2015年江苏省苏州市中考数学试卷

2015年江苏省苏州市中考数学试卷

一、选择题（本大题共共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将选择题的答案用2B 铅笔涂在答题卡相应位置上）

1．（3分）2的相反数是（ ） A ．2

B ． C ．﹣2 D ．﹣

2．（3分）有一组数据：3，5，5，6，7，这组数据的众数为（ ） A ．3

B ．5

C ．6

D ．7

3．（3分）月球的半径约为1738000m ，1738000这个数用科学记数法可表示为（ ）

A ．1.738×106 B ．1.738×107 C ．0.1738×107 D．17.38×105 4．（3分）若m=A ．0＜m ＜1

×（﹣2），则有（ ）

D ．﹣3＜m ＜﹣2

B ．﹣1＜m ＜0 C ．﹣2＜m ＜﹣1

5．（3分）小明统计了他家今年5月份打电话的次数及通话时间，并列出了频数分布表：

则通话时间不超过15min 的频率为（ ） A ．0.1 B ．0.4 C ．0.5 D ．0.9

6．（3分）若点A （a ，b ）在反比例函数y=的图象上，则代数式ab ﹣4的值为（ ） A ．0

B ．﹣2 C ．2

D ．﹣6

7．（3分）如图，在△ABC 中，AB=AC，D 为BC 中点，∠BAD=35°，则∠C 的度数为（ ）

A ．35° B ．45° C ．55° D ．60°

8．（3分）若二次函数y=x2+bx 的图象的对称轴是经过点（2，0）且平行于y 轴的直线，则关于x 的方程x 2+bx=5的解为（ ） A ．x 1=0，x 2=4 B ．x 1=1，x 2=5 C ．x 1=1，x 2=﹣5

D ．x 1=﹣1，x 2=5

9．（3分）如图，AB 为⊙O 的切线，切点为B ，连接AO ，AO 与⊙O 交于点C ，BD 为⊙O 的直径，连接CD ．若∠A=30°，⊙O 的半径为2，则图中阴影部分的面积为（ ）

A ．﹣ B ．﹣2 C ．π

﹣ D ．﹣

10．（3分）如图，在一笔直的海岸线l 上有A 、B 两个观测站，AB=2km、从A 测得船C 在北偏东45°的方向，从B 测得船C 在北偏东22.5°的方向，则船C 离海岸线l 的距离（即CD 的长）为（ ）

A ．4km B．（2+

）km C ．

2km D ．（4﹣）km

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分，把答案直接填在答题卡相应位置上）

11．（3分）计算：a•a2=．

12．（3分）如图，直线a ∥b ，∠1=125°，则∠2的度数为

13．（3分）某学校“你最喜爱的球类运动”调查中，随机调查了若干名学生（每个学生分别选了一项球类运动），并根据调查结果绘制了如图所示的扇形统计图．已知其中最喜欢羽毛球的人数比最喜欢乒乓球的人数少6人，则该校被调查的学生总人数为 名．

14．（3分）分解因式：a 2﹣4b 2=

15．（3分）如图，转盘中8个扇形的面积都相等，任意转动转盘1次，当转盘停止转动时，指针指向大于6的数的概率为 ．

16．（3分）若a ﹣2b=3，则9﹣2a +4b 的值为．

17．（3分）如图，在△ABC 中，CD 是高，CE 是中线，CE=CB，点A 、D 关于点F 对称，过点F 作FG ∥CD ，交AC 边于点G ，连接GE ．若AC=18，BC=12，则△CEG 的周长为 ．

18．（3分）如图，四边形ABCD 为矩形，过点D 作对角线BD 的垂线，交BC 的

延长线于点E ，取BE 的中点F ，连接DF ，DF=4．设AB=x，AD=y，则x 2+（y ﹣4）

2

的值为 ．

三、解答题（本大题共10小题，满分76分按解答过程写在答题卡相应位置上，解答时应写出必要的计算过程，推演步骤或文字说明，作图时用2B 铅笔会黑色墨水签字笔） 19．（5分）计算：

+|﹣5|﹣（2﹣

）0． ． ）÷

，其中x=

﹣1．

20．（5分）解不等式组：

21．（6分）先化简，再求值：（1﹣

22．（6分）甲、乙两位同学同时为校文化艺术节制作彩旗．已知甲每小时比乙多做5面彩旗，甲做60面彩旗与乙做50面彩旗所用时间相等，问：甲、乙每小时各做多少面彩旗？

