中考考点--二次函数知识点汇总(全)[1]
罗权 (第八次课) 2012.4.28(早上)
内容:1、一元一次函数;
2、一元二次函数; 3、反比例函数
★二次函数知识点 一、二次函数概念:
2
b ,c 是常数,a ≠0)的函数,叫做二次函数。这y =ax +bx +c (a ,1.二次函数的概念:一般地,形如
c
里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数a ≠0,而b ,可以为零.二次函数的定义域是全体实数.
2
2. 二次函数y =ax +bx +c 的结构特征:⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量x 的二次式,x 的最高次
b ,c
数是2.⑵ a ,是常数,a 是二次项系数,b 是一次项系数,c 是常数项.
二、二次函数的基本形式:
2
y =ax +bx +c 用配方法可化成:y =a (x -h )+k 的形式,其中1. 二次函数基本形式:二次函数
2
b 4ac -b 2
h =-,k =
2a 4a .
2. 二次函数由特殊到一般,可分为以下几种形式:
222y =ax y =ax +k y =ax +bx +c ()()y =a x -h y =a x -h +k ①;②;③;④;⑤
2
2
三、二次函数的性质:
2y =ax 1、的性质:a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。
2
y =ax +c 的性质:上加下减。
2.
3.
y =a (x -h )
2
的性质:左加右减。
4.
y =a (x -h )+k
2
的性质:
5. 顶点决定抛物线的位置. 几个不同的二次函数,如果二次项系数
相同,那么抛物线的开口方向、开口
大小完全相同,只是顶点的位置不同. 6. 求抛物线的顶点、对称轴的方法
b ⎫4ac -b 2⎛b 4ac -b 2b y =ax +bx +c =a x +⎪+(-)x =-
4a ,∴顶点是2a 2a . ⎝2a ⎭4a (1)公式法:,对称轴是直线
2
2
(2)配方法:运用配方法将抛物线的解析式化为y =a (x -h )+k 的形式,得到顶点为(h , k ) ,对称轴是
2
x =h .
(3)运用抛物线的对称性:由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形,所以对称轴的连线的垂直平分线是
抛物线的对称轴,对称轴与抛物线的交点是顶点. 四、二次函数图象的平移:
1. 平移步骤:方法一:⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式⑵ 保持抛物线y =ax 的形状不变,将其顶点平移到(
2
y =a (x -h )+k
2
,确定其顶点坐标(
h ,k )
;
h ,k )
处,具体平移方法如下:
向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位
【或左(h
2. 平移规律:在原有函数的基础上“h 值正右移,负左移;k 值正上移,负下移”. 概括成八个字“左加右减,上加下减”.
22
y y =ax +bx +c y =ax +bx +c 变成 m 方法二:⑴沿轴平移:向上(下)平移个单位,
y =ax 2+bx +c +m (或y =ax 2+bx +c -m )
22
y =ax +bx +c y =ax +bx +c 变成m ⑵沿轴平移:向左(右)平移个单位,
y =a (x +m ) 2+b (x +m ) +c (或y =a (x -m ) 2+b (x -m ) +c )
五、二次函数
y =a (x -h )+k
2
2
2
与y =ax +bx +c 的比较
2
y =ax +bx +c 是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得到前者,与
从解析式上看,
2
y =a (x -h )+k
b ⎫4ac -b 2⎛b 4ac -b 2
y =a x +⎪+h =-,k =
2a 4a ⎝⎭2a 4a . 即,其中
六、二次函数的图象与各项系数之间的关系
1. 二次项系数a
2
y =ax +bx +c 中,a 作为二次项系数,显然a ≠0. 二次函数
⑴ 当a >0时,抛物线开口向上,a 的值越大,开口越小,反之a 的值越小,开口越大; ⑵ 当a
a
的大小决定开口的大小.
b 决定了抛物线的对称轴.2. 一次项系数b :在二次项系数a 确定的前提下, ⑴ 在a >0的前提下,当b >0
b b -
b ->0时,2a ,即抛物线对称轴在y 轴的右侧. b
->0
⑵ 在a 0时,2a ,即抛物线的对称轴在y 轴右侧;当b =0
b b -=0-
(3)ab 的符号的判定:对称轴“左同右异”
x =-
b
2a 在y 轴左边则ab >0,在y 轴的右侧则ab
3. 常数项c :⑴ 当c >0时,抛物线与y 轴的交点在x 轴上方,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正; ⑵ 当c =0时,抛物线与y 轴的交点为坐标原点,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0; ⑶ 当c
y 轴的交点在x 轴下方,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负.总结起来,c 决定了抛物线与y 轴交点的位
b ,c 置.总之,只要a ,都确定,那么这条抛物线就是唯一确定的.
