矩阵乘法的来源和意义

第１３卷

２ＯＯ

第４期

８月

贵州教育学院学报

ＪｏＵＲＮＡＬＯＦＧＵＩＺＨｏＵＥＤＵＣＡＴＩＯＮＡＬＣ（）ＬＬＥ（ｊＥ

Ｖ０１．１３．Ｎｏ．ｄＡｕｇ．

２０（）２

２年

矩阵乘法的来源和意义

李长明

（贵州教育学院。贵州贵阳

５５００（）３）

摘要：本文依据矩阵的乘法规则探寻出它的实际意义。再联系理论上的价值．揭示ｒ矩阵乘法的必要性。关键词：矩阵；乘法；产量矩阵；原料矩阵；线性方程组；旋转变换中图分类号：０２４１．６

文献标识码：Ｃ

文章编号：１００２—６９８３（２０（）２）０４一（）０１３一（）３

Ｓｏｕｒｃｅａｎｄｍｅａｎｉｎｇｏｆ

ＭａｔｒｉｘＭｕｌｔｉｐｌｉｃａｔｉｏｎ

Ｉ。ｌＣｈａｎｇ—ｍｉｎｇ

（ＧｕｊｚｈｏｕＥｄｕｃａｔｉｏｎＣｏｌｌｅｇｅ．Ｇｕｉｙａｎｇ・Ｇｕｉｚｈｏｌ，５５０００２．Ｃｈｉｎａ）

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｂｙｃｅｓｓｉｔｙ

ｍｅａｎｓｏｆｔｈｅｒｕｌｅｓａｎｄｔｈｅｏｒｅｔｉｃａＩｖａｌｕｅｏｆｎｌａｔｒｉｘｎｌｕｌｔｉｐｌｉｃａｔｉｏｎ．ｔｈＰｐｒａｃｔｉｃａｌｍｅａｎｉｎｇａｎｄ

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ｔｉｏｎ

ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ

矩阵是线性代数的一个主要内容，又是解决众多问题的有力工具。因此．深入理解矩阵运算的来龙去脉，对学好线性代数便会起到极其有益的作用。

然而，在矩阵的运算中，矩阵的加法，数与矩阵之积，都与实数或向量中相应的运算较为一致，因而易于接受，便于掌握。唯独矩阵的乘法。则与学过的各种乘法大相径庭，相差甚殊。不仅视学者感到莫名其妙，难以接受，甚至学完这门课程仍大惑不解而心存疑窦。

有鉴于此，本文试图以具体实例说明这种“奇异”的乘法，并非空穴来风、无源之水．而是有它必然产生的缘由，以此加深我们的理解。

一个实际问题

设Ａ。，Ａ：，……Ａ。是，咒个厂，它们都生产着行种产品Ｂ．，Ｂ：，……既。而以ｊ厂生产Ｂｊ的年产量为“”ｉ一１．２。…，，挖；．ｊ一１，２，…，，１．于是，对照每个工厂各种产品年产量的统计表（左）．便得相应的产量矩阵＾（右）。

。＿‘‘－。●。…●●●‘●。。。●●。。●●●●●●●‘‘‘。‘’。‘’。●’●●●‘‘。‘。。’。’●●●●●‘＿‘。。’。。－●●’●●●

；ＢＩ

Ｂ２

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Ｂ，

……

●

●

●

Ｂ。

年产量阵

“１ｌ

“１２

ＡｌＡ２

口ｌｌ“１２以ｌＪ“ｌ＂

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Ａ。

以小ｌ

“卅２

‰

Ⅲ

如果第二年各厂各种产品的产量皆是头一年的Ａ倍，这便是数乘矩阵ＡＡ的实际意义；如果计算各厂各种产量两年的总产量，相应的便是矩阵的加法。

收稿日期；２００１—１２一ｚｏ

・１４・

贵州教育学院学报第１３卷

为看出矩阵乘法的实际意义，还应给出与各种产品所需原料的矩阵。

设产品Ｂｔ，Ｂｚ．…，Ｂ。皆需户种原料Ｃ，，Ｃｚ，…Ｃ，，而生产一件既所需原料Ｃ，的数量为６¨于是，统计各种产品每件所需的原料数表（左），便得单件原料矩阵（右）。