23．（8分）一个不透明的口袋中装有2个红球（记为红球1、红球2），1个白球、1个黑球，这些球除颜色外都相同，将球搅匀．

（1）从中任意摸出1个球，恰好摸到红球的概率是

（2）先从中任意摸出一个球，再从余下的3个球中任意摸出1个球，请用列举法（画树状图或列表），求两次都摸到红球的概率．

24．（8分）如图，在△ABC 中，AB=AC，分别以B 、C 为圆心，BC 长为半径在BC 下方画弧．设两弧交于点D ，与AB 、AC 的延长线分别交于点E 、F ，连接AD 、BD 、CD

（1）求证：AD 平分∠BAC ；

（2）若BC=6，∠BAC=50°，求弧DE 、弧DF 的长度之和（结果保留π）．

25．（8分）如图，已知函数y=（x ＞0）的图象经过点A 、B ，点B 的坐标为（2，2）．过点A 作AC ⊥x 轴，垂足为C ，过点B 作BD ⊥y 轴，垂足为D ，AC 与BD 交于点F ．一次函数y=ax+b 的图象经过点A 、D ，与x 轴的负半轴交于点E （1）若AC=OD ，求a 、b 的值； （2）若BC ∥AE ，求BC 的长．

26．（10分）如图，已知AD 是△ABC 的角平分线，⊙O 经过A 、B 、D 三点．过点B 作BE ∥AD ，交⊙O 于点E ，连接ED （1）求证：ED ∥AC ；

（2）若BD=2CD，设△EBD 的面积为S 1，△ADC 的面积为S 2，且S 12﹣16S 2+4=0，求△ABC 的面积．

27．（10分）如图，已知二次函数y=x2+（1﹣m ）x ﹣m （其中0＜m ＜1）的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，对称轴为直线l ．设P 为对称轴l 上的点，连接PA 、PC ，PA=PC

（1）∠ABC 的度数为 ；

（2）求P 点坐标（用含m 的代数式表示）；

（3）在坐标轴上是否存在着点Q （与原点O 不重合），使得以Q 、B 、C 为顶点的三角形与△PAC 相似，且线段PQ 的长度最小？如果存在，求出所有满足条件的点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．

28．（10分）如图，在矩形ABCD 中，AD=acm，AB=bcm（a ＞b ＞4），半径为2cm 的⊙O 在矩形内且与AB 、AD 均相切，现有动点P 从A 点出发，在矩形边上沿着A→B→C→D的方向匀速移动，当点P 到达D 点时停止移动．⊙O 在矩形内部沿AD 向右匀速平移，移动到与CD 相切时立即沿原路按原速返回，当⊙O 回到出发时的位置（即再次与AB 相切）时停止移动，已知点P 与⊙O 同时开始移动，同时停止移动（即同时到达各自的终止位置）．

（1）如图①，点P 从A →B→C→D，全程共移动了 cm （用含a 、b 的代数式表示）；

（2）如图①，已知点P 从A 点出发，移动2s 到达B 点，继续移动3s ，到达BC 的中点，若点P 与⊙O 的移动速度相等，求在这5s 时间内圆心O 移动的距离； （3）如图②，已知a=20，b=10，是否存在如下情形：当⊙O 到达⊙O 1的位置时（此时圆心O 1在矩形对角线BD 上），DP 与⊙O 1恰好相切？请说明理由．

2015年江苏省苏州市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将选择题的答案用2B 铅笔涂在答题卡相应位置上）

1．（3分）2的相反数是（ ） A ．2

B ． C ．﹣2 D ．﹣

【分析】根据相反数的含义，可得求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”，据此解答即可．

【解答】解：根据相反数的含义，可得 2的相反数是：﹣2． 故选：C ．

【点评】此题主要考查了相反数的含义以及求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：相反数是成对出现的，不能单独存在；求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”．

2．（3分）有一组数据：3，5，5，6，7，这组数据的众数为（ ） A ．3

B ．5

C ．6

D ．7

【分析】根据众数的概念求解．

【解答】解：这组数据中5出现的次数最多， 故众数为5． 故选：B ．

【点评】本题考查了众数的概念：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．

3．（3分）月球的半径约为1738000m ，1738000这个数用科学记数法可表示为（ ）

A ．1.738×106 B ．1.738×107 C ．0.1738×107 D．17.38×105

【分析】科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a |＜10，n 为整数．确

定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．

【解答】解：将1738000用科学记数法表示为：1.738×106． 故选：A ．

【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a |＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．

