卷积性质及其在方波卷积中的应用

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现　代　电　子　技　术1998年

卷积性质及其在方波卷积中的应用

张敏瑞

(西安矿业学院通信系　西安　710054)

摘　要　研究并提出了卷积的一个实用性质, , 得出方波卷积形状及参数的实用结论。

关键词　ir Appl ica tion i n Rectangular Pulses

Zhang M in ru i

(X i’anM ining Institute , X i’an, 710054)

Abstract 　T h is paper studies convo lu ti on p rob lem s , p ropo ses one p ractical p roperty and deals w ith the convo lu ti on of tw o rectangu lar pu lses in signals and system s , reaches som e helpfu l conclu si on s abou t shap es and p aram eters of the convo lu ti on of tw o rectangu lar p u lses .

Key words 　rectangu lar pu lse , convo lu ti on , p roperty , ti m e dom ain analysis .

1　引　言

∫f

-∝

∝

1

(Σ) f 2(t -Σ) d Σ

卷积方法在信号和系统理论中占有重要地位, 无论在时域还是在频域的研究中, 它都具有重要意义。近年来, 随着系统理论研究和计算机技术的发展, 卷积方法得到了更广泛的应用。

作者在教学中发现, 许多大学生对卷积的概念理解不充分, 对卷积的计算与图解不能较好地掌握。针对这种情况, 本文从卷积的概念出发, 总结提出卷积的一个实用性质, 并对方波卷积问题进行深入研究, 得出了几个有用的结论。利用这些性质和结论, 再加上卷积的其它性质和图解法, 许多卷积结果可以直接得到, 特别对于方波, 可立即作出其卷积波形。对于较复杂信号的卷积, 可迅速定出卷积的取值区间, 对其大致的图形心中有数。2　卷积概念及实用性质211　卷积的概念

称为函数f 1(t ) 与f 2(t ) 的卷积积分, 简称卷积[1],[2], 简单记为f 1(t ) 3f 2(t ) 。若用f (t ) 表示, 即为:

　f (t ) =f 1(t ) 3f 2(t ) >212　实用性质

∫f

-∝

∝

1

(Σ) f 2(t -Σ) d Σ

(1)

性质　若f 1(t ) 、f 2(t ) 的取值区间分别为(t 1a , (t 2a , t 2b ) , 则f (t ) =f 1(t ) 3f 2(t ) 的取值区间为t 1b ) 、

(t 1a +t 2a , t 1b +t 2b ) 。

注:此性质也适用于取值区间为闭区间, 即把“() ”换成“[]”也可。为了强调卷积的概念与图解法, 下面用图解法证明此性质(亦可用解析法证明, 略) 。

证明　设f 1(t ) 和f 2(t ) 如图1(a ) 所示。由于卷积f (t ) =f 1(t ) 3f 2(t ) 定义为

设两个实函数为f 1(t ) 和f 2(t ) , 则积分

Σ) d Σ, 所以将坐标轴换为Σ, 并将f 2(Σ) 以纵坐标为轴线折叠得f 2(-Σ) 。f 1(Σ) 和f 2(t -Σ) 如图1(b )

∫f

-∝

∝

1

(Σ) f 2(t -

第4期张敏瑞:卷积性质及其在方波卷积中的应用

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所示, 并设f 1(Σ) 、f 2(t -Σ) 的左端点分别为A , C , 右端点分别为B , D 。

由定义, 将函数f 1(Σ) 与f 2(t -Σ) 相乘, 此乘积曲线下的面积即为t 时的卷积值

f (t ) =

∫f

-∝

∝

1

(Σ) f 2(t -Σ) d Σ

据图1(b ) , 显然只有当f 1(Σ) 与f 2(t -Σ) 有重叠时, f (t ) 才可能有不为零之值, 否则将是f (t ) ≡0。设t 由-∝逐渐增大, 当t =t 1时, D 点与A 点重合, f (t ) 开始有值(不为零) , 当t =t 2时, C 点与B 点重合, f (t ) 开始无值(为零) , 因此卷积取值区间的左端点为t 1, 右端点为t 2, 即t ∈(t 1, t 2) 。由于t 1与A 的重合点, 即t 1-t 2a =t 1a

