初三数学应知应会的知识点一元二次方程

初三数学应知应会的知识点一元二次方程

1.一元二次方程的一般形式: a≠0时，ax2+bx+c=0叫一元二次方程的一般形式，研究一元二次方程的有关问题时，多数习题要先化为一般形式，目的是确定一般形式中的a、 b、 c；其中a 、 b,、c可能是具体数，也可能是含待定字母或特定式子的代数式.

2. 一元二次方程的解法:一元二次方程的四种解法要求灵活运用，其中直接开平方法虽然简单，但是适用范围较小；公式法虽然适用范围大，但计算较繁，易发生计算错误；因式分解法适用范围较大，且计算简便，是首选方法；配方法使用较少.

3.一元二次方程根的判别式:当ax2+bx+c=0 (a≠0)时，Δ=b2-4ac叫一元二次方程根的判别式.请注意以下等价命题：

Δ＞0 有两个不等的实根；Δ=0有两个相等的实根；

Δ＜0 无实根；Δ≥0 有两个实根（等或不等）.

4.一元二次方程的根系关系：当ax2+bx+c=0 (a≠0) 时，如Δ≥0，有下列公式：

(1)x1,2bb24acb；(2)x1x2，2aax1x2c.a

※ 5．当ax2+bx+c=0 (a≠0) 时，有以下等价命题：

(以下等价关系要求会用公式

x1x2bc，x1x2aa；Δ=b2-4ac分析，不要求背记) b

（1）两根互为相反数a= 0且Δ≥0b = 0且Δ≥0；

c

（2）两根互为倒数a=1且Δ≥0a = c且Δ≥0；

cb（3）只有一个零根a= 0且a≠0c = 0且b≠0；

cb（4）有两个零根a= 0且a= 0c = 0且b=0；

c

（5）至少有一个零根a=0c=0；

c

（6）两根异号a＜0 a、c异号；

cb（7）两根异号，正根绝对值大于负根绝对值a＜0且a＞0a、c异号且a、b异号；

cb（8）两根异号，负根绝对值大于正根绝对值a＜0且a＜0a、c异号且a、b同号；

cb（9）有两个正根a＞0，a＞0且Δ≥0a、c同号， a、b异号且Δ≥0；

cb（10）有两个负根a＞0，a＜0且Δ≥0a、c同号， a、b同号且Δ≥0.

6．求根法因式分解二次三项式公式：注意：当Δ＜ 0时，二次三项式在实数范围内不能分解.

bb24acbb24acaxx2a2a22. ax+bx+c=a(x-x1)(x-x2)或ax+bx+c=

7．求一元二次方程的公式：

x2 -（x1+x2）x + x1x2 = 0. 注意：所求出方程的系数应化为整数.

8．平均增长率问题--------应用题的类型题之一（设增长率为x）：

(1)第一年为a ,第二年为a(1+x) , 第三年为a(1+x)2.

（2）常利用以下相等关系列方程：第三年=第三年或第一年+第二年+第三年=总和.

9．分式方程的解法：

两边同乘最简(1)去分母法验增根代入最简公分母（或原方程的每个分母），值0.公分母

凑元，设元，（2）换元法验增根代入原方程每个分母，值0.换元.

10. 一元二次方程组的解法：

（1）代入消元法方程组中含有一个二元一次方程;

（2）分解降次法方程组中含有能分解为（（））0的方程;

(1)(2)0(1)0(2)0(1)0(2)0(3)注意：应分组为.(3)(4)0(3)0(4)0(4)0(3)0

※11．几个常见转化：

22222(1)x1x22(x1x2)2x1x2；(x1x2)(x1x2)4x1x2；x12(x)2；2xx1

1或x2(x)22；xx21(xx)2(xx)24xx(x1x2)121212x1x2；22(x1x2)(x1x2)(x1x2)4x1x2

(2)1.分类为x1x22和x1x22x1x2222.两边平方为（x1x2）4；

x14x23x14x14(1)分类为和16x23x23(或2)9x2(2)两边平方一般不用,因为增加次数. 2x1(3)

一、共同回顾

1、一元二次方程的概念，2x2 +5 x = x2－3是一元二次方程吗？

2、一元二次方程的一般形式，说出它的二次项系数，一次项系数和常数项。

例1、把方程2x2 +5 = 6x －3化成一般形式，并说出它的二次项系数，一次项系数和常数项

3、一元二次方程的解法有几种？分别是什么？

由学生回答，教师板书：

一元二次方程的解法：

例2、尝试用不同的解法解下列方程

（1） 3x2－48= 0 （2） y2 + 2y － 24 = 0

（3） 2x2－6x－5= 0 （4）a（a－2）－5a2 = 0

分析：

根据方程的不同特点，应采用不同的解法。（1）宜用直接开方法；（2）宜用配方法；（3）宜用公式法；（4）宜用因式分解法或换元法。

4、根据你的学习体会，讨论交流如何根据一元二次方程的特征选择方法？

5、应用一元二次方程解实际问题有哪些步骤？

6、你能列出本节知识结构吗？

二、共同完成

7、一元二次方程（1－3x）（x +3）= 2x2 + 1 的一般形式是，它的二次项系数，一次项系数和常数项

8、已知方程2（m+1）x2 +4mx+3m－2 = 0 是关于x的一元二次方程，那么m的取值范围是 要点：学生练习、讨论；教师引导、启发；点评

（二）解答题

1、用适当的方法解下列方程：

12x21

（1）x2－5x =3 x （2）4

（3） x（x－6） =7 （4）x（x+1）+2 （x－1）= 7

要点：学生讨论、探索、解答；教师引导、启发；让学生总结归纳

2、有三个连续奇数，已知它们的平方和等于251，求这三个数。

要点：不同方法设元，检验

3、某工厂一月份生产零件2万个，一季度共生产零件7.98万个，若每月的增长率相同，求每月的平均增长率。

注意：检验

三、师生小结，共同提高

1、要了解一元二次方程的概念及其一般形式，

2、根据一元二次方程的特征，灵活选用最恰当的解法，可以受到事半功倍的效果。

3、应用一元二次方程解应用题的步骤与一元一次方程解应用题的步骤一样，应注意检验是否符合题意。

四、作业：

1、选择适当的方法解下列方程：

227(2x3)28y2y3990 （1）；（2）

22(2x1)3(2x1)20 2x125x（3）；（4）

22、已知三角形的两边长分别是方程x3x20的两根，第三边的长是方程

2x25x30的根，求这个三角形的周长。