4．（3分）若m=A ．0＜m ＜1

×（﹣2），则有（ ）

D ．﹣3＜m ＜﹣2

B ．﹣1＜m ＜0 C ．﹣2＜m ＜﹣1

大小，即可解答． ，

【分析】先把m 化简，再估算【解答】解；

m=∵∴故选：C ．

，

，

×（﹣2）=

【点评】本题考查了公式无理数的大小，解决本题的关键是估算

的大小．

5．（3分）小明统计了他家今年5月份打电话的次数及通话时间，并列出了频数分布表：

则通话时间不超过15min 的频率为（ ） A ．0.1 B ．0.4 C ．0.5 D ．0.9

【分析】用不超过15分钟的通话时间除以所有的通话时间即可求得通话时间不超过15分钟的频率．

【解答】解：∵不超过15分钟的通话次数为20+16+9=45次，通话总次数为20+16+9+5=50次，

∴通话时间不超过15min 的频率为

=0.9，

故选D ．

【点评】本题考查了频数分布表的知识，解题的关键是了解频率=频数÷样本容量，难度不大．

6．（3分）若点A （a ，b ）在反比例函数y=的图象上，则代数式ab ﹣4的值为（ ） A ．0

B ．﹣2 C ．2

D ．﹣6

【分析】先把点（a ，b ）代入反比例函数y=求出ab 的值，再代入代数式进行计算即可．

【解答】解：∵点（a ，b ）反比例函数y=上， ∴b=，即ab=2， ∴原式=2﹣4=﹣2． 故选B ．

【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，即反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式．

7．（3分）如图，在△ABC 中，AB=AC，D 为BC 中点，∠BAD=35°，则∠C 的度数为（ ）

A ．35° B ．45° C ．55° D ．60°

【分析】由等腰三角形的三线合一性质可知∠BAC=70°，再由三角形内角和定理和等腰三角形两底角相等的性质即可得出结论． 【解答】解：AB=AC，D 为BC 中点， ∴AD 是∠BAC 的平分线，∠B=∠C ， ∵∠BAD=35°，

∴∠BAC=2∠BAD=70°， ∴∠C=（180°﹣70°）=55°． 故选C ．

【点评】本题考查的是等腰三角形的性质，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．

8．（3分）若二次函数y=x2+bx 的图象的对称轴是经过点（2，0）且平行于y 轴的直线，则关于x 的方程x 2+bx=5的解为（ ） A ．x 1=0，x 2=4 B ．x 1=1，x 2=5 C ．x 1=1，x 2=﹣5

D ．x 1=﹣1，x 2=5

【分析】根据对称轴方程﹣=2，得b=﹣4，解x 2﹣4x=5即可． 【解答】解：∵对称轴是经过点（2，0）且平行于y 轴的直线， ∴﹣=2， 解得：b=﹣4， 解方程x 2﹣4x=5， 解得x 1=﹣1，x 2=5， 故选：D ．

【点评】本题主要考查二次函数的对称轴和二次函数与一元二次方程的关系，难度不大．

9．（3分）如图，AB 为⊙O 的切线，切点为B ，连接AO ，AO 与⊙O 交于点C ，BD 为⊙O 的直径，连接CD ．若∠A=30°，⊙O 的半径为2，则图中阴影部分的面积为（ ）

A ．﹣ B ．﹣2 C ．π

﹣ D ．﹣

【分析】过O 点作OE ⊥CD 于E ，首先根据切线的性质和直角三角形的性质可得

∠AOB=60°，再根据平角的定义和三角形外角的性质可得∠COD=120°，∠OCD=∠ODC=30°，根据含30°的直角三角形的性质可得OE ，CD 的长，再根据阴影部分的面积=扇形OCD 的面积﹣三角形OCD 的面积，列式计算即可求解． 【解答】解：过O 点作OE ⊥CD 于E ， ∵AB 为⊙O 的切线， ∴∠ABO=90°， ∵∠A=30°， ∴∠AOB=60°，

∴∠COD=120°，∠OCD=∠ODC=30°， ∵⊙O 的半径为2， ∴OE=1，CE=DE=∴CD=2

，

﹣×2

×1=π

﹣

．

，

∴图中阴影部分的面积为：故选：A ．

【点评】考查了扇形面积的计算，切线的性质，本题关键是理解阴影部分的面积=扇形OCD 的面积﹣三角形OCD 的面积．

10．（3分）如图，在一笔直的海岸线l 上有A 、B 两个观测站，AB=2km、从A 测得船C 在北偏东45°的方向，从B 测得船C 在北偏东22.5°的方向，则船C 离海岸线l 的距离（即CD 的长）为（ ）

