高一下学情分析(一)试卷

2013~2014学年度第二学期学情分析（一）

高 一 数 学 2014.03

（满分：160分； 考试时间：120分钟）

一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分. 请把答案填写在答卷相应位置上） ．．．．．．．1．cos 15cos 75+sin 15sin 75= 2．已知sin α+cos α=

1

，则sin 2α= ▲ ． 3

3．若sin α=-

4π

，α是第三象限的角，则sin(α+) = ▲ ． 54

4．在∆ABC 中，sin A :sin B :sin C =2:3:4，那么cos C = ▲ ．

5．tan 19+tan 26+tan 19⋅tan 26= ▲ ．

6．在∆ABC 中，若A =450, a =2, B =600，则b =

7．已知锐角∆ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，且tan B =则∠B = ▲ ．

8．已知∆ABC 中，AB =6, ∠A =30, ∠B =120，则∆ABC 的面积为．

9．在∆ABC 中，B =2A ，角C 的平分线CD 把三角形面积分成两部分（D 在AB 上），且

ac

，

a 2+c 2-b 2

S ∆BCD 2

=，则cos A = ▲ ． S ∆ACD 3

2

2

10．在∆ABC 中，tan A ⋅sin B =tan B ⋅sin A ，则∆ABC 的形状为 ▲ 三角形．

11．函数y =sin x +cos x +sin x cos x , x ∈R 的值域为 ▲ ． 12

．已知α∈(0,

π

π7β∈(π),sin β=α+β) =，则cos α= ▲ ． 229

13．如图，

甲船以每小时乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A 1处时，乙船位于甲船的北偏西105方向的B 1处，此时两船相距20海里，当

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甲船航行20分钟到达A 2处时，乙船航行到甲船的北偏西120方向的B 2处，此时两船相

距 ▲ 海里？

A

2

A

1

14．在∆ABC 中，2B =A +C , AC =3，则AB +2BC 的最大值为 ▲ ．

二、解答题：（本大题共6小题，共计90分. 请在答卷指定区域内作答，解答时应写出文字．．．．．．．．．说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分14分）

已知函数f (x ) =cos 4x -2sin x cos x -sin 4x ． （1）求函数f (x ) 单调减区间；

（2）若x ∈[0,

π

2

，求f (x ) 的最大值和最小值．

16．（本小题满分14分）

设∆ABC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，且3b +3c -3a =42bc ．

2

2

2

2sin(A +sin(B +C +)

的值． （1）求sin A 的值； （2）求

1-cos 2A

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ππ

17．（本小题满分14分）

在∆ABC 中，∠A , ∠B , ∠C 所对的边分别是a , b , c ． （1）用余弦定理证明：当∠C 为钝角时，a +b

（2）当钝角∆ABC 的三边a , b , c 是三个连续整数时，求∆ABC 外接圆的半径．

18．（本小题满分16分）

已知函数f (x ) =a sin x ⋅cos x -3a cos x +

22

2

2

3

a +b (a >0) ． 2

（1）若x ∈R ，求函数f (x ) 的最小正周期及图像的对称轴方程； （2）设x ∈[0,

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π

2

]，f (x ) 的最小值是-2，最大值是，求实数a , b 的值．

19．（本小题满分16分）

设∆ABC 是锐角三角形，a , b , c 分别是内角A , B , C 所对边长，并且

⎛π⎫⎛π⎫

sin 2A =sin +B ⎪sin -B ⎪+sin 2B ．

⎝3⎭⎝3⎭

（1）求角A 的值；

（2）若⋅=12, a =27，求b , c （其中b

20．（本小题满分16分）

如图，∆ABC 为一个等腰三角形形状的空地，腰CA 的长为3（千米），底AB 的长为4（千米）．现决定在该空地内筑一条笔直的小路EF (宽度不计) ，将该空地分成一个四边形和一个三角形，设分成的四边形和三角形的周长相等、面积分别为S 1和S 2. （1）若小路一端E 为AC 的中点，求此时小路的长度； （2）求

S 1

的最小值． S 2

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2013~2014学年度第二学期学情分析（一）

高 一 数 学 （参考答案） 2014.03

一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分. ）

-81

1． ； 2． - 3

10 ；

92

4． -

1

51 6

4

30

7． 60

； 8 ； 9． ；

4

122

+2]； 12 ； 23

10． 等腰或直角 ； 11． [-1,

13

． 14

． 〖详解〗14．解：因为B ＝60°，A ＋B ＋C ＝180°，所以A ＋C ＝120°，

AB BC AC 3

2，所以AB ＝2sin C ，BC ＝2sin A ．

sin C sin A sin B sin60°

所以AB ＋2BC ＝2sin C ＋4sin A ＝2sin(120°－A ) ＋4sin A ＝2sin(60°＋A ) ＋4sin A 3cos A ＋5sin A ＝27sin(A ＋φ) ，