Ｃ・Ｃｚ…Ｇ…ｑ

。●’’’●●’●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●‘＿‘●●。‘●●。●‘。。‘●‘。。‘●●●。●’’●●●●●●●●●●●●●●●●●

单件原料阵

Ｂｌ６１ｌ６１２

…

６１』

…

６ｌｐ

●

●

●

２

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户

Ⅳ

咖：伽；∽

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现在需要计算各厂每年所需各种原料的总数，以便提前做好充分的准备。

设Ａｉ厂一年所需原料Ｃ，的总数为ｆ们则各厂一年所需各种原料总数的统计表（左），便得～年原料总数矩阵。

・・・・・－・・二－・－・・－・－－－－・・－－・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

ＣｌＣ２

…

Ａｌ；ｆｌｌ

ｃ１２

…

原料总数阵

‘１１１

ｃ－１２

…ｆｌＪＡ２

弛

印

Ｃ２ｌ

ｃ．２２

…

ｆ２Ｊ

；

Ｃ＝

Ａｉ

坨

咖

ｃｔ２

…ｃｉｊ

；

ｃ；ｌ

ｃｌｎ

ｃ帕

…

ｃｔＨＪ

Ａ。

显然，知道各厂各种产品的产量（Ａ）和每件产品所需的各种原料数（Ｂ），则各厂所需的各种原料的总数（Ｃ）也随么丽定，现在的问题是：如何从已知的Ａ、Ｂ，计算出欲求的Ｃ？

计算Ｃ．实际上就是计算各个％（ｉ＝１，２，…，，”；＿『一１，２，…，户），为清楚起见，算ｃ’，，之前，先将与之有关的两组敬列表如下

产品

类型８ｌＢ２

…Ｂ．

…Ｂ。

年

产

量

“，ｌ口ｆ２…“仆

…以抽

Ａ的第ｉ行单件所需原料数

６ｌＪ６２』…

６ｕ…

６。Ｊ

８的第Ｊ列

对每件产品来说，一年所需总料数＝年产量×单件所需原料数

故有铲柏小锄＋．．巾也＝荟铂，．

这种“行乘列”的规则，可以简明地表为

第＿『列

６１，第歹列

６２，

舅蓐ｉ彳＝亍【ｎ。。口ｉ：…ｎ墙…ｎ“］

●

：

一

一ｗ；～ｖ

一第行

６¨

●

：

６。。

如此形成的矩阵乘法

年总料阵

年产量阵

单件原料阵

Ｃ

—

Ａ

×

曰

这正与前面计算某种产品一年所需原料总数而用到的公式

一年所需原料数＝年产量×单件所需原料数

第４期李长明：矩阵乘法的来源和意义

・１５・

是一致的，同时也体现出数学中的和谐之美。

了解这一实际背景，也有助于消除我们接受新事物的思想障碍，因为已经很熟悉的数的乘法，往往不自觉地给我们形成一个守旧的思维定势。

除了实际意义之外，矩阵的这种乘法。在线性代数的发展中，更显出它无比的优越性．毫不夸张地说：丰富的矩阵理论主要是建筑在这种乘法的基础上，这里仅就初学者的知｝只范围内，略举三点。１