A ．4km B．（2+

）km C ．

2km D ．（4﹣）km

【分析】根据题意在CD 上取一点E ，使BD=DE，设BD=DE=x，则由AD 与CD 的关系和勾股定理可求得x ，从而可求得CD 的长．

【解答】解：在CD 上取一点E ，使BD=DE，设BD=DE=x． ∵BD=DE， ∴∠EBD=45°，

由题意可得∠CAD=45°， ∴AD=DC，

∵从B 测得船C 在北偏东22.5°的方向， ∴∠BCE=∠CBE=22.5°， ∴BE=EC，

∵AB=AD﹣BD=2km， ∴EC=BE=DC﹣DE=2km， ∵BD=DE=x， ∴

CE=BE=∴2+x=x+解得x=

x ， x ， ．

）km ．

∴DC=（2+故选：B ．

【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，得出BE=EC=2是解题关键．

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分，把答案直接填在答题卡相应位置上）

11．（3分）计算：a•a2=3 ．

【分析】根据同底数幂的乘法法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即a m •an =am +n 计算即可．

【解答】解：a•a2=a1+2=a3． 故答案为：a 3．

【点评】本题主要考查同底数幂的乘法的性质，熟练掌握性质是解题的关键．

12．（3分）如图，直线a ∥b ，∠1=125°，则∠2的度数为．

【分析】先根据对顶角相等，∠1=125°，求出∠3的度数，再由两直线平行，同旁内角互补得出∠2的度数． 【解答】解：∵∠1=125°， ∴∠3=∠1=125°， ∵a ∥b ，

∴∠2=180°﹣∠3=180°﹣125°=55°． 故答案为：55°．

【点评】本题考查了平行线的性质，对顶角的性质，熟记定理是解题的关键．

13．（3分）某学校“你最喜爱的球类运动”调查中，随机调查了若干名学生（每个学生分别选了一项球类运动），并根据调查结果绘制了如图所示的扇形统计图．已知其中最喜欢羽毛球的人数比最喜欢乒乓球的人数少6人，则该校被调查的学生总人数为 60 名．

【分析】设被调查的总人数是x 人，根据最喜欢羽毛球的人数比最喜欢乒乓球的人数少6人，即可列方程求解．

【解答】解：设被调查的总人数是x 人，则40%x﹣30%x=6， 解得：x=60． 故答案是：60．

【点评】本题考查的是扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．

14．（3分）分解因式：a 2﹣4b 2=

【分析】直接用平方差公式进行分解．平方差公式：a 2﹣b 2=（a +b ）（a ﹣b ）． 【解答】解：a 2﹣4b 2=（a +2b ）（a ﹣2b ）．

【点评】本题考查运用平方差公式进行因式分解，熟记公式结构是解题的关键．

15．（3分）如图，转盘中8个扇形的面积都相等，任意转动转盘1次，当转盘停止转动时，指针指向大于6的数的概率为

．

【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．

【解答】解：∵共8个数，大于6的有2个， ∴P （大于6）==，

故答案为：．

【点评】本题考查概率的求法：如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率P （A ）=．

16．（3分）若a ﹣2b=3，则9﹣2a +4b 的值为

【分析】原式后两项提取﹣2变形后，把已知等式代入计算即可求出值． 【解答】解：∵a ﹣2b=3， ∴原式=9﹣2（a ﹣2b ）=9﹣6=3， 故答案为：3．

【点评】此题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

17．（3分）如图，在△ABC 中，CD 是高，CE 是中线，CE=CB，点A 、D 关于点F 对称，过点F 作FG ∥CD ，交AC 边于点G ，连接GE ．若AC=18，BC=12，则△CEG 的周长为 27 ．

【分析】先根据点A 、D 关于点F 对称可知点F 是AD 的中点，再由CD ⊥AB ，FG ∥CD 可知FG 是△ACD 的中位线，故可得出CG 的长，再根据点E 是AB 的中点可知GE 是△ABC 的中位线，故可得出GE 的长，由此可得出结论． 【解答】解：∵点A 、D 关于点F 对称， ∴点F 是AD 的中点． ∵CD ⊥AB ，FG ∥CD ，