二次函数解析式的确定:一般来说,有如下几种情况: 1. 已知抛物线上三点的坐标,一般选用一般式;
2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大(小)值,一般选用顶点式; 3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标,一般选用两根式; 4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点,常选用顶点式. 七、二次函数图象的对称
二次函数图象的对称一般有五种情况,可以用一般式或顶点式表达
22
1. 关于x 轴对称:y =ax +bx +c 关于x 轴对称后,得到的解析式是y =-ax -bx -c ;
y =a (x -h )+k
2
y =-a (x -h )-k
关于x 轴对称后,得到的解析式是;
2
22
y =ax +bx +c y =ax -bx +c ; y y 2. 关于轴对称:关于轴对称后,得到的解析式是
y =a (x -h )+k
2
y =a (x +h )+k 关于y 轴对称后,得到的解析式是;
2
22
3. 关于原点对称:y =ax +bx +c 关于原点对称后,得到的解析式是y =-ax +bx -c ;
y =a (x -h )+k
2
关于原点对称后,得到的解析式是
y =-a (x +h )-k
2
;
2
y =ax +bx +c 关于顶点对称后,得到的解析式是 4. 关于顶点对称(即:抛物线绕顶点旋转180°):
b 2
22y =-ax -bx +c -y =a x -h +k y =-a x -h +k ()()2a ;关于顶点对称后,得到的解析式是.
2
5. 关于点
(m ,n )
2
对称:
y =a (x -h )+k
2
关于点
(m ,n )
对称后,得到的解析式是
y =-a (x +h -2m )+2n -k
根据对称的性质,显然无论作何种对称变换,抛物线的形状一定不会发生变化,因此
a
永远不变.求
抛物线的对称抛物线的表达式时,可以依据题意或方便运算的原则,选择合适的形式,习惯上是先确定原抛物线(或表达式已知的抛物线)的顶点坐标及开口方向,再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向,然后再写出其对称抛物线的表达式. 八、二次函数与一元二次方程:
1. 二次函数与一元二次方程的关系(二次函数与x 轴交点情况):
22y =ax +bx +c 当函数值y =0时的特殊情况. ax +bx +c =0一元二次方程是二次函数
2A x ,0,B (x 2,0)(x 1≠x 2) 图象与x 轴的交点个数:① 当∆=b -4ac >0时,图象与x 轴交于两点(1),其
ax 2+bx +c =0(a ≠
0)x ,x 12中的是一元二次方程的两根.这两点间的距离
AB =x 2-x 1=
② 当∆=0时,图象与x 轴只有一个交点; ③ 当∆
1' 当a >0时,图象落在x 轴的上方,无论x 为任何实数,都有y >0; 2' 当a
2
y =ax +bx +c 的图象与y 轴一定相交,交点坐标为(0,c ) ; 2. 抛物线
3. 二次函数常用解题方法总结:
⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标,需转化为一元二次方程;
⑵ 求二次函数的最大(小)值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式;
2
⑶ 根据图象的位置判断二次函数y =ax +bx +c 中a ,b ,c 的符号,或由二次函数中a ,b ,c 的符号判
断图象的位置,要数形结合;
⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称,可利用这一性质,求和已知一点对称的点坐标,或已知与x 轴的一个交点坐标,可由对称性求出另一个交点坐标.
2
⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式,二次三项式ax +bx +c (a ≠0) 本身就是所含字母x 的二次函数;下
面以a >0时为例,揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系
九、函数的应用
⎧刹车距离⎪
⎨何时获得最大利润⎪最大面积是多少⎩
★二次函数考查重点与常见题型
1、考查二次函数的定义、性质,有关试题常出现在选择题中,如:
22
y =(m -2) x +m -m -2的图像经过原点, 则m 的值是( )x 已知以为自变量的二次函数。
2、综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像,习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像,试题类型为选择题,如:如图,如果函数y =kx +b 的图像在第一、二、三象限内,那么函
2
y =kx +bx -1的图像大致是( )
数
3、考查用待定系数法求二次函数的解析式,有关习题出现的频率很高,习题类型有中档解答题和选拔性
x =
的综合题,如:已知一条抛物线经过(0,3),(4,6)两点,对称轴为
5
3,求这条抛物线的解析式。
4、考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值,有关试题为解答题,如:
2
y =ax +bx +c (a ≠0)与x 轴的两个交点的横坐标是-1、3,与y 3已知抛物线
2
(1)确定抛物线的解析式;(2)用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标. 5.考查代数与几何的综合能力,常见的作为专项压轴题。【例题经典】由抛物线的位置确定系数的符号
c
M (b , ) 2
y =ax +bx +c a 在( ) 例1 (1)二次函数的图像如图1,则点
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
(2)已知二次函数y=ax2+bx+c(a ≠0)的图象如图2所示,•则下列结论:①a 、b 同号;②当x=1和x=3时,函数值相等;③4a+b=0;④当y=-2时,x 的值只能取0. 其中正确的个数是( ) A .1个 B.2个 C.3个 D.4个
(1) (2)
【点评】弄清抛物线的位置与系数a ,b ,c 之间的关系,是解决问题的关键.
