波函数和薛定谔方程_郭红

第13卷第6期2000年12月高等函授学报(自然科学版)

Journal of Higher Correspondence Education(Natural Sciences) Vol. 13No. 6December 2000

文章编号:1006-7353(2000) 06-0007-04

X

波函数和薛定谔方程

郭 红

石坤泉

(华中师范大学物理系) (广东省梅州农业学校)

摘要:本文论述了量子力学中波函数取为复值的必要性, 阐明了态叠加原理是引入复值波函数的物理基础。介绍了求解薛定谔方程的一种简易方法。

关键词:波函数; 叠加原理; 薛定谔方程

中图分类号:O 413. 1 文献标识码:A

1 波函数与叠加原理

众所周知, 微观客体具有波粒二象性, 因此, 我们可用波函数来描述微观系统的状态。但必须强调, 波函数给出的有关微观系统的信息本质上都是统计性质。例如, 在适当条件下制备动量为P 的粒子, 然后测量其空间位置(或角动量) , 我们根本无法预言这一次测量的准确结果, 只能知道获得各种可能结果的概率。很自然, 人们会提出这样的疑问:既然量子力学只能给出统计性质, 那就只需引入一个概率分布函数(象经典统计力学那样) , 何必假定一个复值波函数呢? 事实上, 引入复值波函数的物理基础, 是量子力学中一条基本原理) ) ) 叠加原理。这条原理告诉我们, 两种状态的叠加, 决不是概率相加, 而是带有相位的复值波函数的相加[1], 正因为如此, 在双缝衍射实验中, 我们才能看见屏上的干涉花纹。

现在我们再来详细考察双缝衍射实验。我们在屏上选择一个小区域P , 分别打开左边和右边狭缝, 单位时间落在P 区域内的粒子数目分别为N 1和N 2; 然后同时打开两条狭缝。试问:这时单位时间内落在小区域P 内的粒子是否等于来自左边狭缝的N 1个

X

粒子和来自右边狭缝的N 2个粒子之和呢? 不是。既然粒子一个一个地通过狭缝从而互不

影响, 因此, 这个结果表明, 似乎原先通过左边狭缝的粒子, 在打开右边狭缝时会影响它落在屏上的位置, 也就是说, 我们必须设想单个粒子具有波动性, 因此, 仅仅把波动性理解为概率分布是不够的[2]。

设U 左和U 右是分别打开左边和右边狭缝时的波函数, |U 左|2和|U 右|2则是相应的概率分布。如果我们把粒子的波动性仅仅理解为概率分布, 我们就很容易把打开双缝

2

后的概率分布写成|U 左|2+|U 右|, 即N =

N 1+N 2; 但实验告诉我们, N X N 1+N 2, 双缝衍射的正确概率分布应是|U 左+U 右|(假设整个实验是左右对称的) , 换句话说, 在双缝衍射实验中, 不能应用概率叠加法则, 而必须采取波函数叠加原理。2 薛定谔方程

物理体系在其外部环境条件完全确定情况下, 体系初始态应该唯一地确定以后的状态。它要求描述状态变化的方程是时间的一阶微分方程, 在量子力学中就是薛定谔方程

i Ü=H ^U 为了求得体系状态的时间发展, 我们必

2

收稿日期:2000-10-02

2000年12月Journal of Higher Correspondence Education(Natural Sciences)

px 2P Ü

*p

Vol. 13No. 6December 2000

须从已知初态出发, 利用薛定谔方程求出唯一的解

i Ü=H ^U (t)

U (t =0) =U 0

既然对于许多常见体系(一维方势阱, 谐振子, 库仑中心势, ,, ) 能量本征波函数是已知的, 我们就可以利用这一有利条件, 直接写出解U (t) [3], 其步骤如下:

首先, 把初态U 0在能量本征态{U n }上展开(其中能量本征态满足H ^U n =E n U n ) , U 0=

]

U p (x ) =

]

因此C p =

Q U (x ) #U (x ) dx

=Q (P a ) e

-]

]-]

2-1/4-x /2a

2

2

-dx

2P Ü=(2P Ü) 1/2#21/4

(P A )

#

#

Q

]

-]

e

-

1p a 2p a (x+i ) -2a 2Ü

222

dx

E C n U n ; 然后直接写下

n

U (t) =

E

n

i

-E n t

C n U e n

Q

得Q e

利用

]-]

-]-

e

-a N

2

d N =

2

, a =

2P a

22

2

2(x+i ) dx 2a

例如, 一维无限深势阱(势阱位于|x |

2cos sin (|x |

2a 2a 2a

sin (x +a) 2a 0

把U 0在能量本征波函数U n 上展开, 其中U n (x ) =

(|x |

p a -C p =#2P ae 2Ü1/221/4

P (P A )

2221/4

-=e 2Ü22

P Ü

]i i x e -dp 故U (x , t) =C e (p)

