1轮与圆有关的位置关系

与圆有关的位置关系

◆ 课前热身

1.如图，⊙O的半径为5，弦AB＝8，M是弦AB上的动点，则OM不可能为（ ） A．2

B．3

C．4

D．5

2.已知⊙O的半径r，圆心O到直线l的距离为d，当d＝r时，直线l与 ⊙O的位置关系是（ ）

A．相交 B．相切 C．相离 D．以上都不对 3.如图，已知AB是⊙O的直径，PB是⊙O的切线，PA交 ⊙O于C，AB＝3cm，PB＝4cm，则BC＝ .

4.已知⊙O1与⊙O2的半径分别为5cm和3cm，圆心距020=7cm，则两圆的位置关系为（ ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切

5.若⊙O1与⊙O2相切，且O1O25，⊙O1的半径r12，则⊙O2的半径r2是（ ） A． 3 B． 5 C． 7 D． 3 或7 【参考答案】 1. A 2. B 3.◆考点聚焦 知识点

直线和圆的位置关系、切线的判定和性质、三角形的内切圆、切线长定理、弦切角的定理、相交弦、切割线定理 大纲要求

1.理解并掌握利用圆心到直线的距离和半径之间的关系来判断直线和圆的位置关系． 2.能灵活运用圆的切线的判定定理和性质定理以及切线长定理解决有关问题，这也是本节的重点和中考热点，而综合运用这些定理则是本节的难点．

3.能由两圆位置关系写出圆心距与两圆半径之和或差的关系式以及利用两圆的圆心距与两圆半径之和及差的大小关系判定两圆的位置关系． 考查重点和常考题型

1．判断基本概念、基本定理等的正误。在中考题申常以选择题或填空题的形式考查学生对基本概念和基本定理的正确理解

.

12

4.C 5. D 5

2．考查两圆位置关系中的相交及相切的性质，可以以各种题型形式出现， 多见于选择题或填空题，有时在证明、计算及综合题申也常有出现。

3．证明直线是圆的切线。证明直线是圆的切线在各省市中考题中多见，重点考查切线的判断定理及其它圆的一些知识。证明直线是圆的切线可通过两种途径证明。

4．论证线段相等、三角形相似、角相等、弧相等及线段的倍分等。此种结论的证明重点考查了金等三角形和相似三角形判定，垂径定理及其推论、圆周角、圆心角的性质及切线的性质，弦切角等有关圆的基础知识。 ◆备考兵法

1．确定点与圆的位置关系就是确定该点到圆心的距离与半径的大小关系，•涉及点与圆的位置关系的问题，如果题目中没有明确点与圆的位置关系，应考虑点在圆内、上、外三种可能，即图形位置不确定时，应分类讨论，利用数形结合进行解决．

2.判断直线与圆的位置关系的方法有两种：一是根据定义看直线和圆的公共点的个数；二是根据圆心到直线的距离d与圆的半径r的关系．

3．证明一条直线是圆的切线的方法有两种：（1）当直线与圆有一个公共点时，把圆心和这个公共点连结起来，然后证明直线垂直于这条半径，简称“作半径，证垂直”；（2）当直线和圆的公共点没有明确时，可过圆心作直线的垂线，•再证圆心到直线的距离等于半径，简称“作垂线，证半径．” ◆考点链接

1. 点与圆的位置关系共有三种：① ，② ，③ ；对应的点到圆心的距离d和半径r之间的数量关系分别为： ①d r，②d r，③d r.

2. 直线与圆的位置关系共有三种：① ，② ，③ . 对应的圆心到直线的距离d和圆的半径r之间的数量关系分别为： ①d r，②d r，③d r.

3. 圆与圆的位置关系共有五种：① ，② ，③ ，④ ，⑤ ；两圆的圆心距d和两圆的半径R、r（R≥r）之间的数量关系分别为：①d R－r，②d R－r，③ R－r d R＋r，④d R＋r，⑤d R＋r.

4. 圆的切线 过切点的半径；经过 的一端，并且 这条 的直线是圆的切线.

5. 从圆外一点可以向圆引 条切线， 相等， 相等.

6. 三角形的三个顶点确定 个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，三角形的外接圆的圆心叫 心，是三角形 的交点.