例2. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x 轴交于点(-2,O) 、(x1,0) ,且1O;③4a+cO,其中正确结论的个数为( ) A 1个 B. 2个 C. 3个 D.4个 答案:D 会用待定系数法求二次函数解析式
例3. 已知:关于x 的一元二次方程ax2+bx+c=3的一个根为x=-2,且二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=2,则抛物线的顶点坐标为( )
A(2,-3) B.(2,1) C(2,3) D.(3,2) 答案:C
B (x 2, 0) 两点(x 1
交y 轴负半轴于C 点,且满足3AO=OB.
(1)求二次函数的解析式;(2)在二次函数的图象上是否存在点M ,使锐角∠MCO>∠ACO? 若存在,请你求出M 点的横坐标的取值范围;若不存在,请你说明理由. (1)解:如图∵抛物线交x 轴于点A(x1,0) ,B(x2,O) , 则x1·x2=3
∴x2>O,x1
∴点A(-1,O) ,P(4,10) 代入解析式得解得a=2 b=3
∴.二次函数的解析式为y-2x2-4x-6. (2)存在点M 使∠MC0
(2)解:点A 关于y 轴的对称点A ’(1,O) ,
∴直线A ,C 解析式为y=6x-6直线A'C 与抛物线交点为(0,-6) ,(5,24) . ∴符合题意的x 的范围为-1
当点M 的横坐标满足-1∠ACO .
例5、 某产品每件成本10元,试销阶段每件产品的销售价x (元)•与产品的日销售量y (件)之间的关系如下表:
若日销售量y 是销售价x 的一次函数.
(1)求出日销售量y (件)与销售价x (元)的函数关系式;
(2)要使每日的销售利润最大,每件产品的销售价应定为多少元?•此时每日销售利润是多少元?
⎧15k +b =25, ⎨
2k +b =20 解得k=-1
,b=40,•即一次函数表达式
【解析】(1)设此一次函数表达式为y=kx+b.则⎩
为y=-x+40.
(2)设每件产品的销售价应定为x 元,所获销售利润为w 元:w=(x-10)(40-x )=-x2+50x-400=-(x-25)2+225.
产品的销售价应定为25元,此时每日获得最大销售利润为225元. ★二次函数知识点汇总★
★用配方法求得的顶点,再用公式法或对称性进行验证,才能做到万无一失★
2
y =ax +bx +c 中,a , b , c 的作用 9. 抛物线
(1)a 决定开口方向及开口大小,这与y =ax 中的a 完全一样.
2
(2)b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置. 由于抛物线y =ax +bx +c 的对称轴是直线①b =0时,对称轴为y
b >0a 轴;②(即a 、b 同号) 时, 对称轴在
2
x =-
b
2a , 故:
y 轴左侧;
b
y 轴右侧.
2
y =ax +bx +c 与y 轴交点的位置. c (3)的大小决定抛物线
2
y =c y =ax +bx +c 与y 轴有且只有一个交点(0,c ) : x =0当时,,∴抛物线
①c =0,抛物线经过原点; ②c >0, 与y 轴交于正半轴;③c
y a 以上三点中,当结论和条件互换时,仍成立. 如抛物线的对称轴在轴右侧,则 .
10. 几种特殊的二次函数的图像特征如下:
11. 用待定系数法求二次函数的解析式
2
y =ax +bx +c . 已知图像上三点或三对x 、y 的值,通常选择一般式. (1)一般式:
(2)顶点式:y =a (x -h )+k . 已知图像的顶点或对称轴,通常选择顶点式.
