金融工程论文

期货最优套期保值比率的研究

1 引言：

套期保值是期货产生的根源，套保策略也是股指期货最根本的策略之一 。套期保值策略就是通过使用股指期货交易与一定规模的股票现货组合进行对冲，从而规避现货市场的价格风险；如果期货头寸能够较好地与现货交匹配，套期保值交易能够消除现货市场的大部分系统性风险。从持有股指期货头寸上可以将套期保值分为多头套期保值和空头套期保值。多头套保指指持有现金未来将投资股市，为防止股市上涨抬高买入成本，先买入指数期货，对冲市场上涨风险；空头套保指已持有股票组合或预期将持有股票组合为防止股票组合随大盘下跌，卖出指数期货，对冲市场下跌风险。

从交易策略上可分为消极套期保值和积极套期保值。消极套保以风险最小化为目标，不预测市场走势，仅仅在期货和现货市场同时反向操作，以保证已有的股票仓位现货价值的稳定，完全的消极套保，头寸的性质相当于国债。积极套保相当于锁仓，预计市场不利于现货头寸时，采取套保操作锁定风险，一旦市场有利于现货头寸，则平仓期货头寸，取消套保操作，实现利润最大化。

本文运用时间序列模型估计最优套期保值比率的方法，研究比较了两种计算期货套期保值比率的效果，得出了各套期保值比率模型的优缺点。

2 预备知识：

2.1 关于最优套期比率确定方法

以空头期货保值为例

1．由套期保值收益方差风险达最小得到 （1）用价格标准差表示风险最小套期比 单位现货相应的空头保值收益：

Δb（k）=b(k)-b0(k)（两边求方差解出k）

k1*sf

s

f

（2）用改变量标准差表示风险最小套期比 单位现货相应的空头保值收益:

Δb（k）=Δs-kΔf （两边求方差解出k）

*k2sf

s

f

注意到（1）与（2）两种最优化方式得到有套期比k是不同的。 2．用收益率表示套期保值比率。

空头保值收益率（V为现货市值） RH=[(V-V0+D)-NF(F-F0)]/V0 = (V-V0+D)/V0-(NFF0/V0)[(F-F0)/F0] =RS-h*RF

由收益率风险达最小求出套期比

3 ．由对冲原理得到

要实现期货与现货完全对冲，必须满足以下风险中性原理(现货与期货组合风险为0)

Q*Δf +Q0*Δs=0 kΔf +Δs=0

k=Q/Q0=-ΔS/ΔF≈-ds/df

2.2 计算期货套期保值比率的相关模型

虽然上述介绍的h=ρσs/σf可以求最优套期比，但是其操作性不强。首先要求出三个量，然后再计算h，显然误差很大。为了减小误差，使用时间序列模型。

1、简单回归模型（OLS）

上述使方差风险最小求套期比的三种方法对应的三个OLS模型

stchfttstchftt RstchRftt

OLS不足：上述三个模型假设条件是残差“独立同方差”，即在残差项具有同方差性的假设下，其回归系数即是要求的最优套期比，但是这一条件太强，在金融市场上难以满足。

其中要解决最突出的两个问题

（1）s与f有协整关系时，OLS所得到的结果小于最优套期比 （2）三模型残差独立同方差问题。 2、协整与误差修正模型（ECM）

（1）期货价格序列与现货价格序列特点 1）二者常常是非平稳的；

2）二者具有两个经济逻辑性：二者有共同的趋势；期货到期时，二者有趋合性。由此，二者存在协整关系，那么用OLS的估计量将是有偏的。Ghosh(1993)通过实证发现，当不恰当地忽略协整关系时，所计算的套期比将小于最优值。

3）研究表明，使用ECM模型比OLS方法能够更有效地对冲现货头寸风险。 （2）使用ECM模型计算最优套期比的两步估计法 第一步：建立协整回归模型

stchftt

要注意在这一协整回归中保留残差：tsthft，方便第二步使用。 第二步：建立误差修正模型（ECM，一般模型）：

st01ifti2jstj(shf)t1vt

i0

j1

p

q

其实要建立的是ECM简单方程

stchftt（*）

修正误差模型

stchfthft1stvtchft(st1hft1)vt

stchftt1vt（**）

其中

t1st1hft1

误差修正模型（**）只是模型（*）的适当变形，这两模型是等价的。 与一般的修正误差模型比较

st01ifti2jstj(shf)t1vt

i0

j1

p

q

要建立的修正误差模型的简单形式为

stchftt1vt

ECM模型优劣：

优点：考虑到s与f有协整关系时，EMC模型比OLS方法能更有效地对冲现货头寸的风险。

缺点：还没有解决模型残差异方差问题。

2.3 期货套期保值比率绩效的评估

以空头期货套期保值为例，一个以1单位现货多头头寸和h个单位期货空头头寸的套期保值组合，组合价值和组合利润分别为：

b(h)shf，b(h)shf

因此，空头套期保值组合收益率为

b(h)shf



b(h)shf

空头套期保值（含多头）收益率的方差为

b(h)shf

VarVarb(h)shf





 