∴FG 是△ACD 的中位线，AC=18，BC=12， ∴CG=AC=9． ∵点E 是AB 的中点， ∴GE 是△ABC 的中位线，

∵CE=CB=12， ∴

GE=BC=6，

∴△CEG 的周长=CG+GE +CE=9+6+12=27． 故答案为：27．

【点评】本题考查的是三角形中位线定理，熟知三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解答此题的关键．

18．（3分）如图，四边形ABCD 为矩形，过点D 作对角线BD 的垂线，交BC 的延长线于点E ，取BE 的中点F ，连接DF ，DF=4．设AB=x，AD=y，则x 2+（y ﹣4）

2

的值为 16 ．

【分析】根据矩形的性质得到CD=AB=x，BC=AD=y，然后利用直角△BDE 的斜边上的中线等于斜边的一半得到：BF=DF=EF=4，则在直角△DCF 中，利用勾股定理求得

x 2+（y ﹣4）2=DF2．

【解答】解：∵四边形ABCD 是矩形，AB=x，AD=y， ∴CD=AB=x，BC=AD=y，∠BCD=90°． 又∵BD ⊥DE ，点F 是BE 的中点，DF=4， ∴BF=DF=EF=4． ∴CF=4﹣BC=4﹣y ．

∴在直角△DCF 中，DC 2+CF 2=DF2，即x 2+（4﹣y ）2=42=16， ∴x 2+（y ﹣4）2=x2+（4﹣y ）2=16． 故答案是：16．

【点评】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线以及矩形的性质．根据“直角△BDE 的斜边上的中线等于斜边的一半”求得BF 的长度是解题的突破口．

三、解答题（本大题共10小题，满分76分按解答过程写在答题卡相应位置上，解答时应写出必要的计算过程，推演步骤或文字说明，作图时用2B 铅笔会黑色墨水签字笔） 19．（5分）计算：

+|﹣5|﹣（2﹣

）0．

【分析】原式第一项利用算术平方根定义计算，第二项利用绝对值的代数意义化简，最后一项利用零指数幂法则计算即可得到结果． 【解答】解：原式=3+5﹣1=7．

【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

20．（5分）解不等式组：

．

【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解． 【解答】解：由①得，x ≥1， 由②得，x ＞4，

所以，不等式组的解集为x ＞4．

【点评】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．

21．（6分）先化简，再求值：（1﹣

）÷

，其中x=

﹣1．

，

【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x 的值代入进行计算即可．

【解答】解：原式

==当x=

，

﹣1时，原式=

=

．

•

【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．

22．（6分）甲、乙两位同学同时为校文化艺术节制作彩旗．已知甲每小时比乙多做5面彩旗，甲做60面彩旗与乙做50面彩旗所用时间相等，问：甲、乙每小时各做多少面彩旗？

【分析】可设乙每小时做x 面彩旗，则甲每小时做（x +5）面彩旗，根据等量关系：甲做60面彩旗所用的时间=乙做5060面彩旗所用的时间．由此可得出方程求解．

【解答】解：设乙每小时做x 面彩旗，则甲每小时做（x +5）面彩旗，依题意有

=

，

解得：x=25．

经检验：x=25是原方程的解． x +5=25+5=30．

故甲每小时做30面彩旗，乙每小时做25面彩旗．

【点评】考查了分式方程的应用，列方程解应用题的关键是正确确定题目中的相等关系，根据相等关系确定所设的未知数，列方程．

23．（8分）一个不透明的口袋中装有2个红球（记为红球1、红球2），1个白球、1个黑球，这些球除颜色外都相同，将球搅匀． （1）从中任意摸出1个球，恰好摸到红球的概率是

（2）先从中任意摸出一个球，再从余下的3个球中任意摸出1个球，请用列举法（画树状图或列表），求两次都摸到红球的概率．

【分析】（1）根据4个小球中红球的个数，即可确定出从中任意摸出1个球，恰好摸到红球的概率；

（2）列表得出所有等可能的情况数，找出两次都摸到红球的情况数，即可求出所求的概率．

【解答】解：（1）4个小球中有2个红球， 则任意摸出1个球，恰好摸到红球的概率是； 故答案为：； （2）列表如下：

所有等可能的情况有12种，其中两次都摸到红球有2种可能， 则P （两次摸到红球）=

=．

【点评】此题考查了列表法与树状图法，以及概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

24．（8分）如图，在△ABC 中，AB=AC，分别以B 、C 为圆心，BC 长为半径在BC 下方画弧．设两弧交于点D ，与AB 、AC 的延长线分别交于点E 、F ，连接AD 、BD 、CD

