高考数学高分策略:解几综合题

2011年高考数学高分策略

第17题（解几综合题）——从平几中寻突破到解几中找关系

17.1、圆锥曲线中的精要结论：

x 2y 2

1. 焦半径：(1)椭圆2+2=1(a >b >0) ：PF 1=a +ex 0, PF 2=a -ex 0；

a b

（左“+”右“-”）；

x 2y 2

椭圆2+2=1(a >b >0) ：

b a

a 2a 2

PF 1=e (x 0+) =a +ex 0(x 00)

c c

(2)双曲线

x 2a

2

-

y 2b

2

=1：

“长加短减”原则：

MF 1=ex 0+a MF 2=ex 0-a

构成满足MF 1-MF 2=2a

M 'F 1=-ex 0-a M 'F 2=-ex 0+a

（与椭圆焦半径不同，椭圆焦半径要带符号计算，而双曲线不带符号）

x 2y 2

双曲线2-2=1：

b a

MF 1=ey 0-a M 'F 1=-ey 0'+a

；

MF 2=ey 0+a M 'F 2=-ey 0'-a

(2)抛物线：PF =x 0+

p

2

2. 弦长公式：AB =+k 2⋅x 2-x 1=(1+k 2)[(x 1+x 2) 2-4x 1x 2]

=+

1

⋅y 2-y 1=k 2

(1+

1

) ⋅[(y 1+y 2) 2-4y 1y 2]； 2k

【注】：(1)焦点弦长：i ．椭圆：|AB |=2a ±e (x 1+x 2) ； ii ．抛物线：AB ＝x 1+x 2+p =

2p

； 2

sin α

2b 2

(2)通径（最短弦）：i ．椭圆、双曲线：；

a

ii ．抛物线：2p .

3. 过两点的椭圆、双曲线标准方程可设为：mx 2+ny 2=1 （m , n 同时大于0时表示椭圆，mn

4. 椭圆中的结论：

(1)内接矩形最大面积：2ab ；

(2)P，Q 为椭圆上任意两点，且OP ⊥OQ ，则(3)椭圆焦点三角形：

θ

i ．S ∆PF F =b 2tan ，（θ=∠F 1PF 2）；

12

1|OP |2

+

1|OQ |2

=

1a 2

+

1b 2

；

2

ii ．点M 是∆PF 1F 2内心，PM 交F 1F 2于点N ，则(4)当点P 与椭圆短轴顶点重合时∠F 1PF 2最大； (5)共离心率的椭圆系的方程：椭圆

