从广义位势理论的角度看土的本构理论的研究

第29卷 第4期 岩 土 工 程 学 报 Vol.29 No.4 2007年 4月 Chinese Journal of Geotechnical Engineering Apr., 2007

从广义位势理论的角度看土的本构理论的研究

（1. 广东省水利水电科学研究院，广东 广州 510610；2. 清华大学水利系，北京 100084）

杨光华，李广信

12

摘 要：本文介绍了广义位势理论的基本思想，并从广义位势理论角度出发剖析传统本构理论在表述土的本构关系的局限性。分析了从广义位势理论出发来建立土的本构模型的优点，其可以突破传统理论中以塑性公设为前提的限制，因而，从广义位势理论角度上来建立土的本构模型的具有更广阔的前景。

关键词：广义位势理论；土的本构理论；本构模型

中图分类号：TU411 文献标识码：A 文章编号：1000–4548(2007)04–0594–04

作者简介：杨光华(1962– ),男,博士,1982年毕业于武汉水利电力学院,现任副院长兼总工程师,教授级高级工程师,武汉大学博士生导师,主要从事土的本构理论、深基坑工程、高层建筑基础工程及软土工程方面的科研和设计。E-mail ：[email protected]。

Constitutive theory of soils based on the generalized potential theory

YANG Guang-hua1，LI Guang-xin2

(1. Guangdong Provincial Institute of Water Resources and Hydropower, Guangzhou 510610, China; 2. Department of Hydraulic

Engineering, Tsinghua University, Beijing 100084, China)

Abstract : The concept of generalized potential theory was briefly introduced. Based on the generalized potential theory, the limitation of traditional constitutive theory in expressing the constitutive relation of soils was analyzed, and the advantage of the generalized potential theory in establishing the constitutive model for soils was pointed out. It was shown that the generalized potential theory could break the limitation of the plastic postulate which was the base of the classical elasto-plastic constitutive theory, and the constitutive model based on the generalized potential theory would be used extensively. Key words: generalized potential theory; constitutive relation of soils; constitutive model

1 从数学的角度看经典塑性理论的局

限性

为简便，仅限于p –q 平面上进行讨论，塑性应变增量用不变量表示的最常用形式为

⎫d εv p =A d p +B d q ，⎪

⎬ (1)

d p =C d p +D d q 。⎪⎭

不难证明，经典塑性理论中，关联流动法则要求为[1-4]

AD −BC =0 ，⎫

⎬ (2)

B =C 。⎭

非关联流动法则要为

AD −BC =0 ，⎫

⎬ (3)

B ≠C 。⎭对于土体材料，A ＞0，C ＜0，剪缩时B ＞0，剪胀时B ＜0，硬化时D ＞0，软化时D ＜0。因此，对于硬化剪缩土，则AD －BC ＞0，对于硬化剪胀土，也不一定能保证AD －BC ＝0，同时，对于剪缩土，显然很

难B ＝C ，因此，从数学角度分析，关联流动模型要求的塑性矩阵是对称半正定的，非关联流动模型的塑性矩阵是非对称的，同时不能保证其正定性[4]，因而土体的力学特性显然并不能保证都满足经典塑性理论的要求，有必要发展新的表述理论。

2 广义位势理论的发展

笔者1988年提出广义塑性位势理论[5]，1991年提出多重势面理论[6]，1993年[7]、1991年[8]分别从张量角度和数学分析角度论证了多重势面理论的数学基础，郑颖人院士称之为不考虑应力主轴旋转的广义塑性位势理论[9]。后来的研究表明：传统的弹性位势理论和塑性位势理论都可归结为数学上的势函数问题，因而可以统一用广义位势理论来表达和统一[10-12]，从而使以往建立于不同物理假设基础上的本构理论可以

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收稿日期：2006–03–17

第4期 杨光华，等. 从广义位势理论的角度看土的本构理论的研究 595

从数学上由广义位势理论来统一和联系起来，使本构理论从数学上具有更清晰的、直接的概念，更易理解和应用，同时扩大了建模的手段和方法，并且对传统的建模理论有了更清晰的数学基础。

广义位势理论把材料本构模型的研究分为两大块[10-11]：以塑性应变为例，一是主空间上的本构试验及其拟合方程

{d εp i

}

3×1

=[D p ]3×3{d σi }3×1 。 (4)

二是由主空间到一般坐标空间的数学变换，可采用广义位势理论的方法，当假设塑性应变增量主应变方向与应力总量主方向一致时，则有分解准则[6]