（1）求证：AD 平分∠BAC ；

（2）若BC=6，∠BAC=50°，求弧DE 、弧DF 的长度之和（结果保留π）．

【分析】（1）根据题意得出BD=CD=BC，由SSS 证明△ABD ≌△ACD ，得出∠BAD=∠CAD 即可；

（2）由等腰三角形的性质得出∠ABC=∠ACB=65°，由等边三角形的性质得出∠DBC=∠DCB=60°，再由平角的定义求出∠DBE=∠DCF=55°，然后根据弧长公式求出

、

的长度，即可得出结果．

【解答】（1）证明：根据题意得：BD=CD=BC， 在△ABD 和△ACD 中，

，

∴△ABD ≌△ACD （SSS ）． ∴∠BAD=∠CAD ， 即AD 平分∠BAC ；

（2）解：∵AB=AC，∠BAC=50°， ∴∠ABC=∠ACB=65°， ∵BD=CD=BC，

∴△BDC 为等边三角形， ∴∠DBC=∠DCB=60°， ∴∠DBE=∠DCF=55°， ∵BC=6，∴BD=CD=6， ∴∴

的长度=、

的长度=

+

==

； ．

的长度之和为

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、弧长的计算；熟练掌握全等三角形和等边三角形的判定与性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．

25．（8分）如图，已知函数y=（x ＞0）的图象经过点A 、B ，点B 的坐标为（2，2）．过点A 作AC ⊥x 轴，垂足为C ，过点B 作BD ⊥y 轴，垂足为D ，AC 与BD 交于点F ．一次函数y=ax+b 的图象经过点A 、D ，与x 轴的负半轴交于点E （1）若AC=OD ，求a 、b 的值； （2）若BC ∥AE ，求BC 的长．

【分析】（1）首先利用反比例函数图象上点的坐标性质得出k 的值，再得出A 、D 点坐标，进而求出a ，b 的值；

（2）设A 点的坐标为：（m ，），则C 点的坐标为：（m ，0），得出tan ∠ADF=

=，tan ∠AEC==，进而求出m 的值，即可得出答案．

【解答】解；（1）∵点B （2，2）在函数y=（x ＞0）的图象上，

∴k=4，则y=，

∵BD ⊥y 轴，∴D 点的坐标为：（0，2），OD=2，

∵AC ⊥x 轴，

AC=OD ，∴AC=3，即A 点的纵坐标为：3，

∵点A 在y=的图象上，∴A 点的坐标为：（，3），

∵一次函数y=ax+b 的图象经过点A 、D ， ∴， 解得：

；

（2）设A 点的坐标为：（m ，），则C 点的坐标为：（m ，0），

∵BD ∥CE ，且BC ∥DE ，

∴四边形BCED 为平行四边形，

∴CE=BD=2，

∵BD ∥CE ，∴∠ADF=∠AEC ，

∴在Rt △AFD 中，tan ∠ADF==，

在Rt △ACE 中，tan ∠AEC==， ∴=，

解得：m=1，

∴C 点的坐标为：（1，0），则BC=．

【点评】此题主要考查了反比例函数与一次函数的交点以及锐角三角函数关系等知识，得出A ，D 点坐标是解题关键．

26．（10分）如图，已知AD 是△ABC 的角平分线，⊙O 经过A 、B 、D 三点．过点B 作BE ∥AD ，交⊙O 于点E ，连接ED

（1）求证：ED ∥AC ；

（2）若BD=2CD，设△EBD 的面积为S 1，△ADC 的面积为S 2，且S 12﹣16S 2+4=0，求△ABC 的面积．

【分析】（1）由AD 是△ABC 的角平分线，得到∠BAD=∠DAC ，由于∠E=∠BAD ，等量代换得到∠E=∠DAC ，根据平行线的性质和判定即可得到结果；

（2）由BE ∥AD ，得到∠EBD=∠ADC ，由于∠E=∠DAC ，得到△EBD ∽△ADC ，根据相似三角形的性质相似三角形面积的比等于相似比的平方即可得到结果．

