图形的相似与
本文档是本人花费多年,收集整理的,精心挑选!图形的相似与全等张建良 常熟市实验中学【课标要求】1、图形的相似 (1)了解比例的基本性质,了解线段的比、成比例的线段,会判断已知线段是否成比例.通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割.(2)通过具体实例认识图形的相似,探索相似图形的性质,知道相似多边形的对应角相等,对应边成比例,面积的比等于对应边比的平方.(3)了解两个三角形相似的概念,探索两个三角形相似的条件及其主要性质.(4)了解图形的位似,能够利用位似将一个图形放大或缩小. (5)通过典型实例观察和认识现实生活中物体的相似,利用图形的相似解决一些实际问题(如利用相似测量旗杆的高度). (6)能建立适当的坐标系,描述物体变换的位置.能灵活运用不同的方式确定物体的位置. (7)在同一直角坐标系中,感受图形变换后点的坐标的变化.2、图形的全等 (1)了解图形全等的概念,知道根据图形全等的概念识别全等图形;知道全等图形的对应边、对应角相等,会利用图形的全等解决一些简单的问题. (2)经历三角形全等的识别方法(若两个三角形的三边分别对应相等,则两个三角形全等;若两个三角形的两边及其夹角分别对应相等,则两个三角形全等;若两个三角形的两角及其夹边分别对应相等,则两个三角形全等)的探索过程,在与三角形相似的比较中加深认识,并运用这些方法识别三角形的全等. (3)经历直角三角形全等的特殊识别方法(如果两个三角形的斜边及其一条直角边分别对应相等,那么这两个直角三角形全等)的探索过程,并会运用各种方法识别三角形的全等.3、命题与证明 (1)了解命题、定义、公理的含义,会区分命题的题设(条件)和结论. (2)结合具体的例子,了解逆命题的概念,会识别两个互逆命题,并知道原命题成立逆命题不一定成立. (3)通过具体的例子理解反例的作用,知道利用反例可以证明一个命题是错误的. (4)掌握用综合法证明的格式,体会证明的过程要步步有据.4、尺规作图 (1)掌握下列基本作图:画一条线段等与已知线段、画一个角等于已知角、画角的平分线、画线段的垂直平分线、画一条线段的垂线. (2)会利用基本作图画三角形:已知三边画三角形;已知两边及其夹角画三角形;已知两角及其夹边画三角形;已知底边及其底边上的高画等腰三角形. (3)探索如何过一点、两点和不在同一直线上三点作圆. (4)了解尺规作图的步骤,对于尺规作图题,会写已知、求作和作法.(不要求证明)【课时分布】 图形的相似及其全等在第一轮复习时大约需要7个课时,其中包括单元测试.下表为内容及课时安排(仅供参考).课时数内 容1比例线段、相似三角形的判定2相似三角形的性质及其应用1全等三角形的判定1图形相似和全等的综合训练2图形相似和全等单元测试与评析【知识回顾】1、知识脉络.2、基础知识比例线段,若(或a∶b=c∶d),则四条线段a、b、c、d叫做比例线段.比例基本性质:若,则ad=bc. 在比例中运用设k法.相似多边形,对应边成比例,对应角相等.(识别方法)相似三角形的相似比(当k=1时,得特殊的相似三角形,称为全等三角形).相似三角形的判定定理: (1)如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等,那么两个三角形相似; (2)如果一个三角形的两边分别与另一个三角形的两边对应成比例,并且夹角对应相等,那么两个三角形相似; (3)如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么两个三角形相似; (4)如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似.相似三角形的性质定理:(1)若两个三角形相似,则这两个三角形的对应边成比例,对应角相等. (2)若两个三角形相似,它们对应中线的比,角平分线的比,高的比都等于相似比. (3)若两个三角形相似,它们周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方.直角三角形中的射影定理.利用相似三角形的性质解决一些实际问题.画相似图形,利用位似方法,把一个多边形放大和缩小.全等三角形的判定定理:SSS、SAS、ASA、AAS、HL.命题、定理、公理.