x 2a

2

|PM |a

=； |MN |c

+

y 2b

2

=1(a b 0) 的离心率是

x 2y 2c 22

e =(c =a -b ) ，方程2+2=t (t 是大于0的参数，a b 0) 的离心率也是a a b

e =

c

，我们称此方程为共离心率的椭圆系方程． a

5. 双曲线中的结论：

22

y 2y 2x x (1)双曲线2-2=1（a >0, b >0）的渐近线：2-2=0； a b a b

(2)共渐进线y =±x 的双曲线标准方程为x 2-y 2=λ(λ为参数，λ≠0）；

a

b

b

a

22

(3)双曲线焦点三角形：

i ．S ∆PF 1F 2=b 2cot ，（θ=∠F 1PF 2）；

2

θ

x 2y 2

ii ．P 是双曲线2－2=1(a＞0，b ＞0) 的左（右）支上一点，F 1、F 2分别

a b

为左、右焦点，则△PF 1F 2的内切圆的圆心横坐标为-a , (a ) ；

(4)等轴双曲线：双曲线x 2-y 2=±a 2称为等轴双曲线，其渐近线方程为

y =±x (渐近线互相垂直) ，离心率e =2．

(5)共渐近线的双曲线系方程：

x 2a 2x 2a 2

--y 2b 2y 2b 2

=0如果双曲线的渐近线为=λ(λ≠0) ．

x 2a

2

-

y 2b

2

=λ(λ≠0) 的渐近线方程为

x y

±=0时，它的双曲线方程可设为a b

(6) 共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，

x 2y 2x 2y 2

叫做已知双曲线的共轭双曲线．2-2=λ与2-2=-λ互为共轭双曲线，

a b a b

它们具有共同的渐近线：

(7) 若P 在双曲线

x 2a

2

x 2a 2-b

-

y 2b 2

=0．

y 2

2

则常用结论1：P 到焦=1，

点的距离为m = n，则P 到两准线的距离比为m ︰n ．

PF 1

d

简证：1=e

d 2PF 2

e

m

= ．

n

常用结论2：从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于b ．

(8) 直线与双曲线的位置关系：

区域①：无切线，2条与渐近线平行的直线，合计2条；

区域②：即定点在双曲线上，1条切线，2条与渐近线平行的直线，合计3条；

区域③：2条切线，2条与渐近线平行的直线，合计4条；

区域④：即定点在渐近线上且非原点，1条切线，1条与渐近线平行的直线，合计2条；

区域⑤：即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线．

小结：过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能

有0、2、3、4条．

若直线与双曲线一支有交点，交点为二个时，求确定直线的斜率可用代入“∆”法与渐近线求交和两根之和与两根之积同号．

6. 抛物线中的结论：

(1)抛物线y 2=2px (p >0) 的焦点弦AB 性质：

2

p i ．x 1x 2=；y 1y 2=-p 2； 4

ii ．

112

+= ； |AF ||BF |p

iii ．以AB 为直径的圆与准线相切；

iv ．以AF （或BF ）为直径的圆与y 轴相切； v ．S ∆AOB

p 2

. =

2sin α

(2)抛物线y 2=2px (p >0) 内结直角三角形OAB 的性质： i ． x 1x 2=4P 2, y 1y 2=-4P 2； ii ．l AB 恒过定点(2p , 0) ；

iii ．A , B 中点轨迹方程：y 2=p (x -2p ) ；

iv ．OM ⊥AB ，则M 轨迹方程为：(x -p ) 2+y 2=p 2； v ．(S ∆AOB ) m in =4p 2 .

(3)抛物线y 2=2px (p >0) ，对称轴上一定点A (a , 0) ，则： i ．当0

ii ．当a >p 时，抛物线上有关于x 轴对称的两点到点A 距离最小，最小值为

2ap -p 2.

17.2、两个常见的曲线系方程

(1)过曲线f 1(x , y ) =0, f 2(x , y ) =0的交点的曲线系方程是f 1(x , y ) +λf 2(x , y ) =0(λ为

参数).

x 2y 2

(2)共焦点的有心圆锥曲线系方程2+2=1, 其中k

a -k b -k

当k

17.3、圆 1、圆系方程

(1)过点A (x 1, y 1) , B (x 2, y 2) 的圆系方程是

(x -x 1)(x -x 2) +(y -y 1)(y -y 2) +λ[(x -x 1)(y 1-y 2) -(y -y 1)(x 1-x 2)]=0 ⇔(x -x 1)(x -x 2) +(y -y 1)(y -y 2) +λ(ax +by +c ) =0, 其中ax +by +c =0是直线AB 的方程,λ是待定的系数．

(2)过直线l :Ax +By +C =0与圆C :x 2+y 2+Dx +Ey +F =0的交点的圆系方程是x 2+y 2+Dx +Ey +F +λ(Ax +By +C ) =0,λ是待定的系数．

(3)过圆C 1:x 2+y 2+D 1x +E 1y +F 1=0与圆C 2:x 2+y 2+D 2x +E 2y +F 2=0的交点的圆系方程是x 2+y 2+D 1x +E 1y +F 1+λ(x 2+y 2+D 2x +E 2y +F 2) =0,λ是待定的系数．

特别地，当λ=-1时，x 2+y 2+D 1x +E 1y +F 1+λ(x 2+y 2+D 2x +E 2y +F 2) =0就是(D 1-D 2) x +(E 1-E 2) y +(F 1-F 2) =0表示：

①当两圆相交时，为公共弦所在的直线方程；

②向两圆所引切线长相等的点的轨迹（直线）方程，有的称这条直线为根轴； 2、点与圆的位置关系：点P (x 0, y 0) 与圆(x -a ) 2+(y -b ) 2=r 2的位置关系有三种

若d =d >r ⇔点P 在圆外；

d =r ⇔点P 在圆上；

d

直线Ax +By +C =0与圆(x -a ) 2+(y -b ) 2=r 2的位置关系有三种(d =

Aa +Bb +C A +B

2

2

):

d >r ⇔相离⇔∆0.