【解答】（1）证明：∵AD 是△ABC 的角平分线，

∴∠BAD=∠DAC ，

∵∠E=∠BAD ，

∴∠E=∠DAC ，

∵BE ∥AD ，

∴∠E=∠EDA ，

∴∠EDA=∠DAC ，

∴ED ∥AC ；

（2）解：∵BE ∥AD ，

∴∠EBD=∠ADC ，

∵∠E=∠DAC ，

∴△EBD ∽△ADC ，且相似比k=

∴

∵

∴16

即

∴S 2

=， ∵

=

===3， =k2=4，即s 1=4s2， ﹣16S 2+4=0， ﹣16S 2+4=0， =0， ， ∴S △ABC =．

【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，角平分线的性质，平行线的性质，记住相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键．

27．（10分）如图，已知二次函数y=x2+（1﹣m ）x ﹣m （其中0＜m ＜1）的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，对称轴为直线l ．设P 为对称轴l 上的点，连接PA 、PC ，PA=PC

（1）∠ABC 的度数为 45° ；

（2）求P 点坐标（用含m 的代数式表示）；

（3）在坐标轴上是否存在着点Q （与原点O 不重合），使得以Q 、B 、C 为顶点的三角形与△PAC 相似，且线段PQ 的长度最小？如果存在，求出所有满足条件

的点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．

【分析】（1）首先求出B 点坐标，进而得出OB=OC=m，再利用等腰直角三角形的性质求出即可；

（2）作PD ⊥y 轴，垂足为D ，设l 与x 轴交于点E ，利用勾股定理AE 2+PE 2=CD2+PD 2，得出P 点坐标即可；

（3）根据题意得出△QBC 是等腰直角三角形，可得满足条件的点Q 的坐标为：（﹣m ，0）或（0，m ），进而分别分析求出符合题意的答案．

【解答】解：（1）令x=0，则y=﹣m ，C 点坐标为：（0，﹣m ），

令y=0，则x 2+（1﹣m ）x ﹣m=0，

解得：x 1=﹣1，x 2=m，

∵0＜m ＜1，点A 在点B 的左侧，

∴B 点坐标为：（m ，0），

∴OB=OC=m，

∵∠BOC=90°，

∴△BOC 是等腰直角三角形，∠ABC=45°；

故答案为：45°；

（2）如图1，作PD ⊥y 轴，垂足为D ，设l 与x 轴交于点E ，

由题意得，抛物线的对称轴为：x=

设点P 坐标为：（

∵PA=PC，

∴PA 2=PC2，

即AE 2+PE 2=CD2+PD 2，

， ，n ），

∴（

解得：n=+1）2+n 2=（n +m ）2+（，

，）； ）2， ∴P 点的坐标为：（

（3）存在点Q 满足题意，

∵P 点的坐标为：（，），

∴PA 2+PC 2=AE2+PE 2+CD 2+PD 2，

=（+1）2+（）2+（+m ）2+（）2

=1+m 2，

∵AC 2=1+m 2，

∴PA 2+PC 2=AC2，

∴∠APC=90°，

∴△PAC 是等腰直角三角形，

∵以Q 、B 、C 为顶点的三角形与△PAC 相似，

∴△QBC 是等腰直角三角形，

∴由题意可得满足条件的点Q 的坐标为：（﹣m ，0）或（0，m ），

①如图1，当Q 点坐标为：（﹣m ，0）时，

若PQ 与x 轴垂直，则

解得：

m=，PQ=，

若PQ 与x 轴不垂直，

则PQ 2=PE2+EQ 2

=（）2+（+m ）2

=﹣m ，

=m 2﹣2m +

=（m ﹣）2+

∵0＜m ＜1，

∴当

m=时，PQ 2取得最小值

，PQ 取得最小值，

∵＜，

∴当

m=，即Q 点的坐标为：（﹣，0）时，PQ 的长度最小，

②如图2，当Q 点的坐标为：（0，m ）时，

若PQ 与y

轴垂直，则

解得：

m=，PQ=，

若PQ 与y 轴不垂直，

则PQ 2=PD2+DQ 2=（

=m 2﹣2m +

=（m ﹣）2+

∵0＜m ＜1，

∴当

m=时，PQ 2取得最小值

∵＜， ，PQ 取得最小值， ， ）2+（m ﹣）2

=m，

∴当

m=，即Q 点的坐标为：（0，）时，PQ 的长度最小，

综上所述：当Q 点坐标为：（﹣，0）或（0，）时，PQ 的长度最小．

【点评】此题主要考查了二次函数综合以及勾股定理和二次函数最值求法等知识，利用分类讨论得出Q 点坐标是解题关键．

28．（10分）如图，在矩形ABCD 中，AD=acm，AB=bcm（a ＞b ＞4），半径为2cm 的⊙O 在矩形内且与AB 、AD 均相切，现有动点P 从A 点出发，在矩形边上沿着A→B→C→D的方向匀速移动，当点P 到达D 点时停止移动．⊙O 在矩形内部沿AD 向右匀速平移，移动到与CD 相切时立即沿原路按原速返回，当⊙O 回到出发时的位置（即再次与AB 相切）时停止移动，已知点P 与⊙O 同时开始移动，同时停止移动（即同时到达各自的终止位置）．

