2016考研数学典型例题归纳
2016考研数学典型例题归纳
一、一元函数微分学
求给定函数的导数与微分(包括高阶导数) ，隐函数和由参数方程所确定的函数求导，特别是分段函数和带有绝对值的函数可导性的讨论;
利用洛比达法则求不定式极限;
讨论函数极值，方程的根，证明函数不等式;
利用罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒中值定理证明有关命题，如“证明在开区间内至少存在一点满足„„”，此类问题证明经常需要构造辅助函数;
几何、物理、经济等方面的最大值、最小值应用问题，解这类问题，主要是确定目标函数和约束条件，判定所讨论区间;
利用导数研究函数性态和描绘函数图形，求曲线渐近线。
二、一元函数积分学
计算题：计算不定积分、定积分及广义积分;
关于变上限积分的题：如求导、求极限等;
有关积分中值定理和积分性质的证明题;
定积分应用题：计算面积，旋转体体积，平面曲线弧长，旋转面面积，压力，引力，变力作功等;
综合性试题。
三、函数、极限与连续
求分段函数的复合函数;
求极限或已知极限确定原式中的常数;
讨论函数的连续性，判断间断点的类型;
无穷小阶的比较;
讨论连续函数在给定区间上零点的个数，或确定方程在给定区间上有无实根。
四、向量代数和空间解析几何
计算题：求向量的数量积，向量积及混合积;
求直线方程，平面方程;
判定平面与直线间平行、垂直的关系，求夹角;
建立旋转面的方程;
与多元函数微分学在几何上的应用或与线性代数相关联的题目。
五、多元函数的微分学
判定一个二元函数在一点是否连续，偏导数是否存在、是否可微，偏导数是否连续; 求多元函数(特别是含有抽象函数) 的一阶、二阶偏导数，求隐函数的一阶、二阶偏导数; 求二元、三元函数的方向导数和梯度;
求曲面的切平面和法线，求空间曲线的切线与法平面，该类型题是多元函数的微分学与前面向量代数与空间解析几何的综合题，应结合起来复习;
多元函数的极值或条件极值在几何、物理与经济上的应用题; 求一个二元连续函数在一
个有界平面区域上的最大值和最小值。这部分应用题多要用到其他领域的知识，考生在复习时要引起注意。
六、多元函数的积分学
二重、三重积分在各种坐标下的计算，累次积分交换次序;
第一型曲线积分、曲面积分计算;
第二型(对坐标) 曲线积分的计算，格林公式，斯托克斯公式及其应用;
第二型(对坐标) 曲面积分的计算，高斯公式及其应用;
梯度、散度、旋度的综合计算;
重积分，线面积分应用; 求面积，体积，重量，重心，引力，变力作功等。数学一考生对这部分内容和题型要引起足够的重视。
七、无穷级数
判定数项级数的收敛、发散、绝对收敛、条件收敛;
求幂级数的收敛半径，收敛域;
求幂级数的和函数或求数项级数的和;
将函数展开为幂级数(包括写出收敛域);
将函数展开为傅立叶级数，或已给出傅立叶级数，要确定其在某点的和(通常要用狄里克雷定理);
综合证明题。
八、微分方程
求典型类型的一阶微分方程的通解或特解：这类问题首先是判别方程类型，当然，有些方程不直接属于我们学过的类型，此时常用的方法是将x 与y 对调或作适当的变量代换，把原方程化为我们学过的类型;
求解可降阶方程;
求线性常系数齐次和非齐次方程的特解或通解;
根据实际问题或给定的条件建立微分方程并求解;
综合题，常见的是以下内容的综合：变上限定积分，变积分域的重积分，线积分与路径无关，全微分的充要条件，偏导数等。
一、 行列式
行列式是线性代数中的基本运算。该部分单独出题情况不多，很多时候，考试将其与其它知识点(矩阵、线性方程组、特征值与特征向量等) 结合起来考查。行列式的重点是计算，包括数值型行列式、抽象型行列式和含参数行列式的计算。
结合考试分析，建议考生从行列式自身知识、与其它知识的联系这两方面来把握该部分内容。具体如下：
1. 行列式自身知识
考生应在理解定义、掌握性质及展开定理的基础上，熟练掌握各种形式的行列式的计算。行列式计算的基本思路是利用性质化简，利用展开定理降阶。常见的计算方法有：“三角化”法，直接利用展开定理，利用范德蒙行列式结论，逆向运用展开定理。
2. 行列式与其它知识的联系
行列式与其它知识(线性方程组的克拉默法则、由伴随矩阵求逆矩阵、证明矩阵可逆、判定n 个n 维向量线性相关(无关) 、计算矩阵特征值、判断二次型的正定性) 有较多联系。考生应准确把握这些联系，并灵活运用。
二、 矩阵
矩阵是线性代数的核心，也是考研数学的重点考查内容。考试单独考查本部分以小题为主，平均每年1至2题。但是矩阵是线性代数的“活动基地”，线性代数的考题绝大部
分是以矩阵为载体出题的，因此矩阵复习的成败基本决定了整个线性代数复习的成败。
该部分的常考题型有：矩阵的运算，逆矩阵，初等变换，矩阵方程，矩阵的秩，矩阵的分块。其中逆矩阵考得最多。
结合考试分析，建议考生从以下方面把握该部分内容：
矩阵运算中矩阵乘法是核心，要特别注意乘法不满足交换律和消去律。逆矩阵需注意三方面——定义、与伴随矩阵的关系、利用初等变换求逆矩阵。伴随矩阵是难点，需熟记最基本的公式 ，并灵活运用。对于矩阵的秩，着重理解其定义，及其与行列式及矩阵可逆性的关系。
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