3

d εp

=∑d εp ∂σij k ⋅k 。 k =1∂σ(5)

ij 把式（4）的3个主塑性应变增量d εp i （i =1，2，3）

看作为应力空间上一个矢量的3个分量，则可用3个线性无关的势函数ϕi （i ＝1，2，3）的梯度矢量来表述，则有

3

d εp

∂ϕk k =∑d λk 。 k =1∂σ (6)

i 把式（6）代入式（5），即可得多重势面的理论公

式[6-8]

，

3

d εp

∂ϕk ij =∑d λk 。 k =1

∂ϕ (7)

ij 同样可以应用广义位势理论建立应变空间的理论

及其他建模理论[10-12]。

例如，当假设d εp i 的主方向与εi 的主方向一致时，则有应变空间的多重势面理论

∑3

d εp

d β∂F k ij =k 。 k =1∂ε (8)

ij 显然，多重势面理论并不是依据塑性公设而建立

的，而是从数学原理上建立的，显然，当JJ 具有明确的数学基础。

d εG p

=(dεp p

1，d ε2

，d εp 3) 在应力空间可以用单一势函数的梯度矢量表达时，此时相当于式（4）

中的矩阵[D ，且矢量d εG

p p ]3×3秩为1[1]的旋度为零，则此时

d εp k =d λ∂ϕk

k

∂σ 。 (9) k

当d εp i 方向与σi 方向相同时，代入式（5）则可得

d εp ij =d λ∂ϕk

k

∂σ 。 (10) ij

此为传统的塑性位势理论的公式，以前是从物理概念假设而得出，但对其数学背景及条件并不很清楚，而从广义位势理论角度出发，则其要求的数学条件是比较严格的，岩土材料未必都满足，因而用于表述岩

土材料的本构关系时只是一个模型，是否合适则应要根据材料的试验结果来分析其适用性。

因此，广义位势理论并不需要建立于塑性公设基础上，从广义位势理论出发，岩土材料的本构理论可以看作是一个数学方法表述土的力学特性问题，没必要把太复杂的物理概念套上去，但可以赋予其物理概念，以便更好的理解，同时用物理的理论去判断其合理性。

3 从广义位势理论的角度对塑性应变

增量方向问题的探讨

塑性应变增量方向的唯一性问题在数学上体现为塑性矩阵的秩数

{d εp

i }

3×1

=[D p ]3×1{d σi }3×1 。 (11)

传统弹塑性的单一屈服面流动法则，或单一势面理论时，矩阵[D p ]的秩为1，也即式（6）矩阵是不可逆的，矩阵的行列式[D p ]＝0，此时[D p ]可分解为一个基向量（β1，β2，β3）和一组数（α1，α2，α3）的乘积即[1,10]

⎧⎡⎣D p ⎤⎦

=⎪β1⎫⎨β⎪

2⎬[α1α2α3] ， (12) ⎪⎩β⎪3⎭

代入式（11），得

{d εp i }

3×1={β}[α]{d σi }3×3 ， 即 {d εp i }

3×1

=d λ⋅{β} ， (13)

其中， d λ=[α]{d σi }3×1 。

因此，{d εp i }的方向与{d σi }方向无关，{d σi }在矢量模中有贡献。因而要考虑塑性应力增量方向对塑性应变增量方向的影响，则必须矩阵[D p ]的行列式值不为零，这样则需要多重势面理论来表述[6]，因此，塑性应变增量方向是与塑性矩阵[D p ]的性质有关的。而多重势面理论对[D p ]的秩并无限制，[D p ]的秩为1是一特例，因此，理论上，多重势面理论可以表述[D p ]的秩为1和大于1的情况，也即可以一定程度上考虑应力增量方向对塑性应变增量方向的影响。

[D p ]不可逆产生的另一个问题是当塑性应变所占比例较大时，会影响弹塑性矩阵的稳定性[14-15]，因而他们提出把塑性应变分解成两部分，即分解出一个拟弹性的塑性应变d εp e ，其实从上面的分析可知，塑性矩阵[D p ]的秩大于1则说明塑性应变增量方向与应力增量方向有关，也即具有弹性应变特性，因此，考虑把具有弹性应变特性部分的塑性应变划分出来，用弹性模型去表示是合理的。另一方面，由以上式（1）可见，当实际土体存在AD -BC ＞0的情况时，若按经

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典塑性理论去表述采用关联或非关联流动法则时，只有人为去改变塑性系数，使原塑性矩阵为对角占优变为AD -BC ＝0的非占优状态，而不是材料力学特性的真实反映，同时使塑性矩阵稳定性变差，当采用多重势面模型时，A ，B ，C ，D 系数可以根据真实试验确定，可以是AD -BC ＞0，也可以是AD -BC ＝0，而AD -BC ＝0则是一种更简便的特殊情况，因而，多重势面模型可以具有更大适应性，不必人为规定是关联或非关联流动，但当材料满足式（2）时，则自动退化为关联流动模型，满足式（3）时自动退化为非关联流动模型。

