试论多因素无交互作用方差分析中数学模型的建立与应用
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试论多因素无交互作用方差分析中数学模型的建立与应用
邢航
(阜新高等专科学校辽宁阜新
1
23000)
摘要:现实同赶和科学实验中很多现象的发生或变化是多个因素共同作用的蛄粟,因素之同有些相互漫有影响.有些是交互影响的,针
对不同情况可以通过试验利用数学模型分析和解决这些问题。本文论证了多因素方盖分析无交互作用建模的条件和基本原理以及王手拄捡验方法。在多因素方差分钎中,不仅可以检验各个因素砷对因变量作用的王暑性。雨且还可嫒捡验因素与因素之间共同影咱对因变
量的作用的量著性,进而得出正确的评价结果。
关键词:数学模型方差分析鼻盖平方和随机误盖
中图分类号:G2文献标识码:A
文章编号l
16T4--098X(2009)04(c)-0239--02
方差分析是在随机干扰存在的情况下,把因素变化所产生的
琵弋A
表1.1
方差分析样本数据
占
中分因素\\
出影\
平均值.墨
B、8l
…
B
J
…Bb
于侵
交互4XII
xIl…xu…xbxI.
个方学模
呜
xnx口…xtj…XⅡ
置.
:
●
;i
;
i
:
●
一
4
一
xnxn…xI|…XmXr
因素
・
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A、
一
:验,
以
Xd
Xd…x。t…xn瓦。
平均值XYx、X.t…X.i…x,
j=磊l击a丢b葺,
x
x
卫
一
b
裹2.1
无交互影响二因素方芝分析统计决断
蔫h川
司
方差来源
显著性
2
¨
平五瓤ss
自d1度d
旺
均隽M§
,值
五n户0。川
因素一影响SS.
a—lM口I
E兀>尼显著
设X。是服从正态分布
置,因素口影响
6-1
J7v(p…a2)的总体中抽取的样本,假定A,BSS.
Mss,
B
兀>最显著
假定置,=比,+£f,(1.2)
随机误差SSE(口一lXb—I)
Mss,
£,,N(0,o2)(i:1,2…alj=1,2---b),其中¨“
总离差
Ss.
ab—l
的理论期望值,£。表示随机误差,且相互独立。
rt=去善善地几.3)
表2.2无交互影响二因素方差分析计算裹
\因褒口
肛-=÷∑¨∥=l’2,¨・,6)
因毒入BL
B2
…
氐
(1.3)
\
∑置,
(∑一,)2
∑砰
,tI
J,l
』一l
K=亡∑%(㈦,2,---,a)
4xttXtt…Xb∑置,
(∑五,)2
∑磁J・I
J。l
“,。I
令,
a
i=“i—u,D
j=¨J—u4
xn
xn…Xx~
(∑X2,)2
∑霸
称为因素的第个水平的效应,为因素的第个水平的效应,分别∑五,
,’I
1=I
j=t
表示因素、的各个水平的影响的程度。显然有关系式
:
●
∑o【,=∑D,=o(1.4)
4x。Ixn…X女
i=1
pl
∑以,
(∑以,∑E
,rJ
将pi,进行分解
p“=“+0【i+Dj+(“一肛t一“】+u)令6∑置,
扣l
∑置.∑‰…∑∑置,∑(∑z,)Z∑砑
扣I
,・1
tj=luu—ui—pj+p
称为A;和B,的交互效应。而对二因素无重复试验方差分析,
∑X。
假设任意Ai和Bj之间不存在交互效应,即全部6q=0。这样“u分
解式可写为
口
p
i’_肛+al+口i
匹毛)2
(∑矗)2(∑■:)2
…
∑(∑一,)
J-1扭J
I‘I
(∑z。)2
基金项目:辽宁省教育厅高等学校科学研究基金资助项目(2008D028)。
作者简介:邢肮(1958--),女,辽宁盘锦人,阜新高等专科学校副教授,研究方向:教学建模及应用。
科技创新导报Science
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458.256.265.3449.154.151.660.
