 。
* 21.矩形ABCD 中,AB =2,AB ≠BC ,其面积为S ,则沿其对称轴折叠后所得的新矩形的对角线长为
________或__________.
* 22.(Figure 4)In the rectangle(长方形)ABCD,AB=4,
If the bisector (平分线)of ∠BAD passes through the (顶点), A meets BC at E,EF perpendicular to ED meets then the length(长度)of EF is __________。
A F
D
BC=7. vertex
B
C
AB at F,
* 23.如图,在矩形ABCD 中,过顶点D 作DE ⊥AC ,垂足
AE=8cm,ED=2cm,则矩形的周长为 cm。
为E ,若
* 24.如图5,自矩形ABCD 的顶点C 作CE ⊥BD ,E 为垂
长EC 至F ,使CF=BD,连接AF ,则∠BAF 的大小是 。
足,延
# 25.如图,平行四边形ABCD 中,M 为CD 的中点,且AM=BM。
平行四边形ABCD 是矩形。
26.如图,矩形ABCD 中,对角线AC 、BD 相交于O ,AE ⊥BD ,已知AB=3,AD=4,求∆AEO 的面积。
15
求证:
垂足为E ,
27.如图,平行四边形ABCD ,AE ⊥CE , BE ⊥DE ,求证:ABCD 形。 为矩
28.已知:如图所示,在矩形ABCD 中,AC 、BD 是对角线,过BD 的平行线与AB 的延长线交于点E .求证:∆ACE 是等腰三
15-2 正方形 【知识要点】
1.你知道正方形的定义吗?
2.你知道正方形具有哪些性质吗? (1)边: (2)角: (3)对角线:
3.你知道如何辨别正方形吗? (1) (2) (3) (4)
16
D
C
顶点C 作角形。
【典型例题】
# 例1.已知:如图正方形中,EF ⊥GH ,
求证:EF =GH
H
C F
E A
G
B D 的任# 例2.如图所示,正方形ABCD 的对角线相交于O ,Q 是DC 上
意一点,过D 作DP ⊥AQ ,交AQ 于H ,交BC 于P ,求证:∆OPQ 腰直角三角形. Q
B P
# 例3.如图,在正方形ABCD 中,M 为AB 的中点,
MN ⊥MD ,分∠CBE ,求证:DM=MN M
B E
例4.如图:正方形ABCD ,AE+CF=EF,求证:∠EDF =45︒ D F
A E
17
是等
且BN 平
* 例5.如图,在直角△ABC 中,∠C=90°,AC=3,
以AB 为一边向三角形外作正方形ABEF ,正方形的中心 为O ,且OC=42,那么BC 的长等于 。
* 例6.如图所示,正方形ABCD 中,E 是BC 的中点,F 是EC
连结AE 、AF ,求证:∠FAD =2∠BAE .
18
第10题
D E F
C
E
的中点,
【大展身手】
# 1.下列命题中错误的是( )
A、正方形既是矩形又是菱形 B、有一个内角是直角的菱形是正方形 C、有一组邻边相等的矩形是正方形
D、两条对角线想到垂直且相等的四边形是正方形
# 2.正方形具有而矩形不一定具有性质是( )
A、对角线互相垂直 B 、对角线相等
C、对角线互相平分 D 、对角线互相平分且相等
CD 两
图4-4-5
# 3.如图4-4-5,正方形ABCD 的边长为3,以CD 为一边向
旁作等边△PCD和等边△QCD,那么PQ 的长为( ) A、
3 2
B 、
2 3
C 、33 D 、6
# 4.一个正方形和一个等腰三角形周长相等,等腰三角形两边长为13cm 和6cm ,这个正方形的面积
是( ) A、64cm
2
B 、
6252
cm 16
C 、32cm
2
D 、25cm
2
# 5.在正方形ABCD 中,E 为BC 上一点,EF⊥AC,EG⊥BD,垂足为F 、G ,如果AC=10cm,那么EF+EG
等于( ) A、10cm
B 、7.5cm
C 、5cm
D 、2.5cm
EC 相交于
6.如图,以正方形ABCD 的一边向形外作等边△ABE ,BD 与点F ,则∠AFD 的度数等于( )。 A.60°
B .50°
C .45°
D .40°
* 7.Let a be the length of a diagonal of a square, b and c be the length of two diagonals
of a rhombus respectively. If b:a=a:c,then the ratio of area of the square and rhombus is ( )
19
A.1:1.
