改进的定积分中值定理在解题中的应用
高等数学研究
STUDIESINC()LLEGEMATHEMATICSV01.1l。No.6NOV.。2008
改进的定积分中值定理在解题中的应用。
赵旭波李,J、平(中国石油大学(华东)数学与计算科学学院山东东营257061)
摘要传统的定积分中值定理对“r的范围限定在闭区间上.事实上.。r的取值范围可改进为限定在开区间内.利用改进的定积分中值定理.可使某些极限题目的求解更简便.快捷;对某些证明题目能得到更强的结论.而同样的题目.借用传统的定积分中值定理未必能够完成求解或论证.
关键词定积分;中值定理;开区间.中图分类号0172.2。
定积分中值定理是高等数学中重要的定理之一.它在微积分理论研究和实际应用中都占有重要作用.大多数工科高等数学教材给出定理内容如下[¨:
定理1如果函数,(z)在闭区间[口.6]上连续,则至少存在一个点e∈[口,阳,使下式成立:
I厂(工)dz一厂(车)(6一“).(口≤≤e≤≤6).
这里e是在闭区间[口.6]中,用此定理证明问题时有不便之处.
事实上,上述定积分中值定理可改进为;
定理17设函数,(z)在闭区间[cc,6]上连续.则至少存在一个点搴∈(n,6).使
If(x)dx=厂(e)(6一口).(口<搴<6).
该结论的证明可参看文[1]第239页例6.下面给出改进的定积分中值定理在数学解题中的应用.特别地,在某些求极限问题中.利用改进的定积分中值定理可使问题求解大为简化.
例1求极限:
.,p”J(1)limf号sin'xdxt-n’墅ro(2).o赢如。(2)lira]九』≥也1牟.,7
文[2]用了定积分的不等式性质及夹逼定理给出如下解答:
解法一[23(1)任给e>0,不妨设0<E<-兀5-.则
,;sin。zdz=.f;一号sinlzd工+,:一号sin。工出≤.f;一专sin。c号一-争,dz+,:一考ldx≤
(号一号)sin"(号一号)+号.
由于o<sin(詈一号)<1・所以当n--tbOO时・(号一号)s时(号一号)一0・故存在N>0,当刀>N时,(詈一号)sinI(詈一号)<号,从而J:sin_xdx<e・即
liml‘sin。xdx=0.
-收稿13期:z008—01—20.修改13期;2008—07—15.基金项目t中国石油大学(华东)高等敷学教学现状分析研究(编号Bk—B20064Z).
第11卷第6期赵旭波。李小平:改进的定积分中值定理在解题中的应用27
(2)因。≤fr≠丢如≤fz”d工=才b一。(当拧一o。).由夹逼定理可得,
!imf:南扣。・ol+√工
上述两题用改进的定积分中值定理求解非常简单.
解法二(1)lira
(2)
一“h1+0limfl—}Fdz:lim乓:o,其中已与咒有关,且毛∈(o,1).。I2sin。xdx=limsin”车。・吾=o,其中毛与行有关,且&∈(o,詈).
z一。1+0∈。
注意.上例不能使用定理1证明,因为若不排除已取端点值情况,则极限值不能确定.
利用例1的结论,很容易推得
竺1丽。i,。J。5lim粤三尝;一2limrlim黑二等一limf亏sin"州z如:0;燥西再j而一!翼J。8…z血2;sin2.xdx:0.2・.
记z.=锗=L募奢譬毒妄{黜.显然,z计t—z。・丽2n+12““。(2n)J,一些辅导书对上述极限的求解方案如下‘”:‘×4×6
极限存在准则知,limx.存在.注意到
i1一熹1z。×3熹5等揣2>丛巡2普4去6轰击2掣n××…×(2n)。一““’“”‘“”<z。,且z。>o,由v’…2行+2、“”一“。7×…J×(打一1)一一×××…×()~㈣Ⅷ。一。…’…’
即z一2<西高了,所以。<z一<。7麦青,由夹逼定理知墅z一一。・
关于例1的解法二显示了改进的定积分中值定理在计算某些类型极限的优势,而在一些综合计算题中它的这种优势更加明显.