P 1/2-]21/4=P Ü(2P Ü) 1/2

2

#= #= #

得U U 1(x ) +U 3(x ) 0(x ) =

22222考虑到E n =2, 可求得

8L a t t --1U (t) =e U 1+e 3U 3

22

22

-i P Ü/8L a =e cos

2a 2a

-i 9P 2Ü/8L a 2 -cos 2a 2a

3 常见题型解答

例1 粒子作一维自由运动, 设t =0时刻粒子的状态波函数为高斯波包。

U (x ) =(P a )

2-1/4-x /2a

]-]

2

]

P Ü2

-2

-a p 2i -i p e 2Üe e dp 1/4

2

-1/2e 2(2P Ü)

22Ü2

2a

+t

2

e

P Ü

-1/4

p-

a it i x

2

dp

-1/2e 2(2P Ü) 2a +t

x 2

e

22

试求在t >0时刻:(1) 粒子的波函数U (x , t) ; (2) 粒子的位置几率密度; (3) 粒子的动量几率密度.

解 (1) 一维自由粒子的能量本征函数

2+2L ÜÜ21/4=-a 2+

(2) 粒子的位置几率密度_|U (r , t) |2=e -4a +L

(3) 粒子的动量几率密度|C p (t) |=

2

i -Et C p e

2

2a +t

x

2

a x

4Üt a +22

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22

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=|C p |=e -Ü2

Ü

例2 一维薛定谔方程为:i Ü

22

=-2L +U(x , t) U (x , t)

dx

若粒子所处外场均匀但与时间有关, 即U(x , t) =U(t) , 试用分离变量法求解薛定

2

22令X (x ) =-k 1, Y(y ) =-k 2

2

X d (x ) +k 1X (x ) =0得

Y d (y ) +k 22Y(y ) =0k 12+k 22=2L E/Ü2

解为

X (x ) =A 1e ik 1x +B 1e -ik 1x

(1) (2)

谔方程, 说明方程的解U (x , t) 具有何形式

解 令U (x , t) =U (x )f (t) 代入方程得 i Ü[U (x ) f (t) ]

22

=-2L 2+U(t) U (x ) f (t )

dx

f 2i Üf (t) -U(t) =-2L =K (常数) 由此得两常微分方程

2-U d (x ) =K U (x ) 2L i Ü[ln f (t) ]=K +U(t) dt

U (x ) =A

? 1e t

Y(y ) =A 2e ik 2y +B 2e -ik 2y (3) (二) 由波函数标准条件定参数k 1, k 2, 得E.

(1) 由U |X

a x ==U |x =-

a =0得

=X -=0,

22

A 1e ik 1+B 1e -a

a

ik 1

=0

即

(4)

(5) +=0

A 1和B 1有非零解的条件是系数行列式为零

e ik 1e -ik 1a -ik 1A 1e a ik 1B 1e

e -e

ik 1ik 1=0

即0=e

ik a

1

-e

-ik a

1

=2i sin k 1a, k 1a =n 1P ,

x

n 1=1, 2, ,

[K +U(N )]d N 0f (t) =A 2e -Ae ? t+x -e [K

所以U (x , t) =

Q U(N ) d N ]

t 0

所以 k 1=

粒子的波函数具有平面波的形式, 但位相受外场U(t) 调制。

例3 设电子被关闭在具有理想反射壁的二维势阱中, 求电子的能级和波函数, 势阱的形状为:

0,

U =

],

-

, 2, 2

-

. 2; 2

n 1P

, n 1=1, 2, , a

(2) 由U |y =b =U |y =-(6)

b

=0, 得

Y

=Y -=0,

22

A 2e

b

ik 2+

b

b -ik 2B 2e

b

=0

即

A 2e -ik 2+B 2e ik 2=0n 2P

同理得:k 2=b , n 2=1, 2, , , (9)

(3) 将(6) 式及(9) 式代入(1) 式, 得电子的能级

22

n 2n 221 E n 1n 2=+2(10) 2L a 2b

(三) 由(4) (5) (7) (8) 及波函数归一化条件定系数

(7) (8)

解 (一) 在势阱内的定态薛定谔方程为

22

2+-=E U

2L 5x 25y 2

用分离变量法求解, 设U (x , y ) =

(1) 由(4) -(5) , 得(A 1-B 1) 2i sin

k 1a n 1P

=(A 1-B 1) 2i sin 22=0

X (x ) Y(y ) , 得

+=-2

X (x ) Y(y ) Ü

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当n 1为奇数, 则sin

1X 0, 有A 1=B 12

(2) 由(4) +(5) , 得

11=(A 1+B 1) 2cos =022

1当n 1为偶数, 则cos X 0, 有A 1=-B 1

2

(3) 由(7) -(8) 得知, 当n 2为奇数时, A 2

=B 2

(A 1+B 1) 2cos

(4) 由(7) +(8) 得知, 当n 2为偶数时, A 2

=-B 2

(四) 将以上结果代入(2) 式和(3) 式, 得

n 2为奇数

n 1为奇

U 1=

n 1P x n 2P y 2

cos cos

ab

n 1P x n 2P y 2

sin cos ab

1n 1为奇; a

X (x ) =(11)

n 1P x

2iA 1sin a n 1为偶.

n 2P y

2A 2cos n 2为奇;

b

Y(y ) =(12)

n 2P y

2iA 2sin n 2为偶.

b

(五) 将(11) 、(12) 代入U (x , y ) =

2A 1cos

X (x ) Y(y ) , 由归一化条件得归一化因子为, 于是与E n 1n 2相应的波函数为ab

n 2为偶数

U 2=

n 1P x n 2P y 2

cos sin

ab

n 1P x n 2P y 2

sin sin ab

n 2为偶U 3=U 4=

例4 设质量为L , 电荷为q 的粒子, 在弹性力F =-kx 和均匀电场E =E e x 的共同作用, 其势能为

2

U(x ) =2kx -q E x ,

求粒子的能级和波函数.