2
(3)交点式:已知图像与x 轴的交点坐标x 1、x 2,通常选用交点式:y =a (x -x 1)(x -x 2). 12. 直线与抛物线的交点
2
y y =ax +bx +c 得交点为(0, c ) (1)轴与抛物线
22y y =ax +bx +c x =h h ah +bh +c ). (2)与轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点(, 2
y =ax +bx +c 的图像与x 轴的两个交点的横坐标x 1、x 2,是对应x (3)抛物线与轴的交点:二次函数
2
ax +bx +c =0的两个实数根. 抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根一元二次方程
的判别式判定:①有两个交点⇔∆>0⇔抛物线与
x 轴相交;②有一个交点(顶点在x 轴
上) ⇔∆=0⇔抛物线与x 轴相切;③没有交点⇔∆
(4)平行于x 轴的直线与抛物线的交点同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点. 当有2个交点时,
2
两交点的纵坐标相等,设纵坐标为k ,则横坐标是ax +bx +c =k 的两个实数根.
2
()y =kx +n k ≠0y =ax +bx +c (a ≠0)的图像G 的交点,由方程组 l (5)一次函数的图像与二次函数
⎧y =kx +n
⎨2
⎩y =ax +bx +c 的解的数目来确定:
①方程组有两组不同的解时⇔l 与G 有两个交点;
②方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点;③方程组无解时⇔l 与G 没有交点.
2
0),B (x 2,0),由于y =ax +bx +c 与x 轴两交点为A (x 1,x (6)抛物线与轴两交点之间的距离:若抛物线
b c
x +x =-, x ⋅x =12
x 1、x 2是方程ax 2+bx +c =0的两个根,故 12a a
AB =x 1-x 2=
x 1-x 22
=
x 1-x 22
b 2-4ac ∆⎛b ⎫4c
-4x 1x 2= -⎪-==
a a a ⎝a ⎭
2
13.二次函数与一元二次方程的关系:
22
y =ax +bx +c y =ax +bx +c 当函数y 的值为0时的情况. (1)一元二次方程就是二次函数2y =ax +bx +c 的图象与x 轴的交点有三种情况:有两个交点、有一个交点、没有交点;当(2)二次函数
2y =ax +bx +c 的图象与x 轴有交点时,交点的横坐标就是当y =0时自变量x 的值,即一元二二次函数
次方程ax +bx +c =0的根.
22
y =ax +bx +c y =ax +bx +c 有两个不x (3)当二次函数的图象与轴有两个交点时,则一元二次方程2
y =ax +bx +c 的图象与x 轴有一个交点时,则一元二次方程相等的实数根;当二次函数
2
ax 2+bx +c =0有两个相等的实数根;当二次函数y =ax +bx +c 的图象与x 轴没有交点时,则一元二
2
次方程ax +bx +c =0没有实数根
14. 二次函数的应用:
(1)二次函数常用来解决最优化问题,这类问题实际上就是求函数的最大(小) 值;
(2)二次函数的应用包括以下方面:分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系; 运用二次函数的知识解决实际问题中的最大(小) 值.
15. 解决实际问题时的基本思路:(1)理解问题;(2)分析问题中的变量和常量;(3)用函数表达式表示出它
2
们之间的关系;(4)利用二次函数的有关性质进行求解;(5)检验结果的合理性,对问题加以拓展等. 黄冈中学“没有学不好滴数学”系列之十二 二次函数知识点详解(最新原创助记口诀) 知识点四,正比例函数和一次函数
1、一般地,如果y =kx +b (k ,b 是常数,k ≠0),那么y 叫做x 的一次函数。
特别地,当一次函数y =kx +b 中的b 为0时,y =kx (k 为常数,k ≠0)。这时,y 叫做x 的正比例函数。 2、一次函数的图像:所有一次函数的图像都是一条直线
3、一次函数、正比例函数图像的主要特征:一次函数y =kx +b 的图像是经过点(0,b )的直线;正比例函数y =kx 的图像是经过原点(0,0)的直线。
4、正比例函数的性质
一般地,正比例函数y =kx 有下列性质:
(1)当k>0时,图像经过第一、三象限,y 随x 的增大而增大; (2)当k
一般地,一次函数y =kx +b 有下列性质: (1)当k>0时,y 随x 的增大而增大 (2)当k
6、正比例函数和一次函数解析式的确定
确定一个正比例函数,就是要确定正比例函数定义式y =kx (k ≠0)中的常数k 。确定一个一次函数,需要确定一次函数定义式y =kx +b (k ≠0)中的常数k 和b 。解这类问题的一般方法是待定系数法 知识点五、反比例函数
y =
1、反比例函数的概念:一般地,函数
k
x (k 是常数,k ≠0)叫做反比例函数。反比例函数的解析式