(2) 所以　t 1=t 1a +由于t 2C , 即t 2-t 2b =t 1b

(3) 所以　t 2=t +2b

(2) 式和(3) 式的t 1、t 2构成卷积f (t ) 的取值区间[如图1(c ) ]。

所以　t ∈(t 1a +t 2a , t 1b +t 2b , 证毕注:图1(c ) 所示仅为卷积取值区间示意图, 曲线的具体形状并不严格

。

　　f 1(t -t 2) 3f 2(t -t 1) =　　f (t -t 1-t 2)

　　教科书上仅给出此性质, 并没有给出其真正的物理含义。下面我们从实用的角度对此性质的物理含义进行探讨。

设两实函数f 1(t ) 、f 2(t ) 的卷积为f (t ) , 即:f (t ) =f 1(t ) 3f 2(t ) 。将f 1(t ) 、f 2(t ) 分别移位为f 1(t -t 1) 、2) , 则移位f 2(t -t 2) (t 1f :

f t ) =f (t 2t -t 2) , 而曲线形状未变。所以重叠区乘积曲线下的面积也不变, 因而卷积曲线f s (t ) 形状与位移前卷积f (t ) 形状一致, 仅曲线位置发生了变化, 其位置变化为f (t -t 1-t 2) 。因此, 此性质的物理意义可表述为:

卷积结果的曲线形状只与相卷的两个函数形状有关, 而与相卷两个函数的具体位置无关。

这一性质与信号与系统的理论是符合的。若设f 1(t ) 为信号, f 2(t ) 为一系统, 则f 2(t -t 2) 仍为系统f 2(t ) , 可视为线性时不变系统。所以将延迟的信号f 1(t -t 1) 通过线性时不变系统f 2(t -t 2) 后得到的输出信号形状肯定与未延迟时一致, 仅有些延时(位移) 而已。即f 1(t ) 3f 2(t ) 与f 1(t -t 1) 3f 2(t -t 2) 形状相同, 仅位置不同。3　方波的卷积

设任意两方波, 如图2(a ) 所示, 其中d -c ≤b -a , 求卷积f (t ) =f 1(t ) 3f 2(t ) 。

由上列性质知, 当t b +d 时,

故只需求出t ∈(a +c , b +d ) 内的卷积f (t ) ≡0。

值即可, 用图解法[见图2(b ) ]。

设A 与D 点, C 与B 点, C 与A 点, D 与B 点重合的坐标值分别为t 1、t 2、t 3、t 4, 则有:

(4) t 1-c =a 　故　t 1=a +c

(5) t 2-d =b 　故　t 2=b +d

t 3-图1　卷积取值区间示意图

d =a 　故　t 3=a +d c =b 　故　t 4=b +c

(6) (7)

t 4-

213　卷积的另一性质讨论

众所周知, 卷积有一个重要性质[1]:

若f (t ) =f 1(t ) 3f 2(t ) , 则　　f 1(t -t 1) 3f 2(t -t 2) =

设t 由-∝逐渐增大(即f 2(t -Σ) 由左向右移) 。当t >t 1时, f (t ) 由0开始增大, 当t >t 3时, f (t ) 达最大值。由于d -c ≤b -a , 所以当t >t 4时, f (t ) 由最大值开始变小, 当t >t 2时, f (t )

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现　代　电　子　技　术1998年

又变为零。因此:

①当t 3>t >t 1, 即a +d >t >a +c 时,

f (t ) =

∫k k d Σ=

a

t -c

12

k 1k 2(t -c -a )