4、两圆位置关系的判定方法:设两圆圆心分别为O 1, O 2半径分别为r 1, r 2，

O 1O 2=d

d >r 1＋r 2⇔外离⇔4条公切线； d ＝r 1＋r 2⇔外切⇔3条公切线； r 1-r 2

r 2-r 1+r5、圆的切线方程及切线长公式 (1)已知圆x 2+y 2+Dx +Ey +F =0．

①若已知切点(x 0, y 0) 在圆上，则切线只有一条，其方程是

D (x 0+x ) E (y 0+y )

++F =0. 22

D (x 0+x ) E (y 0+y )

当(x 0, y 0) 圆外时, x 0x +y 0y +++F =0表示过两个切

22 x 0x +y 0y +

点的切点弦方程．求切点弦方程，还可以通过连心线为直径的圆与原圆的公共弦确定.

②过圆外一点的切线方程可设为y -y 0=k (x -x 0) ，再利用相切条件求k ，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y 轴的切线．

③斜率为k 的切线方程可设为y =kx +b ，再利用相切条件求b ，必有两条切线．

(2)已知圆(x -a ) 2+(y -b ) 2=r 2的切线方程．

①若P(x 0, y 0) 是圆(x -a ) 2+(y -b ) 2=r 2上的点，则过点P(x 0, y 0) 的切线方程为(x 0-a )(x -a ) +(y 0-b )(y -b ) =r 2. 特别地，若a =0; b =0，切线方程为

x 0x +y 0y =r 2；

若P(x 0, y 0) 是圆(x -a ) 2+(y -b ) 2=r 2外一点，由P(x 0, y 0) 向圆引两条切线，切点分别为A ，B 则直线AB 的方程为(x 0-a )(x -a ) +(y 0-b )(y -b ) =r 2. 特别地，若a =0; b =0，xx 0+yy 0=r 2

②圆x 2+y 2=r 2，斜率为k

的圆的切线方程为y =kx ±(3) 过圆x 2+y 2+Dx +Ey +F =0外一点(x 0, y

0) 的切线长为

l =

17.4、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容： （1）给出直线的方向向量u =(1, k )或u =(m , n )；

（2）给出OA +OB 与AB 相交，等于已知OA +OB 过AB 的中点； 在∆ABC 中，给出AD =

1

AB +AC )，则AD 是∆ABC 中BC 边的中线； (2

（3）给出PM +PN =0，等于已知P 是MN 的中点；

（4）给出AP +AQ =λ(BP +BQ )，等于已知A , B 与PQ 的中点三点共线；

（5）给出以下情形之一：①AB ||AC ；②存在实数λ, 使=λ；

③若存在实数α, β, 且α+β=1, ，使OC =αOA +βOB 等于已知A , B , C 三点共线. （6）给出OP =

OA +λOB 1+λ

，等于已知P 是AB 的定比分点，λ为定比，即

AP =λPB

（7）给出MA ⋅MB =0，等于已知MA ⊥MB ，即∠AMB 是直角，给出

MA ⋅MB =m 0，等于已知∠AMB 是

锐角；

MA MB

（8）给出λ(+) =MP ，等于已知MP 是∠AMB 的平分线；

MA MB

（9）在平行四边形ABCD 中，给出(AB +AD ) ⋅(AB -AD ) =0，等于已知ABCD 是菱形；

（10）在平行四边形ABCD 中，给出|AB +AD |=|AB -AD |，等于已知ABCD 是矩形；

（11）设A (x 1, y 1), B (x 2, y 2) ，S ∆AOB =

S ∆ABC

12

x A y B -

x B y A .

1 =|AB ||AC |sin A

2

∆BOC

（12）O 为∆ABC 内一点，则S

OA +S ∆AOC OB +S ∆AOB OC =0；

AB AC +) (λ∈R +) ，（13）在∆ABC 中，给出OP =OA +λ(则通过∆ABC 的

|AB |

|AC |

内心；

17.5、解题规律盘点 1、点 (1)交点

①直线与圆锥曲线交于不同的两点：直线与二次曲线联立，当二次项系数不

⎧∆>0⎧∆>0

⎪⎪

为0时，⎨x 1+x 2= ，x =my +b 与二次曲线联立，⎨y 1+y 2= ；

⎪x ⋅x = ⎪y ⋅y = ⎩12⎩12

⎧二次项系数不等于0②直线与圆锥曲线相切：直线与二次曲线联立， ⎨

∆=0⎩

③直线与二次曲线有一个公共点：

⎧直线l

⎨双曲线⇒二次项系数为⎩

0，表示平行于渐近线的两条直线；二次项系数为0，

⎧直线l

△=0 ⎨ ⇒二次项系数为0，表示平行于对称轴的一条直线；二次曲线

⎩抛物线

不为0，△=0

(2)定点处理思路；

x 2y 2

(3)①设参数方程；椭圆2+2=1(a >b >0) 的参数方程是：

a b ⎧x =a cos θ

(θ为参数）； ⎨

y =b sin θ⎩

⎧x =a +r cos θ

(θ为参数）圆(x -a ) 2+(x -b ) 2=r 2的参数方程：⎨

⎩y =b +r sin θ

2y 0

②抛物线y =2px (p ≠0) 上的动点可设为：P (, y 0) 或P (2pt 2, 2pt ) 或

2p

2

2

P (x 0, y 0) ，其中y 0=2px 0，以简化计算.