7. 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的 ，内切圆的圆心是三角形 的交点，叫做三角形的 . ◆ 典例精析

例1（2009山西省太原）如图AB、AC是⊙O的两条弦，A＝30°，过点C的切线与OB的延长线交于点D，则D的度数为 ．

【解析】本题考查切线的性质、同弧所对圆周角与圆心角的关系，连接OC， ∵CD是切线， ∴∠OCD＝90°，

∵∠A＝30°，∴∠COD＝60°，所以∠D＝30°． 【答案】30°

例2(2009年辽宁本溪)如图所示，AB是⊙O直径，OD⊥弦BC于点F，且交⊙O于点E，若AECODB．

（1）判断直线BD和⊙O的位置关系，并给出证明； （2）当AB10，BC8时，求BD的长．

【答案】（1）直线BD和⊙O相切． 证明：

∵AECODB，AECABC， ∴ABCODB．∵OD⊥BC，

∴DBCODB90°．∴DBCABC90°．

即DBO90°．∴直线BD和⊙O相切． （2）连接AC． ∵AB是直径， ∴ACB90°．

在Rt△ABC中，AB10，BC8，∴AC

6．

∵直径AB10， ∴OB5．

由（1），BD和⊙O相切，

∴OBD90°．∴ACBOBD90°． 由（1）得ABCODB，

ACBC

． OBBD

6820∴，解得BD．

5BD3

∴△ABC∽△ODB．∴

【点评】圆的切线有三种判定方法：①和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；②到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；③过半径外端且和这条半径垂直的直线是圆的切线．在证明时一定要根据题目已知条件合理选择．

0)，以点O1为例3（2009年四川凉山州）如图，在平面直角坐标系中，点O1的坐标为(4，

圆心，8为半径的圆与x轴交于A，B两点，过A作直线l与x轴负方向相交成60°的角，且交y轴于C点，以点O2(13，5)为圆心的圆与x轴相切于点D． （1）求直线l的解析式；

（2）将⊙O2以每秒1个单位的速度沿x轴向左平移，当⊙O2第一次与⊙O1外切时，求⊙O2平移的时间．

【答案】（1）解：由题意得OA|4||8|12，

A点坐标为(12，0)．

在Rt△AOC中，OAC60°，

OCOAtanOAC12tan60°

C点的坐标为(0，．

设直线l的解析式为ykxb， 由l过A、C两点，

得

b

012kb

b解得直线l

的解析式为：y

k（2）如图，设⊙O2平移t秒后到⊙O3处与⊙O1第一次外切于点P，⊙O3与x轴相切于D1点，连接O1O3，O3D1．则OO13O1PPO38513，

O3D1⊥x轴，

O3D15，

在Rt△O1O3D1中

O1D112．O1DOO1OD41317，

D1DO1DO1D117125，t

5

5（秒），⊙O2平移的时间为5秒．1

【点评】本题为学科内综合题，它综合考查了圆，函数，平面直角坐标系，解直角三角形以及解方程（组）的相关知识，综合性极强．

OC4，OAC60．例4（2009年广西河池）如图1，在⊙O中，AB为⊙O的直径，AC是弦，

（1）求∠AOC的度数；

（2）在图1中，P为直径BA延长线上的一点，当CP与⊙O相切时，求PO的长； （3） 如图2，一动点M从A点出发，在⊙O上按逆时针方向运动，当S△MAOS△CAO时，求动点M所经过的弧长．