-1
y =kx 也可以写成的形式。自变量x 的取值范围是x ≠0的一切实数,函数的取值范围也是一切非零实
数。
2、反比例函数的图像
反比例函数的图像是双曲线,它有两个分支,这两个分支分别位于第一、三象限,或第二、四象限,它们关于原点对称。由于反比例函数中自变量x ≠0,函数y ≠0,所以,它的图像与x 轴、y 轴都没有交点,即双曲线的两个分支无限接近坐标轴,但永远达不到坐标轴。 反比例函数的性质
y =
4、反比例函数解析式的确定:确定及诶是的方法仍是待定系数法。由于在反比例函数
k
x 中,只有一
个待定系数,因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标,即可求出k 的值,从而确定其解析式。 知识点六、二次函数的概念和图像
2
y =ax +bx +c (a , b , c 是常数,a ≠0) ,特别注意a 不为零 1、二次函数的概念:一般地,如果特
2
y =ax +bx +c (a , b , c 是常数,a ≠0) 叫做二次函数的一般式。 那么y 叫做x 的二次函数。
x =-
2、二次函数的图像:二次函数的图像是一条关于
b
2a 对称的曲线,这条曲线叫抛物线。
抛物线的主要特征:①有开口方向;②有对称轴;③有顶点。 3、二次函数图像的画法 五点法:(1)先根据函数解析式,求出顶点坐标,在平面直角坐标系中描出顶点M ,并用虚线画出对称轴
2
y =ax +bx +c 与坐标轴的交点: (2)求抛物线
当抛物线与x 轴有两个交点时,描出这两个交点A,B 及抛物线与y 轴的交点C ,再找到点C 的对称点D 。
将这五个点按从左到右的顺序连接起来,并向上或向下延伸,就得到二次函数的图像。
当抛物线与x 轴只有一个交点或无交点时,描出抛物线与y 轴的交点C 及对称点D 。由C 、M 、D 三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像,可再描出一对对称点A 、B ,然后顺次连接五点,画出二次函数的图像。
知识点七、二次函数的解析式
二次函数的解析式有三种形式:口诀----- 一般 两根 三顶点
2
y =ax +bx +c (a , b , c 是常数,a ≠0) (1)一般 一般式:
2
(2)两根 当抛物线y =ax +bx +c 与x 轴有交点时,即对应二次好方程ax +bx +c =0有实根x 1和
2
x 2存在时,根据二次三项式的分解因式ax 2+bx +c =a (x -x 1)(x -x 2) ,二次函数y =ax 2+bx +c 可
转化为两根式y =a (x -x 1)(x -x 2) 。如果没有交点,则不能这样表示。 a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。
a ≠0) (3)三顶点 顶点式:y =a (x -h ) +k (a , h , k 是常数,
知识点八、二次函数的最值 如果自变量的取值范围是全体实数,那么函数在顶点处取得最大值(或最
2
b b 4ac -b 2
-x =-y 最值=
2a 时,4a 。小值),即当如果自变量的取值范围是x 1≤x ≤x 2,那么,首先要看2a
b 4ac -b 2-y 最值=
x ≤x ≤x 2a 4a ;若不在此范2内,若在此范围内,则当x=是否在自变量取值范围1时,
围内,则需要考虑函数在x 1≤x ≤x 2范围内的增减性,如果在此范围内,y 随x 的增大而增大,则当x =x 2
22
y =ax +bx +c y =ax +bx 1+c ;如果在此范围内,y 随x 的增大而减小,x =x 221最大最小1时,,当时,22
y =ax +bx +c y =ax +bx 2+c 。 x =x x =x 112最大最小12则当时,,当时,
知识点九、二次函数的性质
2
y =ax +bx +c (a , b , c 是常数,a ≠0) 中,a 、b 、c 的含义:a 表示开口方向:a >0时,2、二次函数
b
抛物线开口向上;a
-
的交点坐标:(0,c )
3、二次函数与一元二次方程的关系:一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x 轴的交点坐标。 因此一元二次方程中的∆=b -4ac ,在二次函数中表示图像与x 轴是否有交点。当∆>0时,图像与x 轴有两个交点;当∆=0时,图像与x 轴有一个交点;当∆
1、两点间距离公式(当遇到没有思路的题时,可用此方法拓展思路,以寻求解题方法)
如图:点A 坐标为(x1,y1)点B 坐标为(x2,y2) 则AB 间的距离,即线段AB 的长度为
2
x 1-x 22+y 1-y 222,二次函数图象的平移 ① 将抛物线解析式转化成顶点式
2
y =a (x -h )+k
2
② 保持抛物线y =ax 的形状不变,将其顶点平移到
(h ,k )向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位
【或左(h
③平移规律:在原有函数的基础上“h 值正右移,负左移;k 值正上移,负下移”.
