斯坦纳定理的证明
斯坦纳定理的证明
斯坦纳定理:两内角平分线相等的三角形必为等腰三角形。
这一命题的逆命题:“等腰三角形两底角的平分线长在相等”,早在二千多年前的《几何原本》中就已作为定理,证明过程想必大家都会。但上述命题在《几何原本》中只字未提,直到1840年,雷米欧斯(C.L.Lehmus)在他给斯图姆(C.Sturm)的信中提出请求给出一个纯几何证明。斯图姆没有解决,就向许多数学家提出这一问题。据说连欧几里德都不会证!!首先给出证明的是瑞士几何学家斯坦纳(J.Steiner,1796~1863),因而这一定理就称为斯坦纳—雷米欧斯定理。继斯坦纳之后,这一定理的丰富多彩的证明陆续发表,但大多是间接证法,直接证法难度颇大。一百多年来,吸引了许多数学家和数学爱好者。
德国数学家海塞(L.O.Hesse,1811~1874)的证法:
作∠BDF=∠BCE;并使DF=BC,∵BD=EC,∴△BDF≌△ECB,BF=BE,∠BEC=∠DBF. 设∠ABD=∠DBC=α,∠ACE=∠ECB=β,∠FBC=∠BEC+α=180°-2α-β+α=180°-(α+β);
∠CDF=∠FDB+∠CDB=β+180-2β-α=180°-(α+β);
∴∠FBC=∠CDF,∵2α+2β90° ∴过C点作FB的垂线和过F点作CD的垂线必都在FB和CD的延长线上.
设垂足分别为G、H;∠HDF=∠CBG;∵BC=DF,∴Rt△CGB≌Rt△FHD,∴CG=FH,BC=HD
连接CF,∵CF=FC,FH=CG,∴Rt△CGF≌△FHC(HL),∴FG=CH, 又∵BG=DH,∴BF=CD, 又∵BF=BE,∴CD=BE,∵BE=CD,BC=CB,EC=DB,∴△BEC≌△CDB,∴∠ABC=∠ACB
∴AB=AC.