【答案】解：（1）∵ 在△ACO中，OAC60，OCOA ∴ △ACO是等边三角形 ∴ ∠AOC60°

（2）∵ CP与⊙O相切，OC是半径． ∴ CP⊥OC

∴ ∠P90°-∠AOC30° ∴ PO2CO8 . （3）如图2，

① 作点C关于直径AB的对称点M1，连结AM1，OM1 ． 易得SM1AOSCAO，AOM160

∴ AM1

4π4

60π 1803

∴ 当点M运动到M1时，S△MAOS△CAO， 此时点M经过的弧长为

4

π． 3

② 过点M1作M1M2∥AB交⊙O于点M2，连结AM2，OM2，易得S△M2AOS△CAO． ∴ AOM1M1OM2BOM260 ∴AM2

4π84π82π 或 AM2120π 331803

8

π． 3

∴ 当点M运动到M2时，S△MAOS△CAO，此时点M经过的弧长为

③ 过点C作CM3∥AB交⊙O于点M3，连结AM3，OM3，易得S△M3AOS△CAO ∴ BOM360， ∴AM2M3

4π168π16

240π 或 AM2M32π 180333

16

π． 3

∴ 当点M运动到M3时，S△MAOS△CAO，此时点M经过的弧长为 ④ 当点M运动到C时，M与C重合，S△MAOS△CAO， 此时点M经过的弧长为

4π2016π4π20

300π 或 π．

1803333

【点评】运动过程中出现多种情况，在分类讨论时一定要注意不重不漏． ◆ 迎考精炼 一、 选择题

1．（2009湖北十堰）如图，△ABC内接于⊙O，连结OA、OB，若∠ABO＝25°，则∠C的度数为（ ）．

A．55° B．60° C．65° D．70°

2．（2009年甘肃白银）如图，⊙O的弦AB＝6，M是AB上任意一点，且OM最小值为4，则⊙O的半径为（ ） A．5

B．4

C．3

D．

2

3.（2009年浙江绍兴）如图，在平面直角坐标系中，⊙P与x轴相切于原点O，平行于y轴的直线交⊙P于M,N两点．若点M的坐标是(2,-1)，则点N的坐标是（ ） A．

(2,-4) B. (2,-4.5) C.(2,-5) D.(2,-5.5)

4.（2009年湖北襄樊）如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切O于C，若∠A25．则∠D等于（ ）

A．40 B．50 C．60 D．70

5.（2009年浙江台州）大圆半径为6，小圆半径为3，两圆圆心距为10，则这两圆的位置关系为（ ）

A．外离 B．外切 Ｃ．相交 D．内含

6.（2009年浙江嘉兴）如图，⊙P内含于⊙O，⊙O的弦AB切⊙P于点C，且AB∥OP． 若阴影部分的面积为9，则弦AB的长为（ ）A．3

B．4 C．6

D．9

二、 填空题

1.(2009年四川成都)如图，△ABC内接于⊙O，AB＝BC，∠ABC＝120°，AD为⊙O的直径，AD＝6，那么BD＝_________．

2.(2009年贵州安顺)如图，⊙O的半径OA＝10cm，P为AB上一动点，则点P到圆心O的最短距离为___________cm。

3．(2009年甘肃定西)如图，在△ABC中，ABAC5cm，cosB

3

．如果⊙O

的半径为5

，且经过点B、C，那么线段AO＝．

4．（2009年湖南怀化）如图，PA、PB分别切⊙O于点A、B，点E是⊙O上一点，且

AEB60，则P

5．（2009年广西崇左）如图，正方形ABCD中，E是BC边上一点，以E为圆心.EC为半径的半圆与以A为圆心，AB为半径的圆弧外切，则sinEAB的值为 ．

C E

6.（2009年山东威海）如图，⊙O1和⊙O2的半径为1和3，连接O1O2，交⊙O2于点P，O1O2=8，若将⊙O1绕点P按顺时针方向旋转360°，则⊙O1与⊙O2共相切_______次．

7.（2009 年黑龙江大兴安岭）已知相切两圆的半径分别为5cm和4cm，这两个圆的圆心距是 ． 三、 解答题

1.(2009年四川内江)如图，四边形ABCD内接于圆，对角线AC与BD相交于点E、F在AC上，AB＝AD，∠BFC＝∠BAD＝2∠DFC. 求证：（1）CD⊥DF；（2）BC＝

2CD

2.（2009年湖北仙桃）如图，AB为⊙O的直径，D是⊙O上的一点，过O点作AB的垂线交AD于点E，交BD的延长线于点C，F为CE上一点，且FD＝FE． (1)请探究FD与⊙O的位置关系，并说明理由； (2)若⊙O的半径为2，BD＝3，求BC的长．

3.（2009年湖南衡阳）如图，AB是⊙O的直径，弦BC＝2cm，∠ABC＝60º．

（1）求⊙O的直径；

（2）若D是AB延长线上一点，连结CD，当BD长为多少时，CD与⊙O相切；

（3）若动点E以2cm/s的速度从A点出发沿着AB方向运动，同时动点F以1cm/s的速度从B点出发沿BC方向运动，设运动时间为t(s)(0t2)，连结EF，当t为何值时，△BEF为直角三角形．

4．（2009年甘肃兰州）如图，在以O为圆心的两个同心圆中，AB经过圆心O，且与小圆相交于点A.与大圆相交于点B．小圆的切线AC与大圆相交于点D，且CO平分∠ACB．

(1)试判断BC所在直线与小圆的位置关系，并说明理由；

(2)试判断线段AC.AD.BC之间的数量关系，并说明理由；

(3)若AB8cm，BC10cm，求大圆与小圆围成的圆

环的面积．（结果保留π）

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一、选择题

1.C 2.A 3.B 4.A 5.A 6. C

二、填空题 1.33 2.6 3.5 4.A 5.