B .2
C .1
D .1:2.
* 8.如图,ABCD 是边长为1的正方形,EFGH 是内接于ABCD 的正方形,
AF=b,若S EFGH =
AE=a,
2
,则|b-a|等于 ( ) 3
B .
A.
2 22 3
C .
2
D .
3
第8题
* 9.P 是线段AB 上的一点,AB=1,以AP 和BP 为边分别作两个正方形,当这两个正方形的面积的差
的绝对值为
1
时,AP 的长是( ) 2
B .或
A.
13或 44132 3
C .或
154 5
D .
25或 77
* 10.如图2,正方形ABCD 的面积为256,点E 在AD 上,点F 在
AB 的延长线上,EC ⊥FC ,△CEF 的面积是200,则BF 的长是 A.15
B .12
C .11
D .10
* 11.如图4,正方形ABCD 中,AB=8,Q 是CD 的中点,设∠DAQ=a,
一点P ,使∠BAP=2a,则CP 的长度等于( ) A.1
B .2
C .3
D .3
在CD 上取
# 12.如图4-4-7,在等腰直角三角形ABC 中,边AB=AC=5cm,E 为
则正方形
ADEF 的周长为 。
B D A
BC 中点,
图4-4-7
# 13.已知一个矩形与一个正方形的面积相等,若矩形的长与宽的比为2:1,那么正方形的边长与矩
形宽的比为 。
# 14.已知正方形ABCD 中,AC 、BD 交于点O ,OE⊥BC于E ,若OE=2,则正方形的面积为 。
20
# 15.正方形ABCD 的对角线交于O ,则在图中共有 个等腰直角三角形,共有 对全等的三
角形。
16.如图4-4-8,正方形纸片ABCD 的边BC 上有一点E ,AE=8cm,若A 片对折,使点A 与点E 重合,则纸片折痕的长为 。
图4-4-8
D
把纸
17.在正方形ABCD 中,对角线AC=10cm,P 是AB 边上任意一点,则P 到对角线 AC 、BD 的距离之和为 。
* 18.如图3,从一个边长为a 的正方形纸片ABCD 中剪去一个宽为
长方形CDEF ,再从剩下的纸片中沿平行短边的方向剪去一个边长为正方形BFHG ,若长方形CDEF 与AGHE 的面积比是3∶2,那么
C F
b c
的的
b
= ;正方形BFHG 与正方形ABCD 的面积比是 a
19.如图,正方形ABCD 的面积为1cm ,P 是正方形内一点, 若△PBC 是等边三角形,则△PBD 的面积为 cm。
2
2
G 图
B
* 20.Suppose that in Fig.2,the length of side of square ABCD
and F are mid-points of CD andAD respectively ,BE and CF
D
P
C
is 1,E
intersect at a point P .Then the length of line segment CP is F __________.
(英汉词典:figure (缩写Fig. )图;length 长度;square 正方-point 中点;intersect 相交;line segment 线段)
A
图2
B
形;mid
* 21.如图5,正方形BCDE 和ABFG 的边长分别为
是 。
,连接CE 和CG ,则
系
图中阴影部分的面积是 ;CE 和CG 的大小关
F
* 22.如图4,△ABC 中,BC :AC=3:5,四边形BDEC 和
为正方形,已知△ABC 与正方形BDEC 的面积比是3:5,CEF 与整个图形的面积比等于__________。
A
图 4
B
G
C
E
ACFG 均那么△
D
* 23.如图4-4-16,用四块同样大小的方砖,围出一个菱形ABCD ,
顺次在四块方砖上轮流走动,每一步都踩在一块方砖的中心,试路线是什么图形?
一个小孩问小孩的
图4-4-16
* 24.已知:如图,分别以△ABC 的两边AB 、AC 为边长向形
方形ABDE 和ACFG ,AH ⊥BC 于点H ,HA 的延长线交EG 于点M 。EM=MG。
外作正求证: