2013年高三省实理科数学模拟试题

2013年省实高三理科数学热身试题

本试卷分为选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分。考试时间120分钟 注意事项：

1、 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如果需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

2、 非选择题必须用0.5毫米的黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相

应位置上; 如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液。

第一部分 选择题部分

一、选择题. 本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1、集合A ={-2, -1, 1, 2}， B ={y y =x 2, x ∈A }，则下列结论正确的是（ ） A ．A B ={1, 2}

B ．(C R A ) B =(-∞, 0]

D ．(C R B ) A ={-2, -1, 2}

C ．B (C R A )=[0, 1) (1, 2) (2, +∞)

2、已知复数z=a+i (a ∈R,i 为虚数单位) ，则下列是复数三象限的一个充分不必要条件的是（ ） A. a>0 B.a1

(2+3i )z 对应的点在复平面内的第

3-2i

3、学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为n 的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50,60)元的同学有30人，则n 的值为 A ．100 B. 1000

C ．90 D. 900

4、一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的 最长的侧棱长等于 A. 2 B. 2 C.

6 D.42

5、已知函数f (x )=sin ωx +a cos ωx ，直线y =

2与函

数f (x )的图象有无数个交点，在y 轴右边，这些交点的横坐标由小到大排列后构成一个公差为π的等差数列，若将函数f (x )的图象向右移动ϕ个单位后，所得图象关于原点成中心对称，则下列描述能成立的是（ ） Ａ．a =1,

ω=2, ϕ= B. a=－1, ω=2, ϕ=

π4π4

C. a=1, ω=2, ϕ=

ππ D. a=－1, ω=2, ϕ= 88

⎧x +y ≥0

⎪6、在平面直角坐标系中，不等式组⎨x -y ≥0, (a 为常数) 所表示的平面区域的面积是4，动点⎪x ≤a ⎩

（x ，y ）在该区域内，则x +2y 的最小值为 A ．6

D ．-4

（B ）

B ．-2

C ．0

7、已知F 1, F 2椭圆的两个焦点，满足MF 1⋅MF 2=0的点M 都在椭圆的内部，则椭圆的离

心率取值范围是( ) A.

⎛2⎫⎛2⎤⎛2⎤

⎪ B. , 1, 10, C.

2⎪ 2⎥ 2⎥ D. ⎝⎭⎝⎦⎝⎦⎛2⎫

0, ⎪ 2⎪ ⎝⎭

8、设(2x +

1n

) (n ∈N 且n ≥2) 展开式中所有项的二项式系数的和为a n , 展开式中含x n -4x

a 2a 3a

++ +n ，则T 20=（ ） b 2b 3b n 16019

(C) 215

(D)

项的系数为b n , 记T n -1=

(A)

80

21

(B)

385

第二部分 非选择题部分（110分）

二、填空题：满分30分．其中13~15题是选做题，考生只能选做二题.

9、高三（1）班共有56人，学号依次为1，2，3，┅，56，现用系统抽样的办法抽取一个容量为4的样本，已知学号为6，34，48的同学在样本中，那么还有一个同学的学号应为 20

10、如图，已知A (4, 0) 、B (0, 4) ，从点P (2, 0) 射出的光线经直线AB 反向后再射到直线OB 上， 最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过 的路程是_______

11、在区间[0,1]内任取两个实数x,y ，构成一对实数对(x,y),根据下面流程图： 若开始时输入的m 值为100，则根据概率学理论，从理论上来说，输出的n 的值为_____.

12、已知圆 x 2+y 2+2x -4y +1=0关于直线 2ax -by +2=0(a , b ∈R )对称，则的取值范围是__________

选做题部分，只选其中两题，若三题都做的，只记前两题分数

13. (参数方程和极坐标选做) 在极坐标系中, 点M(4,离d =_____________

14.(不等式选做) 设a,b,c 为正数，a+b+4c=1,则a ++2c 的最大值为15.(几何证明选做) 已知圆O 的半径为3，从圆O 外一点A 引切线AD ab -1b

π

) 到直线l :ρ(2cos θ+sin θ) =4的距3

（第15小题）

ABC ，圆心O 到AC 的距离为22，AB =3，则切线AD 的长为 _____

三、解答题，本大题6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16、（12分）已知{a n }为等比数列，{b n }为等差数列，其中a 2=b4,a 3=b2,a 4=b1，且a 1=64, 公比q ≠1 （Ⅰ）求a n ,b n ；

（Ⅱ）设c n =log2a n ，求数列{c n a n }的前n 项和T n 17、（本小题满分13分）

x x

，1），n ＝(cos ，cos 2x ) 。 4442π

-x ) 的值; （Ⅰ）若m •n =1, 求cos(3

（Ⅱ）记f(x)=m •n ，在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a,b,c ，且满足

（2a-c ）cosB=bcosC，求函数f(A)的取值范围。

已知向量m

18、（13分）已知点G 是△ABC 的重心，A （0，－1），B （0，1）. 在x 轴上有一点M ，满足||=||，

=λ(λ∈R ) .

（1）求点C 的轨迹E 的方程； （2）已知点N （，

2

2），平行于ON 的直线L 与点C 的轨迹交于A ，B 两点，求证：直线NA ，2

NB 与x 轴始终围成一个等腰三角形.

19、（14分）某厂生产一种仪器，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品. 根据经验知道，该厂生产这种仪器，次品率P 与日产量x （件）之间大体满足如下关系：⎧1

, (1≤x ≤c , x ∈N )⎪⎪96-x （其中c 为小于96的常数） P =⎨

⎪2, (x >c , x ∈N )⎪⎩3

注：次品率P =合格品.

次品数

，如P =0.1表示每生产10件产品，约有1件为次品，其余为

生产量

已知每生产一件合格的仪器可以盈利A 元，但每生产一件次品将亏损

A

元，故厂方希2

望定出合适的日产量.

（1）若某天该厂生产了该仪器300件，出现了不少次品，质检员想从中取出3件次品

进行分析（一件一件地取，取出后不放回，取出3件次品即停止），试求该质检员取了5件产品就刚好取得3件次品的概率（不用算出具体值，可用排列组合数表示）；

（2）当日产量为多少时，可获得最大利润？

20. （本题满分14分） 如图，四棱锥P -ABCD 中，

PA ⊥底面ABCD ，AB ∥CD ，AD =CD =1， ∠BAD =120°，PA

ACB =90°，M 是线段 PD 上的一点(不包括端点). （Ⅰ）求证：BC ⊥平面PAC ；

（Ⅱ）求二面角D -PC -A 的正切值；

（Ⅲ）试确定点M 的位置，使直线MA 与平面PCD 所成角θ的正弦值为.

5

21. （本题满分14分）已知函数f (x )=x -bx +ax ，点A s , f (s ), B t , f (t ).

3

2()()

（Ⅰ）若f (0)=f (3),且函数f (x ) 在x=0处取得极大值，求函数f(x)在(t , t +3) 上既能取到

极大值，又能取到极小值时，t 的取值范围； （Ⅱ）当a =0时，

f (x ) ⎡1⎫

+ln x +1≥0对任意的x ∈⎢, +∞⎪恒成立，求b 的取值范围； x ⎣2⎭

（Ⅲ）若m,n 是函数f(x)的两个零点，且0

取得极值， O 是坐标原点，证明：直线OA 与直线OB 不可能垂直.

2013年高三数学热身试题

班级 姓名 考号

18．

、 19 20、

21．解：

2013年高三理科数学模拟试题参考答案

第一部分 选择题部分

一、选择题. 本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1、答案：D 2、答案： C

(2+3i )z =-1+ai

3-2i

3、答案：A 10000×0.7 4、答案：B 其直观图如右图

5、答案：

C 由已知函数的周期为π

=

，∴f (x ) =6、答案：B 7、答案：D

x ±)

4

π

2n -2

8、答案：B a n =2n b n =C n 2

a n 8

用裂项=

b n n n -1

第二部分 非选择题部分（110分）

二、填空题：满分30分．其中13~15题是选做题，考生只能选做二题.

9

、20 10、11、75

12、(-∞, -1] [3, +∞) -2a -2b +2=0，则

ab -1

=a -1=a +1=a -1+1 b b a -1a -1

选做题部分，只选其中两题，若三题都做的，只记前两题分数

13.

2 化为直角坐标即可 5

14. 15.

a +b +2c ≤

AD2=3×5

1⎫

(a +b +4c )⎛1+1+ ⎪=

⎝

2⎭

2

（第15小题）

三、解答题，本大题6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16、（12分）解：（I ）依题意a 2=a 4+3(a 3-a 4), 即2a 4-3a 3+a 2=0

∴2a 1q 3-3a 1q 2+a 1q =0

„„„„2分

∴2q 2-3q +1=0⇒q =1或q = q ≠1

∴q =

1 2

1 2

„„„„4分

1

故a n =64⨯() n -1，bn=8+8×(n-1)=8n „„„„5分

2

1n -17-n

=7-n （II ）c n =log 2[64⨯() ]=log 22„„„„6分

2

1111⎫⎛

T n =64 6⨯0+5⨯1+4⨯2+ +(7-n )⨯n -1⎪----(1)

2222⎭⎝

1111⎛

2T n =64 6⨯-1+5⨯0+4⨯1+ (7-n )⨯n -2

2222⎝⎫

⎪----(2) ⎭

(2)-(1)得T n

⎛1⎫1⎫⎛11

()=64 12-++ +-7-n ⨯⎪ 0 n -2⎪n -1⎪22⎭2⎭⎝2⎝

n -1

⎛1⎫

∴T n =768+(n -5) ⎪

⎝2⎭

17、（本小题满分13分） 解：（I ）m •n

„„„„12分

x x x

cos +cos 2

444

=

x 1x 1+cos + 22222

x π1

=sin(+) +

262

∵m •n =1

x π1

∴sin(+) =┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分

262πx π

cos(x +) =1-2sin 2(+)

326

1

=

2

2ππ1

cos(-x ) =-cos(x +) =-┉┉┉┉┉┉┉6分

332

（II ）∵（2a-c ）cosB=bcosC

由正弦定理得(2sinA -sin C )cos B =sin B cos C ┉┉┉┉┉┉7分 ∴2sin AcosB -sin C cos B =sin B cos C

∴2sin A cos B =sin(B +C ) ∵A +B +C =π

∴sin(B +C ) =sin A ，且sin A ≠0

1π

∴cos B =, B =┉┉┉┉┉┉8分，又因为三角形为锐角三角形

23

ππ

∴

A π1

由（1）可知f(A)=sin(+) + ┉┉┉┉┉┉10分，

262

而

π

4

A π5πA π11++2+2+

1+2+2+2

, ）┉┉┉┉┉┉13分 24x y

18、解：（1）设C （x ，y ），则G (, ) . „„„„„„„„„„„„„„„„„„1分

33

x

GM =λ(λ∈R ), ∴GM //AB . 又M 是x 轴上一点, 则M (, 0). 又 ||=||，

3

故函数f(A)的取值范围是（

x 2x x 2222

∴() +(0+1) =(-x ) +y . 整理得+y 2=1(x ≠0). „„„„„„4分

333

⎧y =x +m , ⎪⎪3 （2）依题意直线L

的方程为y =消去y 整x +m , (m ≠

0)，联立方程组⎨2⎪x +y 2=1, ⎪⎩3

理得

2x 2+2mx +3(m 2-1) =0. （*）

直线l 和椭圆交于不同的两点, ∴∆=12m 2-8⨯3(m 2-1) >0. 即m 2

y 2-

k ==BN

y 1m , x 1⋅x 2=

3(m 2-1)

. 2

则

:k AN

∴k AN +k BN

y 1-y 2-

=⎛⎛ y 1-x 2+ y 2x 1=

x 1+m x 12+m x 2+x 1⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ =⎝

x 1x 2+m (

=

2x +x m (

12)⎭

=

=0

∴k 1+k 2=0, 故直线NA 、NB 与x 轴始终围成一个等腰三角形。„„„„„„„„„„13分

19、解：（1）依题意，当天该厂有

2

⨯300=200件次品，记事件“质检员取了5件产品后3

232C 4A 200A 100

---5分 A 中可能，故P （A ）=5

A 300

就取得3件次品为”A ，则事件A 表示在5次取仪器中前4次有2次取得正品，其余3次都取得次品，有C A

24

3200

A

2

100种取法，取法总数有5300

（2）当x >c , P =

212A

, 所以, 每天的盈利额T =xA -x ⋅=0 „„„„„6分

3323

1

, 所以, 每日生产的合格仪器约有⎛1-1⎫x 件, 次品约有

⎪96-x ⎝96-x ⎭

当1≤x ≤c 时, P =

⎤ „„„„7分 ⎛1⎫件, 故每天的盈利额1⎫3x ⎛⎛1⎫A ⎡

P = 1-xA - x ⋅=⎢x - ⎪x ⎥A ⎪⎪

296-x ⎦⎝96-x ⎭⎝96-x ⎭⎝96-x ⎭2⎣

⎧⎡3x ⎤x -综上, 日盈利额T （元）与日产量x （件）的函数关系为T =⎪⎢296-x ⎥A ,1≤x ≤c ．„8分

⎦⎨⎣⎪

, x >c ⎩0

当x >c 时, 每天的盈利额为0 ，当1≤x ≤c 时, T =⎡x -

⎢

⎣⎤ 3x

⎥A

296-x ⎦

令96-x =t , 则0

⎛1953(

96-t )⎤⎡144⎫147⎛195

T =⎢96-t -A =-t -A ≤-A =A >0 „„10分 ⎥ ⎪ 2t 2t 22⎝⎭⎣⎦⎝当且仅当t =144, 即t =12(即x =84) 时等号成立.

t

所以, ①当c ≥84时, T

max

=

147„„11A

2

分

②1≤c

t

t ∈(12,95)上单调递增(证明过程略) 所以, g (t )≥g (96-c ), 所以

⎛189c -2c 2⎫(当且⎛189c -2c 2⎫144⎫144⎤⎛195⎡195, 即T max = T = -t --(96-c )-A = ⎪A ⎪A >0⎪A ≤⎢⎥192-2c t ⎭96-c ⎦⎝⎭⎝2⎣2⎝192-2c ⎭

仅当x =c 时等号成立) „„12分 ．

综上, 若84≤c

20. 解:（Ⅰ）∵PA ⊥底面ABCD ，BC ⊂平面AC ，∴PA ⊥BC

∵∠ACB=90°，∴BC ⊥AC ，又PA ∩AC=A，∴BC ⊥平面PAC „„ （4分）

（Ⅱ）取CD 的中点E ，则AE ⊥CD ，∴AE ⊥AB ，又PA ⊥底面ABCD ，∴PA ⊥AE 建立如图所示空间直角坐标系，则 11，0）-，0）

，D

22

11

AP =，AC =,0) ，PD =-,

22

(6分)

易求n 1=-3,0) 为平面PAC 的一个法向量.

A （0，，0，0），P （0，0

，C

n 2=(2,0,1)

为平面PDC 的一个法向量

（9分）

n 1⋅n 2=∴

cos =|n 1|⋅|n 2|故二面角D-PC-A 的正切值为2. (10分) （Ⅲ）设M (x , y , z ) =m , 则

(x , y , z -3) =m (

31

，-，-3) , 22

解得点M (

131

（12分） m ，-m -3m ) , 即=(m ，-m 3-m )

2222

5m 2+3(1-m ) 2

=

1得m =1(不合题意舍去) 或m =

25

由sin θ=

所以当M 为PD 的中点时, 直线AM 与平面PCD 所成角的正弦值为

2

. （14分 5

21. 解：（Ⅰ）由已知f '(x ) =3x -2bx +a , 则 f '(0)=0，即a=0，又f(3)=27-9b+3a=0,得b=3, ∴f (x)=x -3x , ∴f '(x)=3x -6x

3

2

2

(3分)

∴f (x)在(2,+∞) 和(-∞,0) 上递增，在(0,2) 上递减

所以f (x ) 在0和2处分别达到极大和极小，由已知有

t 2，因而t 的取值范围是(-1,0) .

（Ⅱ）当a =0时，

f (x )

x

+ln x +1≥0即x 2-bx +ln x +1≥0 可化为x +ln x x +1

x ≥b ，记g (x ) =x +ln x x +1x (x ≥12

) ， 则g '(x ) =1+1-ln x 1x 2x 2--ln x

x 2=x 2

， 记m (x ) =x 2-ln x ，则m '(x ) =2x -

1

x

， ∴m (x ) 在(122

2) 上递减，在(22，+∞) 上递增.

∴m (x ) ≥m (

212

2) =2-ln 2

>0 从而g '(x ) >0, ∴g (x ) 在[1

2

, +∞) 上递增 因此g (x ) 1min =g () =

522-2ln 2≥b ，故b ≤5

2

-2ln 2. （Ⅲ）由已知f(x)=x(x-m)(x-n)

假设OA ⊥OB ，即OA ⋅OB =(s , f (s )) ⋅(t , f (t )) =st +f (s ) f (t ) =0 故，(s-m)(s-n)(t-m)(t-n)= -1

[st-(s+t)m+m2][st-(s+t)n+n2]= -1 （12分）

由s ，t 为f '(x)=0的两根可得， s +t =23(m +n ), st =

mn

3

(0

(m +n )2=(m -n )2+4mn =

9

mn

++4mn ≥236=12 即 m+n≥2，这与m+n

(5分)

(7分)

(10分)

(14分)