线性方程组的简洁表示

．旧

＋“１２Ｊ’２＋…寸一“ｌ，，．ｒ。＝６Ｉ

厶１

“

Ⅱ”口¨＋“２２Ｊ’２＋…＋订２，．．ｒ，．＝＝６：

对线性方程组

若令

以ｆｌ

６２

ｎ

以船“助。６＝

●●●●●●●●●●●●●●●●●●

ｊ

“

ｎ心

Ҭ

…

＋“，，：．７：十…一Ｉ＿

：６，．

则此方程组借助矩阵乘法便可记为√Ｉ．ｒ一６．

如果矩阵Ａ是可逆的，则有¨，＝。小‘＾，这与普通的一）己一次方程“．ｒ一６，无论在形式上，或解法上都得以统一。

此外，在解析几何中，平面上的二：次曲线和空间中的二：次衄面，其方程的化简和分类，皆可借助矩阵的乘法得以简捷又统一的处理。

２接连变换的关系

在平面解析几何中，常用到坐标旋转，设Ｘ轴绕原点旋转ｄ（如图１），则新旧坐标的关系是：

ｆ丁７一ｚｃｏｓ口＋ｊ，ｓｉｎ口

Ｉｙ７一一．ｒｓｉｎ口＋ｙｃｏｓ口

即㈦一（三二嗣㈦即引一Ｉ“ｎ口ｃ…胍Ｊ

再鼽，轴旋转隗则又有睫篓嚣絮馨Ｘ

即㈤＝Ｅ嚣篇㈦

图１

连接两次旋转的结果，用矩阵的表示代换，则得

（朔＝（二三嚣；三二）（三：口三：：）㈦＝（二詈篡≥：：：０篡口ｃＯ

．ｕ

．ｍ州

—Ｓ

徜雄叶蚪∞舯啦吣

口

即≯（≤揣，竺翰㈣

这正与用原坐标变换式代换的结果是～致的。而用矩阵乘法表出，不但简便．而且适用面也广。

３消元过程运算化

在解线性方程组时，我们常用的三个同解变换（１）交换两个方程；

（２）用一个不为。的常数乘方程的两端；（３）将一方程乘以常量加在另一个方程上。

利用矩阵的乘法，它们皆可用矩阵的等式表之，既简明，又利于对这些变换作深入的研究．因一般的线性代数书中都有介绍，故不赘述。

最后，再解一个疑惑。

（下转第４２页）

・４２・贵州教育学院学报第１３卷

５

趣味性

趣味性总是同启发性联系在一起的。学习兴趣是学生对学习对象的一种力求认识或趋近的倾向。对

有兴趣的事物，学生总是想办法接近它、认识它、获得它。因此，“兴趣是最好的老师”。新教材的趣味性主要体现在以下方面：

１．教材的文字叙述阐明轻快，力求活泼，简洁、通俗，容易理解。

２．教材有相当数量的趣味性小实验。实验要有乡ｔ气息。生活趣味，要利用学生喜欢自己动手的特点，设计多种小实验，以此来诱发学生喜欢物理的心理。小实验的器材应随处可找、做法简便、效果明显、安全可靠。

３．教材样式新颖．装贴精美、图文并茂、色彩明快。插图力求简明、生动、美观。能说明问题，也可采用青少年喜闻乐见的漫画形式，要设计趣味盎然的插图、装帧也要美观实用，以便紧紧吸引住学生。

教材是教师施教的主要依据．也是学生获取知识、发展能力、培养品德的重要来源。因此对教材的编写、内容、载体的研究是当前课程改革的重要任务，其研究价值是很有实际意义的。

参

［２］阎金铎．中学物理教材概论［Ｍ］高教出版社．Ｊ

９９８．

考文献

［１］乔际平．初中物理教材的选择与分析［Ｍ］．高敷出版社．１９９８．

［３］中华人民共和国制定全日制义务教育．物理｛５１５程标准［Ｍ］．北京：北京师范大学出版社．２００１．

啦，ｊｋ，重寥ｊｋ啦—毫；｜啦｛－ｋ・霜ｔ妇—ｊｋ妇妇・●；｝—●ｋ业・重Ｐ血啦，ｋ—譬妇・重Ｐ・重｝・蛐ｔ・—ｋ业螺，■■妇，ｊｏｔ・重ｔ，ｊ０｝妇妇妇■｝，幽■—●ｋ业啦，●ｋ，ｊ‘ｔ妇妇妇・９ｋ。