函数平移图像大致位置规律(中考试题中,只占3分,但掌握这个知识点,对提高答题速度有很大帮助,可以大大节省做题的时间)
特别记忆--同左上加 异右下减 (必须理解记忆)
说明① 函数中ab 值同号,图像顶点在y 轴左侧同左,a b值异号,图像顶点必在Y 轴右侧异右 ②向左向上移动为加左上加,向右向下移动为减右下减。
k =tan α=
直线斜率:
y 2-y 1
x 2-x 1 b为直线在y 轴上的截距4、直线方程:①两点由直线上两点确定的
y -y 1=kx +b =(tanα) x +b =
y 2-y 1
x (x -x 1) x 2-x 1
此公式有多种变形
直线的两点式方程,简称两式:
牢记;②点斜 y -y 1=kx (x -x 1) ;③斜截 直线的斜截式方程,简称斜截式: y=kx +b(k≠0)
x y +=1
④截距 由直线在x 轴和y 轴上的截距确定的直线的截距式方程,简称截距式:a b
5、设两条直线分别为,1:
l
y =k 1x +b 1 l 2:y =k 2x +b 2 若l 1//l 2,则有l 1//l 2⇔k 1=k 2且
b 1≠b 2。 若l 1⊥l 2⇔k 1⋅k 2=-1,点P (x0,y0)到直线y=kx+b(即:kx-y+b=0) 的距离:
d =
kx 0-y 0+b k 2+(-1) 2
=
kx 0-y 0+b
k 2+1
2
y =ax +bx +c 中, a b c,的作用 抛物线
(1)a 决定开口方向及开口大小,这与y =ax 中的a 完全一样.
(2)b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置. 由于抛物线y =ax +bx +c 的对称轴是直线
2
2
x =-
b b b
>0
y b a 2a ,故:①b =0时,对称轴为y 轴;②a a (即、同号)时,对称轴在轴左侧;③
y 轴右侧. 口诀 --- 同左 异右
2
(即a 、b 异号)时,对称轴在
y (3)c 的大小决定抛物线y =ax +bx +c 与轴交点的位置.
2
y =c y =ax +bx +c 与y 轴有且只有一个交点(0,c )x =0 当时,,∴抛物线: ①c =0,抛物线
y y 经过原点; ②c >0, 与轴交于正半轴;③c
b
y 仍成立. 如抛物线的对称轴在轴右侧,则 a .
十一、初中数学助记口诀(函数部分)
特殊点坐标特征:坐标平面点(x,y),横在前来纵在后;(+,+),(-,+),(-,-)和(+,-),四个象限分前后;X 轴上y 为0,x 为0在Y 轴。
对称点坐标:对称点坐标要记牢, 相反数位置莫混淆,X 轴对称y 相反,Y 轴对称,x 前面添负号;原点对称最好记, 横纵坐标变符号。
自变量的取值范围:分式分母不为零,偶次根下负不行;零次幂底数不为零,整式、奇次根全能行。
函数图像的移动规律:若把一次函数解析式写成y=k(x+0)+b、二次函数的解析式写成y=a(x+h)2+k的形式,则用下面后的口诀“左右平移在括号, 上下平移在末稍, 同左上加 异右下减
一次函数图像与性质口诀:一次函数是直线,图像经过仨象限;正比例函数更简单, 经过原点一直线;两个系数k 与b, 作用之大莫小看,k 是斜率定夹角,b 与Y 轴来相见,k 为正来右上斜,x 增减y 增减;k 为负来左下展, 变化规律正相反;k 的绝对值越大, 线离横轴就越远。
二次函数图像与性质口诀:二次函数抛物线,图象对称是关键;开口、顶点和交点, 它们确定图象现;开口、大小由a 断,c 与Y 轴来相见,b 的符号较特别,符号与a 相关联;顶点位置先找见,Y 轴作为参考线,左同右异中为0,牢记心中莫混乱;顶点坐标最重要, 一般式配方它就现,横标即为对称轴, 纵标函数最值见。若求对称轴位置, 符号反, 一般、顶点、交点式,不同表达能互换。
反比例函数图像与性质口诀:反比例函数有特点, 双曲线相背离的远;k 为正, 图在一、三(象) 限,k 为负, 图在二、四(象) 限; 图在一、三函数减, 两个分支分别减。图在二、四正相反, 两个分支分别添; 线越长越近轴, 永远与轴不沾边。