（1）如图①，点P 从A→B→C→D，全程共移动了 a +2b cm （用含a 、b 的代数式表示）；

（2）如图①，已知点P 从A 点出发，移动2s 到达B 点，继续移动3s ，到达BC 的中点，若点P 与⊙O 的移动速度相等，求在这5s 时间内圆心O 移动的距离；

（3）如图②，已知a=20，b=10，是否存在如下情形：当⊙O 到达⊙O 1的位置时（此时圆心O 1在矩形对角线BD 上），DP 与⊙O 1恰好相切？请说明理由．

【分析】（1）根据有理数的加法，可得答案；

（2）根据圆O 移动的距离与P 点移动的距离相等，P 点移动的速度相等，可得方程组，根据解方程组，可得a 、b 的值，根据速度与时间的关系，可得答案；

（3）根据相同时间内速度的比等于路程的比，可得的值，根据相似三角形的性质，可得∠ADB=∠BDP ，根据等腰三角形的判定，可得BP 与DP 的关系，根据勾股定理，可得DP 的长，根据有理数的加法，可得P 点移动的距离；根据相似三角形的性质，可得EO 1的长，分类讨论：当⊙O 首次到达⊙O 1的位置时，当⊙O 在返回途中到达⊙O 1位置时，根据的值，可得答案．

【解答】解：（1）如图①，点P 从A→B→C→D，全程共移动了 a +2bcm （用含a 、b 的代数式表示）；

（2）∵圆心O 移动的距离为2（a ﹣4）cm ，

由题意，得

a +2b=2（a ﹣4）①，

∵点P 移动2秒到达B ，即点P2s 移动了bcm ，点P 继续移动3s 到达BC 的中点， 即点P3秒移动了acm ． ∴=② ， 由①②解得

∵点P 移动的速度为与⊙O 移动速度相同，

∴⊙O 移动的速度为==4cm（cm/s）．

这5秒时间内⊙O 移动的距离为5×4=20（cm ）；

（3）存在这种情况，

设点P 移动速度为v 1cm/s，⊙O 2移动的速度为v 2cm/s，

由题意，得

=

==， 如图：

设直线OO 1与AB 交于E 点，与CD 交于F 点，⊙O 1与AD 相切于G 点， 若PD 与⊙O 1相切，切点为H ，则O 1G=O1H ．

易得△DO 1G ≌△DO 1H ，

∴∠ADB=∠BDP ．

∵BC ∥AD ，

∴∠ADB=∠CBD

∴∠BDP=∠CBD ，

∴BP=DP．

设BP=xcm，则DP=xcm，PC=（20﹣x ）cm ，

在Rt △PCD 中，由勾股定理，得

PC 2+CD 2=PD2，即（20﹣x ）2+102=x2，

解得x=

此时点P 移动的距离为10+∵EF ∥AD ，

∴△BEO 1∽△BAD ， ∴

=，即=， =（cm ），

EO 1=16cm，OO 1=14cm．

①当⊙O 首次到达⊙O 1的位置时，⊙O 移动的距离为14cm ，

此时点P 与⊙O 移动的速度比为∵≠， =， ∴此时PD 与⊙O 1不能相切；

②当⊙O 在返回途中到达⊙O 1位置时，⊙O 移动的距离为2（20﹣4）﹣14=18cm， ∴此时点P 与⊙O 移动的速度比为此时PD 与⊙O 1恰好相切．

【点评】本题考查了圆的综合题，（1）利用了有理数的加法，（2）利用了P 与⊙O 的路程相等，速度相等得出方程组是解题关键，再利用路程与时间的关系，得出速度，最后利用速度乘以时间得出结果；（3）利用了相等时间内速度的比等于路程的比，相似三角形的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，利用相等时间内速度的比等于路程的比是解题关键．

==，