②当t 4>t >t 3, 即b +c >t >a +d 时,

f (t ) =

∫k k d Σ=

t -d

t -c

边长度为两方波长度之和。

注:此处的高可为正或负。

②两等宽方波卷积, 结果为一等腰三角形, 底边为两方波长度之和, 高度为两方波高度与方波长度的乘积。

方波相卷积的这个结论与本文所提性质合用, 能迅速画出某些方波卷积的波形。现举例说明。

举例:求图3(a ) 中函数与f 2(t ) 的卷积。解:2(t ) , f 2(t ) =f 2左(t ) +右, 可f 2f 1(t ) 卷积结果的图f ″(t ) [见图3(b ) ],则由卷积的迭加性知′

′″

f (t ) =f (t ) +f (t ) , 结果如图3(c ) 所示

。

12

k 1k 2(d -c )

③当t 2>t >t 4, 即b +d >t >b +c 时,

f (t ) =

∫k k d Σ=

t -d

b

12

k 1k 2(b -t +d )

其波形图如图2(c ) 所示

。

图2　方波卷积示意图

讨论:当d -c =b -a , 即两方波等宽时, t 3点与t 4点重合, 卷积波形为一等腰三角形。

结论:①两个不等宽方波的卷积为一等腰梯形, 梯形高为两方波高之积与较短方波长度的乘积[即k 1k 2(d -c ) ],短边长度为两方波长度之差, 长

图3　卷积图解的例题

第4期史芳丽:个人化的U n ix 环境设置

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个人化的Un ix 环境设置

史芳丽

(陕西财经学院　西安　710061)

摘　要　讨论了U n ix 普通用户在B shell 和C 下, , 设置用户个人的U n ix 工作环境。

关键词　注册环境文件　全局注册　B ix Env ironm en t Setup

Sh i Fangli

(Shaanxi Institute of F inance and Econom ics , X i’an, 710061)

Abstract 　T he paper discu ssed comm on u ser of U n ix how to u se individual login environm en t files . setup individual U n ix w o rk environm en t of u ser fo r B shell and C shell

Key words 　login environm en t files , overall login environm en t file , B shell login environm en t file

　　U n ix 操作系统自问世以来, 以其优秀的设计思

想、科学严谨的系统体系、强大而灵活的系统功能受到广大计算机用户的喜爱, 但U n ix 唯一使用户不方便的地方, 就是需要用户自己创建工具和工作环境, 这一点使许多用户倍感困惑。熟悉U n ix 系统, 特别是熟悉个人化的U n ix 环境设置, 对广大U n ix 用户显得特别重要。本文将讨论如何设置注册

1　注册环境文件

　　U n ix 的注册环境文件提供了自定义U n ix 环境的方法, 它可以由用户自己根据自己的需要进行设置。它类似于Do s 中的A u toexec . bat 文件, 当系统开始执行时, 文件中的各命令及参数自动执行, U n ix 的注册环境文件和Do s 中的A u toexec . bat 文

环境文件来创建用户自己的U n ix 工作环境。件所不同的是:Do s 中的A u toexec . bat 文件是引导

4　结束语

利用上列的性质与两个结论, 可以在求卷积之前对结果心中有数, 还可在求卷积之后准确判断结果的正误。可见本文论述的卷积性质与结论是实用的, 简单、有效。

参　考　文　献

1　吴大正.

本文从卷积的基本概念出发, 提出了卷积的一

个实用性质, 并研究了方波卷积的问题, 得出两个有用的结论, 还举例说明了本文所提性质与两个结论的用法。理论与实践均表明, 利用该性质, 可以简化一些卷积的计算与作图, 进一步加深卷积的概念与定性结果。利用方波卷积的这两个结论, 便可对方波信号相卷积给出精确的卷积波形, 从而写出精确的数学表达式。

信号与线性系统分析, 第2版. 北京:

高等教育出版社, 19862　郑君里, 杨为理, 应君珩. 信号与系统(上) . 北

京:高等教育出版社, 1981