2、直线

(1)设直线方程分斜率k 存在、如果什么信息也没有：k 不存在两种情况讨论。讨论斜率不存在情形，当斜率存在时，往往设为斜截式：y =kx +b ；

巧设直线方程x -x 0=k (y -y 0) 回避讨论及运算等问题

当直线过定点(x 0, y 0) 时，若设成y -y 0=k (x -x 0) 有时会出现下列情况： (i)容易忽视斜率不存在的情形；(ii)运算较繁，有时还会陷入僵局. (2)过x 轴上一点(m ,0) 的直线一般设为x =ty +m 可以避免对斜率是否存在的讨论

(3)直线的方向向量(m , λ) ⇒

⎧m =0,(0,λ), 斜率不存在

⎪

⎨m ≠0,(1,λ), 斜率λ

⎪m m ⎩

(4)两解问题：

3、角 (1)余弦定理; (2)到角公式: (3)向量的夹角公式 4、直线与圆锥曲线

(1)直线与圆锥曲线问题解法：

1. 直接法（通法）：联立直线与圆锥曲线方程，构造一元二次方程求解. 【运算规律】：直线与圆锥曲线位置关系运算程式

(1)已知曲线

2

2

2

2

x a

22

±

y b

2

22

=1(Ax +By =1) 与直线

y =kx +m 方程联立得：

2

2

(b ±k a ) x -2mka x ±a m -a b =0

2

2

2

2

((A +Ba 2) x 2-2Bmkx +Bm 2-1=0)

【注意】：当曲线为双曲线时，要对(b 2-k 2a 2) 与0进行比较.

∆=(-2mka ) -4(b +k a )(a m -a b ) =4a b -4b a m +4a b

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

4

2

2

2

4

2

由根与系数关系知：x 1+x 2=

2mka

2

2

22

b +k a

; x 1x 2=

a m -a b b +k a

2

2

2

2222

【后话】:联立直线与圆锥曲线方程，构造一元二次方程求解时，注意以下问题：①联立的关于“x ”还是关于“y ”的一元二次方程？②二次项系数系数为0的情况讨论了吗？③直线斜率不存在时考虑了吗？④判别式验证了吗？

2. 设而不求（代点相减法）——处理弦中点与直线斜率问题 步骤如下：

x 2y 2已知曲线2±2=1(a , b >0)，①设点A (x 1, y 1) 、B (x 2, y 2) 中点为M (x 0, y 0) ，a b

②作差得k AB k AB ＝2p =y 1+y 2y 1-y 2b 2x 0== ；k AB k OM = 2；对抛物线y 2=2px (p ≠0) 有x 1-x 2a y 0p y 0.

【细节盘点】

*1.用直线和圆锥曲线方程消元得二次方程后，注意用判别式、韦达定理、弦长公式；注意对参数分类讨论和数形结合、设而不求思想的运用；注意焦点弦可用焦半径公式，其它用弦长公式.

*2.在直线与圆锥曲线的位置关系问题中，常与“弦”相关，“平行弦”问题

的关键是“斜率”、“中点弦”问题关键是“韦达定理”或“小小直角三角形”或“点差法”、“长度(弦长)”问题关键是长度(弦长) 公式或“小小直角三角形”.

*3. 在直线与圆锥曲线的位置关系问题中，涉及到“交点”时，转化为函

数有解问题；先验证因所设直线斜率存在，造成交点漏解情况，接着联立方程组，然后考虑消元建立关于x 的方程还是y 的方程，接着讨论方程二次项系数为零的情况，再对二次方程判别式进行分析，即∆=0时，直线与曲线相切，……

*4.求解直线与圆锥曲线的“弦长”、“交点”问题时，必要条件（注意判别

式失控情况）是他们构成的方程组有实数解，当出现一元二次方程时，务必先有“∆≥0”. 求解直线与圆锥曲线的其它问题时，如涉及到二次方程问题，必须优先考虑“二次项系数”与“判别式”问题.