三、解答题

1.证：（1）设∠DFC＝θ，则∠BAD＝2θ

在△ABD中，∵AB＝AD， ∴∠ABD＝∠ADB

∠ABD＝12（180°-∠BAD）＝90°-θ

又∠FCD＝∠ABD＝90°-θ

∴∠FCD+∠DFC＝90°

∴CD⊥DF

（2）过F作FG⊥BC于G

在△FGC和△FDC中 ，∠FCG＝∠ADB＝∠ABD＝∠FCD

∠FGC＝∠FDC＝90°,FC＝FC

∴△FGC≌△FDC

∴GC＝CD且∠GFC＝∠DFC

又∠BFC＝2∠DFC

∴∠GFB＝∠GFC

∴BC＝2GC， ∴BC＝2CD.

2.解：（1）FD与⊙O相切，理由如下：

连接OD.∵OC⊥AB，∴∠AOC＝90°，∴∠3+∠A＝90°.∵FE＝FD，

∴∠1＝∠2.又∵∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，又∵OA＝OD，∴∠A＝∠4.

∴∠1+∠4＝90°，∴FD与⊙O相切.

（2）∵⊙O的半径为2，∴OB＝2，AB＝4，又∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB＝90°.∵OC⊥AB，∴∠ADB＝∠BOC＝90°，又∵∠B＝∠B，∴Rt△ABD∽Rt△CBO ∴3 6.3 7.1cm或9cm 5ABCBCB



，∴BCBDBO2 3.解：（1）∵AB是⊙O的直径（已知）

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∵∠ABC＝60º（已知）

∴∠BAC＝180º－∠ACB－∠ABC＝ 30º（三角形的内角和等于180º）

∴AB＝2BC＝4cm（直角三角形中，30º锐角所对的直角边等于斜边的一半）

即⊙O的直径为4cm．

（2）如图（1）CD切⊙O于点C，连结OC，则OC＝OB＝1/2·AB＝2cm．

∴CD⊥CO（圆的切线垂直于经过切点的半径）

∴∠OCD＝90º（垂直的定义）

∵∠BAC＝ 30º（已求）

∴∠COD＝2∠BAC＝ 60º（在同圆或等圆中一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半）

∴∠D＝180º－∠COD－∠OCD＝ 30º（三角形的内角和等于180º）

∴OD＝2OC＝4cm（直角三角形中，30º锐角所对的直角边等于斜边的一半）

∴BD＝OD－OB＝4－2＝2（cm）

∴当BD长为2cm，CD与⊙O相切．

（3）根据题意得：

BE＝（4－2t）cm，BF＝tcm；

如图（2）当EF⊥BC时，△BEF为直角三角形，此时△BEF∽△BAC

∴BE：BA＝BF：BC

即：（4－2t）：4＝t：2

解得：t＝1

如图10（3）当EF⊥BA时，△BEF为直角三角形，此时△BEF∽△BCA

∴BE：BC＝BF：BA

即：（4－2t）：2＝t：4

解得：t＝1.6

∴当t＝1s或t＝1.6s时，△BEF为直角三角形．

4.解：（1）BC所在直线与小圆相切，

理由如下：过圆心O作OEBC，垂足为E， AC是小圆的切线，AB经过圆心O，

OAAC，又

CO平分ACB，OEBC．OEOA． - - 13 - -

BC所在直线是小圆的切线．

（2）AC+AD=BC。理由如下：连接OD．AC切小圆O于点A，BC切小圆O于点E， CECA．

在Rt△OAD与Rt△OEB中，OAOE，ODOB，OADOEB90，

BADRt△OAD≌Rt△OEB（HL），E．BCCEEB，

BCACAD．（3）BAC90，AB8，BC10，AC6． BCACAD，ADBCAC4．

圆环的面积SOD2OA2(OD2OA2)

又OD2OA2AD2， S4216cm2

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