互素理论与费马最后定理(繁体)

互素理論與費馬最後定理(A)

王瑞林

鎮賚縣交通局 吉林鎮賚(137300) Email:[email protected]

摘要: 本文以互素理論為工具，以二項式定理為平臺，證明了：p>3 為奇素數，方程

ppp

x+y=z 無兩兩互素的正整數解x,y,z, 亦即使用在有理整數系統內操作的方法證明了

費馬最後定理成立。

關鍵字：費馬最後定理，費馬方程，互素理論，二項式定理 中圖分類號：0156.4 文獻標識碼：

WANG Rui-lin

Coprime Theory and Fermat’s Last Theorem(A)

Communications Bureau of the county of Zhenlai Jilin Zhenlai of China (137300)

Email:[email protected]

Abstract: In this paper, taking coprime theory as tools, taking Binomial Theorem as a platform,

p

we have proved : For any odd prime p>3, the equation xp+y=zp has no solutions with x,y,z which are positive integers and coprime in pairs, i.e. in a way operating in the system of rational integers have proved Fermat’s Last Theorem true.

Key Words: Fermat’s Last Theorem, Fermat’s equation, Coprime theory, Binomial Theorem,

1. 引言

費馬最後定理即：對任何自然數 n>2, 方程 xn+y=zn 無非零整數解 x,y,z, 且問 題早已歸結到只需解決n=p>3為奇素數，x,y,z為兩兩互素之正整數之情形。要指出的是，第一，A．Wiles未能終結該定理之研究，(關於他的文章Modular elliptic curves and Fermat’s Last Theorem, Ann of Math 141 1995, 我同意Daniel J. Velleman的評論 Fermat’s Last Theorem and Hibert’s Program, The Mathematical Intelligencer, Vo.19 No. 19, No1. 1. 1997, )迄今，世界上許多數學家，仍在為找到一個可以被不同學派接受的，不涉嫌數學基礎之爭論之方法，給這個著名定理以真正義意上的證明，而努力工作。且無疑，最好是能找到一個初等方法；第二，直覺上，費馬方程之討論，應走二項式定理（而不是形式或意義上與之相距遙遠的橢圓曲線，模函數)，此路可行與否，該有個說法，這是對認識論負責。

本文正是走這條“直覺”之路。實踐表明，此路不僅可行，而且精彩。作者注意到，n為

nn

奇素數時，二項式定理可規範地簡化為(x+y)=xn+y+nxy(x+y)Ψ(n,x,y)，且可變形為

n

()

n

x+y=(x+y)(x+y)

n

n−1

−nxyΨ(n,x,y, 式中Ψ(n,x,y)為整數變數，因n而異。然後由互素

理論證出x+y,xy,Ψ(n,x,y) 三者兩兩互素。由此找到區別結構類型的理論根據，將討論先分為兩種情況，再化成三個模型，與歷史根本不同。分型，有數學家的自由。而，缺乏根據的分法，是看不清路線，走不到終點的。當n為奇合數時，Ψ(n,x,y)不是整數。

互素理論（作者指研究變數之間存在互素關係的理論，未曾見此提法）是本文的主要工具，出發點是變數在系統中之對立統一關係，即變數之間的互素關係和系統的可除性，哲學

designs)，是互素理論與函數理輪，包括整背景是唯物辯證法。整數變數有內部結構 (inner

函數理論，在出發點上的本質區別。關於因果律，互素理論著眼於互素因數之生滅，與函數

理論也根本不同（一個是脫胎換骨，涅槃, 一個是依賴，對應）。本文之方法對不定方程有普適性，對丟番圖方程（Diophantine equations）之可解性研究有重要意義，儘管稱希爾伯特第10問題已有結果。

本文獨立成文，雖然也列了個參考文獻，而那只是一般性歷史，與本文之證明無直接關係。本文屬於初等方法，與代數數論、解析數論、模函數、橢圓曲線及與之相關的算數－代數―幾何方法無關。本文也沒有使用“同餘”，“某種形式素數的存在性”，“無窮遞降法”，“分圓域”。所以，審查本文，不必看他人文章，也無需掌握數論研究之已有方法。

本文的每一步都是在求索n=p>3為奇素數時，費馬方程有兩兩互素之正整數解x,y,z之必要條件，最後因發現某兩個必要條件之間有矛盾而結局。所以，本文不談，也無需談充分條件。推理主要用一種形式的語句，即“只有Ａ為真，Ｂ才有可能為真。”。論述中使用了兩個可以免證的定理，即“若干個整數與一個分數之和一定不為整數。”及“兩個分數之和有可能為整數。”為節省，前者用俄文字母“Ж”，後者用俄文字母“Я”代替.

本文“整數”只指有理整數，“分數”只指不能化成整數之分數，未加說明的字母表整 數。文中所談“因數”，不涉及1 和 −1. 為簡捷，用 a∈M表a是M之因數，a,M為代數式。此外，再沒使用集合論之任何理論和符號。

2. 預備定理

定理1,2,3,4,5 為互素理論加法定理，6為乘法定理，7為二元p次型，5,6易證，證略。 定理1 u,v為整數，u,v=1, 有 u+v,uv=1. 證 我們考慮等式 u+v=w. 因

()()

(u,v)=1, 若(w,u)=t≠1, 除以 t, 左第二項化為分數，此式一定不能成立（Ж）；若(w,v)=t≠1, 除以t, 左第一項化為分數，此式亦一定不能成立（Ж）；顯然，只有(w,uv)=1,

此式才有可能成立（Я）。證畢。

定理2 u,k,v 為整數，u,v=1, 有 u+kv,v=1. 證 1. 若 u,k=1, 由

()()()

(u,v)=1 有 (u,kv)=1, 由定理1有 (u+kv,ukv)=1. 2. 若 (u,k)=t≠1, 令 u=at, k=bt, (a,b)=1, 於是 (u+kv,v)=1 化為 (t(a+bv),v)=1. 而由 (u,v)=1, u=at 有 (t,v)=1, 證出 (a+bv,v)=1 成立即可。由 (u,v)=1, u=at, (a,b)=1 有 (a,bv)=1, 由定理1有 (a+bv,abv)=1. 證畢。

n−ii

定理3 λ,δ,ki為整數，λ,δ=1, k0=kn=1, 有,λδ=1. kδiλ

i=0

證 kn=1時，為便於表述，將kn寫成 (−1)c, c為正整數。於是當k0=kn=1時有

()

Σ

n

n

Σkλ

i=0

n

i

n−i

δi=λn+k1λn−1δ+k2λn−2δ2+k3λn−3δ3+