1
70.939.2475.8
58.2
48.7
,
4
裹3.2训练成绩方差分析表
方差来源平志秘SS
自由度d
竭力M啦
F值
因索彳影响157.59352.53因素B影响223.852111.93E=0.4306随机误差731.966120.oo
兄=0.9175
总离差
1113。42
n
综上所述,可得二因素无重复试验方别成立时的Ss.。SSB,Ss,及M。的分布规律。
差的数学模型
Cochran定理:X,,X,,…X。为13.个相互
独立的服从标准正态分布的随机变量,Q;(i_l,
—一』=p+a,+p,+e』,,i=L2,‘~,a;j=l,2,…,b。
2…,K)是某些线X。,X,,…,X。性组合的平方∑q三o'∑D,=o
和,其自由度分别为di(i=l,2…,K)。如果
(5)
’’
Ql+Q…+QKx2(n)且d。+d2+…奄=n,则£。t=l£,』
,02)且互相独立
互相独立Q;X,(d。)0=1,2,…,k)
其中p,a
2
0t
并Q,Q,,…,Qk且相互独立。
i,D
I(i=I,2,…,a,
j=I,2,…,b)均为未知参数。
在(2.3)成立的条件下,利用C0chran分解定理,可证明在仅有H。。成立时,有
2显著性检验
竺孚x2【(口一I×6—1)】
对于■因素无交互方差数学模型(1.5)的检验主要是检验两个因素的影响是否显著。
等jc2(口一1)
(2.4)
要判断因素的影响是否显著等价于检验假设:H02:aI=Ⅸ2一’Ⅸ。=0
要判断因素的影响是否显著等价于检验假设:H02:Dl=p2一‘pb=0
4虬。观如一1)6一1)‘””“
检验上述假设的基本原理是将总离差平兀=急=骊SS//a-I肛“川x6-1)】
且它们相互独立,从而有统计量
(2.5)
方和分解为各因素导致的离差平方和及随机所以对给定的显著性水平仅,查F分误差导致的离差平方和。具体方法如下
布表,得临界值Fa【【a一1,(c【一1)(b一1)】,设定
当F。>F。时,拒绝H…因素A影响显著・反j2去善善置,
之,接受H。因素影响不显著。
同理,在仅有H。:成立时,有
置・2÷萎置删’2’…’…(2.1)
u,。’
,'1、
皇皇}
X2【(口一lX刍一1)】
Xv—I-“(/=l,2,…,6).X
2(6一1)
由(2.1)有等z(2.6)
且它们相互独立,从而有统计量
SS,=6∑(置.一碧)2
Ill
上一
‘
“
溉=口∑(工.,一幻2
一
4^坫,船,/(4一1)∞一1)
严‘
B=丧=瓦S丽SBIb-I即_l'(口-l肛1)】
”
”
【2.2)
(2.7)
口h
踺=∑∑(葺,一置.一j.,+j)2
所以对给定的显著性水平o【,得临界值F
其中ss。称为因素A的效应平方和,表示Ot睁l,(G【一l(b-1)】,当F。>F。时拒绝,因素B
因素A的水平变化引起的影响;Ss。称为因素影响显著,反之,接受I{。,因素B影响不显著。
B的效应平方和,表示因素B的水平变化引综上所述,可得到二因素无交互影响试验方差分析数学模型显著性假设检验的起的影响;SS。称为误差平方和,表示试验的统计分析结果如表2.1。
随机误差影响。总离差分解后的公式为
表2.1中的各项指标利用表1.1中的踢=∑∑(蜀一牙)2=鹦+嚣。+SSE(2.3)
样本数据计算,可使用下面的简捷式
上式表明总离差的平方和分解为二因SsA2Q^-P
SSB=QB-P
素的影响(组间)和随机误差影响(组内)的ssE=R—Q^-QB+P
(2.8)
离差平方和。
SST=R—’P
其中
在(2.3)成立时,利用关于正态分布平方和分解的Cochran定理。可证明Hol与H∞分
包=÷∑(∑以,)2纯=去∑(∑置∥
u
1=1/=J
u,tllzI
240
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P={ac兰I,I圭11置,)2
R:善善b(z∥
具体数据计算依据表2.2进行。3应用
某运动项目对运动员训练使用了四种技术训练和三种身体素质训练方法。对于每种技术与身
体素质训练方法的组合做一次试验,得到的测验成绩如表3.1。分析各种技术训练与身体素质训练方法之间对运动成绩有无显著性差异。
这是个二因素试验,且没有交互作用的方差分析问题。技术训练方法记为因素A,有四
个水平,水平效应为c【,i=l,2,3,4;身体素质训
练方法记为因素B,有三个水平,水平效应为D:,j=l,2。3。在显著性水平下进行检验。
假设:Hnl:al=a,=0【3=Ⅸ40
Hn,:
D.=B,=D,=O
由3.1中数据得总平均值:
膏=去毒害舻s4
因素的各水平下的数据平均值:
X,=59.9,Ⅳ,=5l。6,x;=56.7,x4_60.9
因素的各水平下的数据平均值:
X.=60.8,Ⅳ,=59.9,X,=51.2
总平方和:SS,=1113.42,因素A的平
方和:sS.=l57.59,因素B的平方和:
SSE2223.85,
误差平方和:SS。=731.96。
将计算结果代入方差分析表2.1有查F分布表得临界值F。【(a—1),(仅一
1)(b—1)】_F0./105(3.6)=4.76,且FA=0.436<F。=4.76,所以接受HⅢ。同理得Fc【【(b—1),
(a—1)(b-1)】=F0.05(2,6)=5.14,F。=0.9175<Fo
os(2,6),接受H∥
由此得检验结果:各种技术训练方法和各种身体素质训练方法之间的差异对运动成就无显著性影响。
4结语
本文论述了二因素无交互作用方差分析数学摸型的建立方法,并以实例论证了利用Cochran
分解定理对各因素影响的显著性进行假
设检验的方法。事实卜还有很多生产实际和科学实验方面的问题是二个以上的因素影响且交互作用的,均可乖IJ用数学模型进行分析和检验,其原理是相通的本文不在赘述。
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试论多因素无交互作用方差分析中数学模型的建立与应用
作者:作者单位:刊名:英文刊名:年,卷(期):
邢航
阜新高等专科学校,辽宁阜新,123000科技创新导报
SCIENCE AND TECHNOLOGY INNOVATION HERALD2009(12)
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