（上接第１５页）

初学矩阵的同学，常常会问：为什么不像矩阵加法那样，也将矩阵的乘积规定为对应元素之积？即

６ｌＩ

６ｌ２６２ｚ

一～～

“ｌｌ易ｌＩ（。２１６２Ｉ

ｎ

Ｉ

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“

２

洒为

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ｋＩ

ｂ。２

～

钆ｂ～ｋ

“Ⅲ易。ｌ吼

”２

抽象地谈论运算，这样的规定未尝不可，因为它符合运算的定义，何况它还有与矩阵加法较为一致、保持交换律的优点。然而最关键的是，这种乘法既无实际意义又无任何理论上的效用，所以它有一些长处也毫无存在的价值。相反地，“行乘列”虽然较为复杂，又丧失了普通乘法的一些性质，然而，它广泛的实际应用和理论上的重要作用，使它在线性代数中不但生根发芽且繁花似锦，由此可见

实际中的应用和理论上的价值才是数学发展强大的生命力。

矩阵乘法的来源和意义

作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：

李长明

贵州教育学院,贵州,贵阳,550003

贵州教育学院学报

JOURNAL OF GUIZHOU EDUCATIONAL COLLEGE2002，13(4)0次

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然后，使用CUDA在GPU上设计和实现了三级BLAS库的核心函数GEMM（通用矩阵相乘）。在实现通用矩阵相乘时，需要考虑两种情况：一种是数据已经拷贝到GPU的显存中的情况。在Geforce GTX 260上，在数据已经拷贝到显存的前提下，算法峰值是65GFLOPS。而GTX 260的双精度峰值是67.068GFLOPS，因此双精度的实现效率达到了97%。另一种是数据没有拷贝到显存中的情况。在大规模矩阵乘法的计算中，数据不能够一次全部的拷贝到显存中。通过数据调度，本文的算法拷贝数据的时间不超过总时间的10%。

最后，使用CUDA在GPU上设计和实现了二级BLAS库的核心函数GEMV，即矩阵向量相乘。并且对转置和非转置的双精度版本进行了测试，实验结果表明，本节实现的转置形式在大规模输入的情况下比CUBLAS的实现要快上50%，而非转置形式的性能跟CUBLAS相当。本文中使用的方法对GPU上的高性能BLAS实现有重要的参考意义。

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第一章绪论部分阐述了选题的意义，介绍了模型预测控制、高性能计算领域的FPGA技术和并行计算技术等方面研究的重心和发展现状，并介绍了课题提出的背景与主要研究内容和任务。

第二章研究并提出了具有较低保守性的状态反馈鲁棒MPC改进设计方法；同时采用广义特征值优化和辅助矩阵变量方法进行动态输出反馈鲁棒MPC设计研究。进一步针对一类具有饱和执行器的不确定系统进行鲁棒模型预测控制器设计研究。

第三章分析了模型预测控制的整个计算过程，确定了其计算负担集中在双精度浮点矩阵乘法计算。根据该分析结果，研究并提出了一个基于FPGA的

稀疏矩阵乘法计算的特点，对该乘法器的稀疏矩阵乘法计算性能进行了优化，提高了稀疏矩阵乘法计算的性能。通过理论分析，讨论了该乘法器的性能与PE单元个数、乘法器工作频率和数据带宽之间的关系。

第四章研究并提出了用于模型预测控制计算的主从分布式多FPGA矩阵乘法并行计算系统及算法。该系统以上述并行矩阵乘法器为处理单元，采用RapidIO互连或以太网互连技术及星形互连拓扑结构组成，具有低通信开销、对系统硬件资源要求较低等优点。并根据模型预测控制的计算特点，研究并提出了适用于该计算的基于按行一维划分输出矩阵的并行算法。最后对整个系统的加速比、效率等并行计算性能指标进行了理论分析。

第五章针对前两章中的研究，分别对所提出的成果进行了仿真实验和系统原型实验。通过对稠密矩阵乘法、稀疏矩阵乘法以及MPC计算过程中产生的矩阵连乘法的实验，验证了该实现所取得的性能，并针对PEMFC模型预测控制实例，对MPC并行计算系统的构建进行了分析。 第六章总结了本论文的研究成果与创新点，并提出了本课题进一步研究的方向和任务。

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