例2[31
广』设L=f南如一fx1
‘sin'x如(行一1,2,…),求数翔极限!受L・其中口是函数厂(z)一Icos÷df在点z=0处的导数.J0
分析
解文[3]在求出口=/(o)=0之后,借用了数列的单调有界原理及夹逼定理来进行证假定Ⅱ=0已求出,则明,过于繁琐.此不复述,以下利用定理17进行求解.一lira。I一2墅c』:者≥dz一卜sin州工卜…lim(忐一删n~㈦=。+。=。,其中&∈(0,1),协∈(O。'r).
另外,在一些可以利用定理1证明的题目中,改用定理17可使所得的结果更好,而有些题必须用定理17证明,改用定理1则证明不了.下面各举一例:
例3设函数厂(z)在[0,+o。)上连续,严格单增目.厂(O)≥o,试证函数
FT)=●一zf丫
叽£)d£z>0,z50.
(下转第30页)在rLO+∞、,上单阔不减,~n>0L
30高等数学研究2008年11月关,推出Newton-Leibniz定理.用最常见的、易于获得原函数的被积函数举例.
不必专章学习“不定积分”方法与技巧,仅用2~4学时专题介绍原函数的一些求法.
可参考的做法如[9]在积分之后以简短篇幅介绍求原函数技术;[10-]在提出不定积分概念后紧接着讲述积分与Newton-Leibniz定理;E7]用第209—215页篇幅讲述不定积分,之后即介绍常微分方程概念及简单问题,这样不定积分的用处立即显现.
“不定积分”内容减少后,可适当加强积分数值计算内容,介绍计算误差分析、有关数学软件应用,特别是用实例将数值计算结果与Newton—Leibniz定理计算结果进行比较.
参考文献
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裘光明.等译.北京:科学出版社,1984.
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育出版社,2006:13I一136.
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・o●<>●o●,00,09,05,000●o●‘>●o●‘>●<,o‘o-●,00‘,●’o,●19●・夺●"00●‘C'●o●・o●o●o●●,●●:・●‘'●o●・,●‘》●‘).●(上接幂27页)
证明易证F(工)在[o,+oo)上连续.,27>0时,
F7(z)=——————<旦——一=生上∑型——L世.F,。,,:三二:!!三:二』!::!!::!::兰:』!兰!=£』!生!
z。z
因厂(z)在[o,+oo-)上严格单增.故由定理1知,拿∈[o,z]得F,(z)≥0。所以F(z)在[o,+oo)上单调不减.而由定理17知,e∈(o.z)得F7(z)>0,所以F(z)在[o,+oo)上严格单增.
例4设,(z)在[口-6]上连续,在(口・6)内可导,且Fl_J。厂(z)妇2厂(6)・证明在(口・6)内至少存在一点e.使/(e)=0成立.
证明由定理17知,lf(z)dx=f(r1)(6一口),7∈(口,6).故有f(TI)=厂(6).在[7・加应用罗尔定理。即可证得结论.
此题用定理1证明不了,当然还有其它证明方法。如作相关的辅助函数,这里不再展开说明.
参考文献
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[2]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京:高等教育出版社,1993.[3]陈文灯,陈启浩.高等数学综合题解析[M].北京:中国铁道出版社。2005.
改进的定积分中值定理在解题中的应用
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被引用次数:赵旭波, 李小平中国石油大学(华东)数学与计算科学学院,山东东营,257061高等数学研究STUDIES IN COLLEGE MATHEMATICS2008,11(6)0次
参考文献(3条)
1. 同济大学应用数学系 高等数学(上) 2002
2. 裴礼文 数学分析中的典型问题与方法 1993
3. 陈文灯. 陈启浩 高等数学综合题解析 2005
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