五种基本作图及简单的作图题.3、能力要求例1 已知△ABC中,∠ACB=90o,CD⊥AB于D, AD∶BD=2∶3且CD=6.求(1)AB;(2)AC. 【分析】设AD=2k,BD=3k.根据直角三角形和它斜边上的高,可知△ABC∽△ACD∽△CBD.通过相似三角形对应边成比例求出其中k的大小;但是如果根据用射影定理,那么就可以直接计算出k的大小.解:设AD=2k,BD=3k(k >0).∵∠ACB=90o, CD⊥AB.∴CD2=AD?BD,∴62=2k?3k,∴k=.∴AB=.又∵AC2=AD?AB,∴AC =.【说明】解题的方法可以不止一种,本题采用了补充的射影定理来解,其中通过设k法将两线段的比转化成两线段的长2k和3k,建立关于k的等式.在含有比例的解题中设k法是常用的解题方法之一.例2 已知△ABC中,∠ACB=90o,CH⊥AB,HE⊥BC,HF⊥AC.求证:(1)△HEF ≌△EHC;(2)△HEF∽△HBC.【分析】从已知条件中可以获得四边形CEHF是矩形,要证明三角形全等要收集到三个条件,有公共边EH,根据矩形的性质可知EF=CH,HF=EC.要证明三角形相似,从条件中得∠FHE=∠CHB=90o,由全等三角形可知,∠HEF=∠HCB,这样就可以证明两个三角形相似.【证明】∵HE⊥BC,HF⊥AC,∴∠CEH =∠CFH=90o.又∵∠ACB=90o,∴四边形CEHF是矩形.∴EF=CH,HF=EC,∠FHE=90o.又∵HE=EH,∴△HFE ≌△EHC.∴∠HEF=∠HCB.∵∠FHE=∠CHB=90o,∴△HEF∽△HBC.【说明】在这一题的分析过程中,走意的等边三角形AB1C1是对问题(2)研究的关键.分别以A、B1两点为圆心,AB1长为半径作弧,两弧的交点即为点C1.然后把等积式改写比例式,找出所需的两个相似三角形.【解】 (1)如图所示;【证明】(2)∵△AOC与△AB1C1等边三角形,∴∠ACB=∠AB1D=60o.又∵∠CAQ=∠B1AD, ∴△ACQ∽△AB1D;(3) 猜想∠ACC1=90o.证明:∵△AOC和△AB1C1为正三角形,AO=AC,AB1=AC1,∴∠OAC=∠C1AB1,∴∠OAC-∠CAQ=∠C1AB1-∠CAQ,∴∠OAB1=∠CAC1 .∴△AO B1 ≌ △AC C1.∴∠ACC1=∠AOB1=90o.【说明】问题中要求学生画出正△AB1C1,是对学生理解能力和动手能力的考验,教材中安排的五种基本作图,教学中应当给予一定的重视.同时通过比例线段确认要证的相似三角形是常用方法之一. 问题(3) 是一道结论开放的问题,根据对已知条件的分析,对图形的观察,猜想直角,再根据所推断出的目标,去证明猜想是正确的.这样既培养学生的合情推理能力,也给了学生一个探索的平台.例5 (1)已知如图①,在△AOB和△COD中,OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD=60o.求证:①AC=BD,②∠APB=60o.(2) 如图②,在△AOB和△COD中,OA=OB,OC=OD, ∠AOB=∠COD=α,则AC与BD间的等量关系式为______________;∠APB的大小为_____________.(3) 如图③,在△AOB和△COD中,OA=kOB,OC=kOD(k>1), ∠AOB=∠COD=α,则AC与BD间的等量关系式为_________________;∠APB的大小为_____________.【分析】要证AC=BD,在图①可以找AC 与BD所在的两个三角形全等。即证明△AOC≌△BOD可以解决.求∠APB的度数可以通过三角形内角和转化成∠AOB的度数. (2)、 (3)题的答案,可以形的边长为x m,通过相似三角形对应边成比例建立方程,求出边长. 方案(2), 设正方形的边长为xm,通过相似三角形对应高的比等于相似比建立方程, 求出边长.【解】方案(1):有题意可知, DE∥BA,得△CDE∽△CBA.∴; 方案(2):作BH⊥AC于H. DE∥AC,得△BDE∽△BAC. ∴.∵∴如图(1)加工出的正方形面积大.综上所得,甲同学设计的方案较好. 【说明】利用相似三角形的性质解决实际问题,让学生感受生活中的数学.在解决几何中相关的一些计算问题时往往可以转化方程来讨论.当然在教学中可将问题改成:请你给出设计方案,并加于说明.