*5.解决直线与圆的关系问题时，要充分发挥圆的平面几何性质的作用

(如半径、半弦长、弦心距构成直角三角形，切线长定理、割线定理、弦切角定理等等).

*6.韦达定理在解几中的应用：①求弦长； ②判定曲线交点的个数； ③

求弦中点坐标；④求曲线的方程.

(2)直线与圆锥曲线相交的弦长公式

:

AB =

或AB ==|x 1-x 2|

=|y 1-

y 2|=|AB |=(1+112)(y -y ) =+(y 1+y 2) 2-4y 1y 2 2122k k

【注】：弦端点A (x 1, y 1), B (x 2, y 2) ，由方程{y =kx +b 消去y 得到F (x , y ) =0

ax 2+bx +c =0，∆>0, α为直线AB 的倾斜角，k

为直线的斜率，

|x 1-x 2|=

(3)抛物线的切线方程

①抛物线y 2=2px 上一点P (x 0, y 0) 处的切线方程是y 0y =p (x +x 0) .

②过抛物线y 2=2px 外一点P (x 0, y 0) 所引两条切线的切点弦方程是

y 0y =p (x +x 0) .

③抛物线y 2=2px (p >0) 与直线Ax +By +C =0相切的条件是pB 2=2AC .

5、几何定值、极值问题

几何极值问题实际上就是以几何条件出现的极值问题，通常运用几何中的有关不等式和定理解决，有时运用“对角”变换及局部调整法，有时运用三角方法，如有关三角函数性质、正弦定理、三角形面积公式等转化为三角极值问题解决. 有关面积与周长的极值问题除了运用有关面积的几何知识外，常常需要用如下结论：

①周长一定的三角形中，以正三角形的面积最大；

②周长一定的矩形中，以正方形面积最大；

③面积一定的三角形中，以正三角形的周长最小；

④周长一定的平面曲线中，圆所围成的面积最大；

⑤在面积一定的闭曲线中，圆的周长最小；

⑥在边长分别相等的多边形中，以圆内接多边形的面积最大；

⑦在等周长的边形中，以圆内接多边形的面积最大；

⑧在面积一定的边形中，正边形的周长最小.

几何定值问题主要是研究和解决变动的图形中某些几何元素的几何量保持

不变，或几何元素的北欧谐几何性质或位置保持不变等问题.

常见的几何定值中的定量问题为定角、定长（线段长、周长、距离之和等）、定比（线段比、面积比）、定积（面积、线段积）等.

常见的几何定值中的定位问题为过定点、过定直线等.

几何定值问题可以分为两类：一类是绝对的定值问题，即需要证明的定值为一确定的常数. 这种定值为所给图形的位置、大小、形状无关；另一类是相对定值问题，即要证明的定值与题设图形中的某些定量有关，这种定值是随题设图形的位置、大小和形状的变化而改变的，因此，只有相对的意义，也就是证明题推断的几何量可以用题设已知量的某种确定的关系来表示.

解决定值问题常用的处理思路和方法：

（1）利用综合法证明时，需要改变题目的形式，把一般定值题转化为特殊情况，因此，常作辅助图形；其次要明确图形中哪些元素是固定元素，哪些量是定量，分析问题时要围绕着固定元素和定量进行，把定值固定在已知量上；

（2）利用参数法证明时，要根据题设的条件，选取适当的参数，然后将所要证明的定值用参数表示出来，最后消去参数，便求得用常量表示的定值；

（3）利用计算法证明时，通常借助于正、余弦定理或坐标法将有关量用某些特定的量表示出来，再通过计算证明所求的式子的值为定值；

（4）综合运用几何、代数、三角知识证题.

6、求轨迹方程的常用方法：

⑴直接法：直接通过建立x 、y 之间的关系，构成F (x , y ) 0，是求轨迹的最基本的方法.

⑵待定系数法：可先根据条件设所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数，代回所列的方程即可.

⑶代入法(相关点法或转移法).

⑷定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义，则可由曲线的定义直接写出方程.

⑸交轨法(参数法) ：当动点P (x , y ) 坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将x 、y 均用一中间变量(参数) 表示，得参数方程，再消

去参数得普通方程.

7、定义解题

①椭圆：第一定义：平面上一动点P 到平面上两个定点F 1、F 2的距离和为定值，且|PF1|+|PF2|>|F1F 2|,则P 点轨迹为椭圆。

②双曲线：||PF1|-|PF2||=定值1：双曲线

d