正比例函数是直线,图象一定过圆点,k 的正负是关键,决定直线的象限,负k 经过二四限,x 增大y 在减,上下平移k 不变,由引得到一次线,向上加b 向下减,图象经过三个限,两点决定一条线,选定系数是关键。
反比例函数双曲线,待定只需一个点,正k 落在一三限,x 增大y 在减,图象上面任意点,矩形面积都不变,对称轴是角分线x 、y 的顺序可交换。
二次函数抛物线,选定需要三个点,a 的正负开口判,c 的大小y 轴看,△的符号最简便,x 轴上数交点,a 、b 同号轴左边抛物线平移a 不变,顶点牵着图象转,三种形式可变换,配方法作用最关键。 1
对称点坐标:
对称点坐标要记牢, 相反数位置莫混淆, X 轴对称y 相反, Y轴对称,x 前面添负号; 原点对称最好记, 横纵坐标变符号。
22
y =ax +bx +c y =-ax -bx -c ; x x 关于轴对称 关于轴对称后,得到的解析式是
y =a (x -h )+k
2
关于x 轴对称后,得到的解析式是
y =-a (x -h )-k
2
;
22
关于y 轴对称y =ax +bx +c 关于y 轴对称后,得到的解析式是y =ax -bx +c ;
y =a (x -h )+k 关于原点对称
2
y =a (x +h )+k
关于y 轴对称后,得到的解析式是;
2
22
y =ax +bx +c y =-ax +bx -c ; 关于原点对称后,得到的解析式是
y =a (x -h )+k
2
关于原点对称后,得到的解析式是
y =-a (x +h )-k
2
关于顶点对称
b 2
y =-ax -bx +c -2
y =ax +bx +c 2a ; 关于顶点对称后,得到的解析式是
2
y =a (x -h )+k 关于点(
m ,n )
2
关于顶点对称后,得到的解析式是
y =-a (x -h )+k
2
.
对称
y =a (x -h )+k
2
m ,n )y =-a (x +h -2m )关于点(对称后,得到的解析式是
2
+2n -k
a
根据对称的性质,显然无论作何种对称变换,抛物线的形状一定不会发生变化,因此永远不变.求抛物
线的对称抛物线的表达式时,可以依据题意或方便运算的原则,选择合适的形式,习惯上是先确定原抛物
线(或表达式已知的抛物线)的顶点坐标及开口方向,再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向,然后再写出其对称抛物线的表达式.
口诀--- ---- Y反对X ,X 反对Y ,都反对原点
2 自变量的取值范围:分式分母不为零,偶次根下负不行;零次幂底数不为零, 函数图像的移动规律:
若把一次函数解析式写成y=k(x+0)+b,
二次函数的解析式写成y=a(x+h)2+k的形式,
则用下面后的口诀:“左右平移在括号, 上下平移在末稍, 左正右负须牢记, 上正下负错不了”。
一次函数图像与性质口诀:一次函数是直线,图像经过仨象限;正比例函数更简单, 经过原点一直线;两个系数k 与b, 作用之大莫小看,k 是斜率定夹角,b 与Y 轴来相见,k 为正来右上斜,x 增减y 增减;k 为负来左下展, 变化规律正相反;k 的绝对值越大, 线离横轴就越远。
二次函数图像与性质口诀:二次函数抛物线,图象对称是关键;开口、顶点和交点, 它们确定图象限; 开口、大小由a 断,c 与Y 轴来相见,b 的符号较特别,符号与a 相关联;顶点位置先找见,Y 轴作为参考线,左同右异中为0,牢记心中莫混乱;顶点坐标最重要, 一般式配方它就现,横标即为对称轴, 纵标函数最值见。若求对称轴位置, 符号反, 一般、顶点、交点式,不同表达能互换。 反比例函数图像与性质口诀:
反比例函数有特点, 双曲线相背离的远;
k 为正, 图在一、三(象) 限;k 为负, 图在二、四(象) 限; 图在一、三函数减, 两个分支分别减;图在二、四正相反, 两个分支分别添; 线越长越近轴, 永远与轴不沾边。 函数学习口决:正比例函数是直线,图象一定过原点,k 的正负是关键,决定直线的象限,负k 经过二四限,x 增大y 在减,上下平移k 不变,由引得到一次线,向上加b 向下减,图象经过三个限,两点决定一条线,选定系数是关键;