35

(其中，φ为辅助角且sin φ＝，cos φ)

77

所以AB ＋2BC 的最大值为7．

二、解答题：（本大题共6小题，共计90分. ） 15

．（本小题满分14分） 解：f (x ) =x -，

π

4

（1) 减区间为(-

π

8

+k π,

3π

+k π), k ∈Z ； 8

（2）最大值为1，最小值为-2． 16. （本小题满分14分） 解：（1）由余弦定理得cos A =

122

，sin A =；

33

-(cos2A -sin 2A ) 7

=- （2）原式=. 2

2sin A 2

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解：（1）当∠C 为钝角时，cos C

22222

由余弦定理得：c =a +b -2ab ⋅cos C >a +b ，即：a +b

2

2

2

（2）设∆ABC 的三边分别为n -1, n , n +1(n ≥2, n ∈Z )，

∆ABC 是钝角三角形，不妨设∠C 为钝角，

由（1）得(n -1)+n 2

2

2

n ≥2, n ∈Z , ∴n =2, n =3，当n =2时，不能构成三角形，舍去，

当n =3时，∆ABC 三边长分别为2, 3, 4，

22+32-421此时，cos C =， =-⇒sin C =

2⨯2⨯344

∴∆ABC 外接圆的半径R =

c

=2sin C

42⨯

4

=

8． 15

18. （本小题满分16分）

解：（1）f (x ) =a (sinx ⋅cos x -3cos x +

2

) +b 2

=a sin 2x -3⨯

⎛1 2⎝1+cos 2x ⎫π⎫

⎪+b =a sin ⎛+2x - ⎪+b ⎪22⎭3⎭⎝

函数f (x )的最小正周期T = 当sin 2x -

2π

=π． 2

⎛⎝

π⎫

⎪=±1时，得到对称轴方程，即2x -=k π+，(k ∈Z ) 3⎭32

k π5π

+(k ∈Z ) ； 212

ππ

∴函数f (x )的图象的对称轴方程为：x = （2）f (x ) =a sin(2x -

π

⎡π⎤

) +b ，∵x ∈⎢0, ⎥，∴2x ∈[0, π]， 3⎣2⎦

∴2x -

π

π⎫⎡⎤⎛⎡π2π⎤

sin 2x -, 1⎥ ∈⎢-, ∴ ⎪∈⎢-⎥3⎭⎣23⎣33⎦⎝⎦

3

a +b =-2，a +b =3 所以，a =2, b =3-2． 2

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∵a >0， ∴-

解：（1） sin 2A =sin

⎛π⎫⎛π⎫

+B ⎪sin -B ⎪+sin 2B ⎝3⎭⎝3⎭

∴sin 2A =(∴sin 2A =

131

cos B +sin B )(cos B -sin B ) +sin 2B 2222

313cos 2B -sin 2B +sin 2B = 444

在锐角∆ABC 中，∴sin A =

π，故得A =．

32

（2）∙=cb cos A =cb cos

π

3

=12，得bc =24 ①

又a =b +c -2bc cos

222

π

3

=(b +c ) 2-3bc =28，得b +c =10 ②

由b

20．（本小题满分16分）

解：（1）∵ E 为AC 中点，由周长相等易判断知：点F 不在BC 上． 则点F 在AB 上，所以，AE ＋AF ＝3－AE ＋4－AF ＋3，

72

∴ AE ＋AF ＝5， ∴ AF ＜4，在△ABC 中，由余弦定理得cos A ＝

23

94937215

在△AEF 中，EF 2＝AE 2＋AF 2－2AE ·AF cos A ＝－，

442232

3030

∴ EF ＝． (千米) ．

22

（2）①若小道的端点E 、F 点都在两腰上，如右图，设CE ＝x ，

CF ＝y ，则x ＋y ＝5，

1

·CB sin C 2S S △CAB －S △CEF S 9

＝＝－1＝－1＝S 2S △CEF S △CEF 1xy

·CF sin C 2

－1，

2552255

因为xy =x (5-x ) =-(x -+，所以当x ＝y ＝时，xy 取最大值，

2424

S 11

S 225

②若小道的端点E 、F 分别在一腰(不妨设腰AC ) 上和底上，设AE ＝x ，AF ＝y ，则x ＋y ＝5，

S S △ABC －S △AEF S 125S 23

－11，当x ＝y ＝ S 2S △AEF S △AEF xy 2S 225

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S 11

综上所述，

S 225答：（1）此时小路的长度为30S 11

千米； （2最小值是 2高一数学学情分析（一）S 225

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