解 令k =LX 2, 通过配方将势能化为22

U(x ) =2LX x -q E x

2

222

=LX x --2LX 22L X 2

作变量代换:X =x -LX

哈密顿算符为

2

22222H ^=-+LX X -2L dX 22LX

_

为U(x ) y ]) , 故方程的解为

U n (X ) =E c n =

-N n e 2

2

2

H n (A X )

n +

ÜX, 2

22即E n =E c n -. n =0, 1, , 2LX 2

电场的影响为:(1) 各能级均降低2q 2E /2LX 2。(2) 粒子的平衡位置由x =0移

至X =x -

=0, 即x =处。LX LX

例5 质量为L 的两个线性谐振子, 偏

离平衡位置的位移分别为x 1和x 2, 构成一耦合振子, 其势能为U(x 1, x 2) =

22

LX (x 1+x 2) +kx 1x 22

x 1=(q 1-q 2)

2x 2=(q 1+q 2)

2

(下转第36页)

定态薛定谔方程为

22-2L U +2L X X U =E c U

dX , 上式与线性谐振子的定2LX 2

态薛定谔方程形式相同, 且在无穷远的边界这里E c =E+

条件U (? ]) =0也与没有电场时相同(因

22

2

2

求耦合谐振子的能级和波函数

解 作变换 则势能简化为

2000年12月

+

+

Journal of Higher Correspondence Education(Natural Sciences)

2+

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T H =[H ]+[Hen]+2[H2en ]

(游离)

(质子化)

(质子化)

(7) (8)

T Ni 为溶液中镍离子总浓度。

将(8) 、(9) 式代入(11) 式得

n =

T en -[en]+K 1[en]#[H]+K 1#K 2[en]#[H]

T Ni

H

+

H

H

+H

+

H

H

+由(1) 得:[Hen+]=K 1H [en][H+]将(8) 代入(2) 得:

[H2en 2+]=K 1H #K 2H [H+]2[en]再将(8) 、(9) 式代入(7) 式得:

+

H

+

H

(9)

H

T H =[H ]+K 1#[en]#[H ]+2K 1#K 2#

[H][en][en]=

T H -[H ]

]+2K 1H K 2H [H+]2

根据(6) , 已配位en 的总浓度为K 1H #[H+

[Nien2+]+2[Nien 22+]+3[Nien32+]

+2+

=T e n -[en]+[Hen ]+[H2en ]故生成函数 n 为

+

+

2

K 2#[H]T e n -[en]1+K 1#[H]+K 1#

=

T Ni

(12)

由(12) 式求得一系列 n 和[en]后, 以 n 为纵坐标, -lg [en]为横坐标作图, 得出生成曲时, -lg [en]=lgK , lgK , 线, 取 n =12

222

lgK 3, 从而求出K 1, K 2, K 3值。

参考文献

[1]张祥麟编著. 配合物化学. 北京:高等教育出版社, 1991

[2]广西师范大学等五校合编. 中级无机化学实验.

(10)

n =

T en -

[en]+[Hen]+[H2en ]

T Ni

+2+

(11)

桂林:广西师范大学出版社, 1992

(上接第31页)

L (q 12+q 22) +(q 12-q 22) 2222=2L X +q 1

+X 2-q 22

2=LX 12q 12+LX 22q 22

2222

式中 X 1=X +k /L , U(x1, x 2) =

X 22=X 2-k /L

体系的动能也化为

22

1+12L 2L

=(Ûq 1-Ûq 2) 2+(Ûq 1+Ûq 2) 2

2L 22q 12+ÛÛq 22=

2L

体系的哈密顿算符

222222

H ^=-+LX 1q 1-+

2L dq 1222L dq 22

LX 22q 222

这样, 耦合谐振子便化为两个独立的谐振子, 不必重新求解定态薛定谔方程, 直接利用课文中的结论, 得E n =E n 1+E n =

n 1+2ÜX1+n 2+2 n 1, n 20, 1, 2-1

N n N n e 1

2

ÜX2,

U n (x 1, x 2) =

LX 2LX 2

q 1+2

H n 1

1H n

12参考文献

2

q 2[1]刘连寿等. 现代物理简明教程. 武汉:华中师范大学出版社, 1986, 489-502

[2]曾谨言. 量子力学. 北京大学出版社, 1995, 50-57[3]汪德新. 量子力学. 武汉:湖北科学技术出版社, 2000, 31-54