反比例函数双曲线,待定只需一个点,正k 落在一三限,x 增大y 在减,图象上面任意点,矩形面积都不变,对称轴是角分线x 、y 的顺序可交换;
二次函数抛物线,选定需要三个点,a 的正负开口判,c 的大小y 轴看,△的符号最简便,x 轴上数交点,a 、b 同号轴左边抛物线平移a 不变,顶点牵着图象转,三种形式可变换,配方法作用最关键。
求定义域:求定义域有讲究,四项原则须留意。负数不能开平方,分母为零无意义。指是分数底正数,数零没有零次幂。限制条件不唯一,满足多个不等式。求定义域要过关,四项原则须注意。负数不能开平方,分母为零无意义。分数指数底正数,数零没有零次幂。限制条件不唯一,不等式组求解集。
解一元一次不等式:先去分母再括号,移项合并同类项。系数化“1”有讲究,同乘除负要变向。 先去分母再括号,移项别忘要变号。同类各项去合并,系数化“1”注意了。同乘除正无防碍,同乘除负也变号。 解一元二次不等式:首先化成一般式,构造函数第二站。判别式值若非负,曲线横轴有交点。 a正开口它向上,大于零则取两边。代数式若小于零,解集交点数之间。方程若无实数根,口上大零解为全。小于零将没有解,开口向下正相反。
13.1 用公式法解一元二次方程:要用公式解方程,首先化成一般式。 调整系数随其后,使其成为最简比。 确定参数abc ,计算方程判别式。判别式值与零比,有无实根便得知。有实根可套公式,没有实根要告之。 用常规配方法解一元二次方程:左未右已先分离,二系化“1”是其次。一系折半再平方,两边同加没问题。左边分解右合并,直接开方去解题。 该种解法叫配方,解方程时多练习。
用间接配方法解一元二次方程: 已知未知先分离,因式分解是其次。 调整系数等互反,和差积套恒等式。
完全平方等常数,间接配方显优势。【注】 恒等式
解一元二次方程: 方程没有一次项,直接开方最理想。如果缺少常数项,因式分解没商量。 b、c 相等都为零,等根是零不要忘。 b、c 同时不为零,因式分解或配方,也可直接套公式,因题而异择良方。
正比例函数的鉴别: 判断正比例函数,检验当分两步走。 一量表示另一量, 有没有。若有再去看取值,全体实数都需要。区分正比例函数,衡量可分两步走。一量表示另一量, 是与否。 若有还要看取值,全体实数都要有。
正比例函数的图象与性质: 正比函数图直线,经过 和原点。 K正一三负二四,变化趋势记心间。 K正左低右边高,同大同小向爬山。 K负左高右边低,一大另小下山峦。
一次函数: 一次函数图直线,经过 点。K 正左低右边高,越走越高向爬山。K 负左高右边低,越来越低很明显。 K称斜率b 截距,截距为零变正函。
反比例函数: 反比函数双曲线,经过 点。 K正一三负二四,两轴是它渐近线。 K正左高右边低,一三象限滑下山。K 负左低右边高,二四象限如爬山。
二次函数: 二次方程零换y ,二次函数便出现。全体实数定义域,图像叫做抛物线。抛物线有对称轴,两边单调正相反。A 定开口及大小,线轴交点叫顶点。 顶点非高即最低。上低下高很显眼。如果要画抛物线,平移也可去描点,提取配方定顶点,两条途径再挑选。列表描点后连线,平移规律记心间。 左加右减括号内,号外上加下要减。二次方程零换y ,就得到二次函数。图像叫做抛物线,定义域全体实数。 A定开口及大小,开口向上是正数。绝对值大开口小,开口向下A 负数。抛物线有对称轴,增减特性可看图。线轴交点叫顶点,顶点纵标最值出。如果要画抛物线,描点平移两条路。提取配方定顶点,平移描点皆成图。列表描点后连线,三点大致定全图。 若要平移也不难,先画基础抛物线,顶点移到新位置,开口大小随基础。【注】基础抛物线
列方程解应用题: 列方程解应用题,审设列解双检答。 审题弄清已未知,设元直间两办法。列表画图造方程,解方程时守章法。 检验准且合题意,问求同一才作答。
两点间距离公式: 同轴两点求距离,大减小数就为之。与轴等距两个点,间距求法亦如此。 平面任意两个点,横纵标差先求值。 差方相加开平方,距离公式要牢记。