4 广义位势理论模型

按广义位势理论的多重势面理论，作者已分别建立了应力空间模型[2,10]和应变空间模型[10,16]，在一定假设条件下，其参数可以按邓肯－张模型那样采用常规三轴试验来确定，通过砂土的计算表明：在反映剪胀性方面具有明显优势[17,19]，其特点是参数确定容易、数学原理清晰，比按传统理论来建模要简单方便且无需推求复杂的屈服函数或塑性势函数，尤其是应变空间模型，以往按传统理论建立应变空间模型时难以确定应变空间的屈服面，因而要通过变换回到应力空间，因而真正的和可应用的应变空间模型很少，而按广义位势理论则应变空间模型公式比应力空间模型公式还要简便，更方便应用，并已应用于三峡二期深水围堰的计算[20]，具有较好的效果。

5 结 论

土的力学性质远比传统金属材料要复杂，要更好地解决岩土复杂材料的本构模型的建立，仅限于传统的经典理论是较困难的，应寻求新的解决方法，广义位势理论是一种可能的途径。以前并不深刻了解本构理论的数学基础和背景，借用经典理论的一些物理假设来建模，包括建立于塑性公设基础上的经典塑性本构理论，其建模能力是有限的。在认识了其数学背景后，依据广义位势理论，可大大地扩展了岩土材料的建模能力，从目前已做工作，其有数学原理清晰、建模方便的优点，不需要以塑性公设为基础，同时也包含了传统的经典理论作为其特例，进一步发展完善应该是一个有前途的方法之一。 参考文献：

[1] 杨光华. 岩土塑性本构关系的势函数理论表述问题[C]//首

届全国岩土力学与工程青年工作者学术讨论会论文集. 杭州:浙江大学出版社, 1992. (YANG Guang-hua. Formulation

problems of potential function theory in the plastic constitutive relation of geotechnical material[C]// Proceedings of the First National Young Scholar Symposium on Rock and Soil Mechanics Engineering. Hangzhou: Zhejiang University Press, 1992. (in Chinese))

[2] YANG Guang-hua. A new elasto-plastic coustititive madel for

soils[C]//Int Conf on Soft Soil Eng, Guangzhou, 1993. [3] 杨光华. 土的数学本构理论的研究(综述报告)[C]//第三届

全国青年岩土力学与工程会议论文集. 大连:大连理工大学出版社, 1995. (YANG Guang-hua. Study on the mathematical constitutive theory of soils[C]//Proceedings of the 3rd National Young Scholar Conf on Rock and Soil Mechanics Engineering. Dalian: Dalian University of Technology Press, 1995. (in Chinese))

[4] 杨光华. 土体材料本构特性的数学分析[C]//第六届全国岩

土力学数值分析与解析方法讨论会论文集. 广州: 广东科技出版社, 1998. (YANG Guang-hua. Mathematical analysis on the constitutive characteristic of soil materials[C]// Proceedings of the 6th National Conf on the Numerical Analysis and Analytical Method for Rock and Soil Mechanics, Guangzhou: Guangdong Science and Technology Press, 1998. (in Chinese))

[5] 杨光华. 建立土的本构关系的广义塑性位势理论[C]//第三

届全国岩土力学数值分析与解析方法会议论文集. 广东:珠海, 1988. (YANG Guang-hua. Building the generalized plastic potential theory in constitutive relation of soils[C]// Proceedings of the 3th National Conf on the Numerical Analysis and Analytical Method for Rock and Soil Mechanics, Zhuhai, 1988. (in Chinese))

[6] 杨光华. 岩土类工程材料的多重势面弹塑性本构模型理论

[J]. 岩土工程学报, 1991, 13(5): 99–107. (YANG Guang-hua. The Multi-potential constitutive theory of elasto-plasticity for the soil and rock materials[J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering, 1991, 13(5): 99–107. (in Chinese))

[7] 杨光华. 岩土类工程材料本构方程的一个张量普遍形式定

律[M]//水工结构工程理论与应用. 大连: 大连海运学院出版社, 1993. (YANG Guang-hua. A law for the general form of tensor in the constitutive equation of the soil and rock materials[M]// Theory and Application of Water Power and Structure Engineering. Dalian: Dalian Maritime University Press, 1993. (in Chinese))

[8] 杨光华. 岩土类工程材料本构关系的势函数模型理论[C]//

第四届全国岩土力学数值分析与解析方法讨论会论文集.

第4期 杨光华，等. 从广义位势理论的角度看土的本构理论的研究 597

武汉: 武汉测绘科技大学出版社, 1991. (YANG Guang-hua. Potential function model theory in constitutive relation for the soil and rock materials[C]//Proceedings of the 4th National Conf on the Numerical Analysis and Analytical Method for Rock and Soil Mechanics. Wuhan: Wuhan Technical University of Surveying and Mapping Press, 1991. (in Chinese))

[9] 郑颖人, 沈珠江, 龚晓南. 广义塑性力学—岩土塑性力学

基本原理[M]. 北京: 中国建工出版社,2002. (ZHENG Ying-ren, SHEN Zhu-jiang, GONG Xiao-nan. Generalized plastic mechanics-the principles of geotechnical plastic mechanics[M]. Beijing: China Architecture and Building Press, 2002. (in Chinese))

[10] 杨光华. 土的本构模型的数学理论及其应用[D]. 北京:清

华大学, 1998. (YANG Guang-hua. Mathematical theory and application of the constitutive model of soils[D]. Beijing: Tsinghua University, 1998.(in Chinese))

[11] 杨光华, 李广信. 岩土的本构模型的数学基础与广义位势

理论[J]. 岩土力学, 2002, 23(5): 531–535. (YANG Guang-hua, LI Guang-xin. Mathematical foundation of constitutive models of geotechnical material and generalized potential theory[J]. Rock and Soil Mechanics, 2002, 23(5): 531–535. (in Chinese))

[12] 李广信. 高等土力学[M]. 北京: 清华大学出版社, 2004.

(LI Guang-xin. Advanced soil mechanics[M]. Beijing: Tsinghua University Press, 2004. (in Chinese))

[13] 杨光华. 21世纪应建立岩土材料的本构理论[J]. 岩土工程

学报, 1997, 19(3):. (YANG Guang-hua. Constitutive theory of rock and soil materials in 21st century[J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering, 1997, 19(3):. (in Chinese)) [14] 沈珠江. 理论土力学[M]. 北京:中国水利水电出版社,

2000. (SHEN Zhu-jiang. Theoretical soil mechanics[M]. Beijing: China WaterPower Press, 2000.(in Chinese)) [15] 殷宗泽, 朱俊高, 卢海华. 土体弹塑性柔度矩阵与其三轴

试验研究[C]//第七届全国土力学与基础工程学术会议论文集. 北京:中国建筑工业出版社, 1994: 139–144. (YIN Zong-ze, ZHU Jun-gao, LU Hai-hua. Study on the elasto- plasticity compliance matrix and triaxial test of soil[C]// Proceedings of the 7th National Conf on the Geotechnique and Foundation Engineering. Beijing: China Architecture and Building Press, 1994: 139–144. (in Chinese))

[16] YANG Guang-hua. A new strain space elasto-plastic

constitutive model for soils[C]//Proceedings of the Second Int Conf on Soft Soil Eng, Nanjing, 1996.

[17] 杨光华, 介玉新, 李广信. 土的多重势面模型及其验证[J].

岩土工程学报, 1999, 21(5): 578–582. (YNAG Guang-hua, JIE Yu-xin, LI Guang-xin. Multi-potential surface model for soils and its verification[J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering, 1999,21(5):578–582.(in Chinese))

[18] 介玉新, 胡 韬, 李广信, 杨光华. 平面应变情况下多重

势面模型与邓肯－张模型的比较[J]. 工程力学, 2004, 21(1): 148–152. (JIE Yu-xin, HU Tao, Li Guang-Xin, et al. The comparison between multi-potential surface model and Duncan-Chang’s Model In plain-strain cases[J]. Engineering Mechanics, 2004, 21(1): 148–152. (in Chinese))

[19] 介玉新, 刘 正, 杨光华, 李广信. 基于应力空间的多重

势面模型及其与邓肯－张模型的比较[J]. 岩土力学, 2004, 25(增): 7–12. (JIE Yu-xin, LIU Zheng, YANG Guang-Hua , et al. Multi-potential surface model in stress space and its comparison with Duncan-Chang’s Model[J]. Rock and Soil Mechanics, 2004, 25(S): 7–12. (in Chinese))

[20] 哈秋舲, 包承纲, 等. 长江三峡工程关键技术研究[M]. 广

州: 广东科技出版社, 2002. (HA Qiu-ling, BAO Cheng-gang. Study on some key technology in the three gorges of the Yangtze River project[M]. Guangzhou: Guangdong Science and Technology Press, 2002. (in Chinese))