若这一方差小，说明经过套期保值后，收益率稳定，保值效果好。

3 期货最优套期保值比率的实证研究

3.1 数据搜集和整理

1、搜集数据

期货合约在交割前两个月最活跃，使价格信息释放最为充分，更能反映期货合约的真实价值，所以中国企业多用距离交割月份较近的期货合约进行保值。

表1 上海AL现货期货价格2006年4月3日至2007年4月13日数据

创建工作文件并输入数据 File\New\Workfile

因为数据是无观测日期的，所以选择Undated-or-irreqular栏： start：1；end：233，OK

手工输入数据

Quick\Empty Group

在Ser01输入s列数据；在Ser02输入f列数据；

改变量名：点击Ser01全选第一列，在命令栏输入s；点击Ser02全选第二列，在命令栏输入f。

将文件保存命名为hr

3.2 运用单方程时间序列模型估计最优套期比

1、用OLS模型估计最优套期比 （1）建立S关于F的回归方程

Dependent Variable: S Method: Least Squares Date: 04/30/11 Time: 20:35 Sample: 1 234

Included observations: 234

Variable C F

R-squared

Coefficient

3387.983 0.849188

Std. Error

937.2564 0.046694

t-Statistic

3.614788 18.18621

Prob.

0.0004 0.0000

20414.70 1035.698 15.85027 15.87981 330.7382 0.000000

0.587730 Mean dependent var 0.585953 S.D. dependent var 666.4354 Akaike info criterion 1.03E+08 Schwarz criterion -1852.482 F-statistic 0.296083 Prob(F-statistic)

图1 S关于F回归方程

Adjusted R-squared S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood Durbin-Watson stat

st3387.9830.849188ftt （1）

t=（3.614788）（18.18621） p=（0.0004） （0.0000）

ft系数的p值接近0，回归系数是显著的。回归结果得到每单位现货用0.849188单位期货进行空头保值，即最优套期比是0.849188。

结论1：由现货价S关于期货价F回归模型得到的套期比是：0.84918。 评价：

1）虽然模型（1）系数显著，但模型精度R^2=0.587730离1较远，精度不太高。而且不能排除模型（1）是伪回归。

2）这一结论只能保证在保值策略实施前（建模的样本内），模型（1）在一定程度上是有效的，不能保证在策略实施期（样本外）模型同样有效，所以使用这一结论进行套期保值需要注意到这些情况。

（2）建立Δst关于Δft的回归方程

在工作文件窗口的命令区，生成差分序列，以及Δst，Δft序列： GENR ds=s-s(-1) GENR df=f-f(-1)

建立Δst与Δft的OLS简单回归模型 最小二乘估计的命令 OLS：ds c df

Dependent Variable: DS Method: Least Squares Date: 04/30/11 Time: 20:40 Sample (adjusted): 2 234

Included observations: 233 after adjustments

Variable C DF

R-squared

Coefficient

0.108537 0.558804

Std. Error

23.08211 0.075577

t-Statistic

0.004702 7.393874

Prob.

0.9963 0.0000

-0.515021 390.9655 14.57556 14.60519 54.66937 0.000000

0.191373 Mean dependent var 0.187872 S.D. dependent var 352.3308 Akaike info criterion 28675647 Schwarz criterion -1696.053 F-statistic 2.638061 Prob(F-statistic)

Adjusted R-squared S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood Durbin-Watson stat

图2 ΔS关于ΔF的回归方程（含常数项）

常数项概率很大，接受常数为0的假设，重新定义方程：

OLS：ds df

Dependent Variable: DS Method: Least Squares Date: 04/30/11 Time: 20:44 Sample (adjusted): 2 234

Included observations: 233 after adjustments

Variable DF

R-squared

Coefficient

0.558803

Std. Error

0.075413

t-Statistic

7.409892

Prob.

0.0000

-0.515021 390.9655 14.56698 14.58179 2.638060

0.191373 Mean dependent var 0.191373 S.D. dependent var 351.5707 Akaike info criterion 28675650 Schwarz criterion -1696.053 Durbin-Watson stat

Adjusted R-squared S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood

图3 ΔS关于ΔF的回归方程（不含常数项）

st0.558803ftt

t=（7.409892） p=（0.0000）

Δft系数的p值接近0，回归系数是显著的，但每单位现货用0.558803单位期货进行空头保值，即最优套期比是0.558803。

可见，分别用套期比公式得到有结果k是不同的：

k1*sf

s*

0.849188，k2sfs0.558803 ff

结论2：由现货价差分ΔS关于期货价差分ΔF回归模型得到的套期比是：

0.558803。

评价：

1）虽然这一模型系数显著，但模型精度R^2=0.191373，精度非常低。而且也不能排除模型（2）是伪回归。

2）结论2只能保证在保值策略实施前（建模的样本内），ΔS与ΔF在一定程度上满足模型（2），不能保证在策略实施期（样本外）模型（2）同样有效。

3）结论2与结论1相比，结论1是保证在保值策略实施前（建模的样本内），S与F在一定程度上满足模型（1）；结论2是保证在保值策略实施前（建模的样本内），ΔS与ΔF在一定程度上满足模型（2）。

4）差分模型一般用于分析短期波动情况，所以模型（2）在不顾伪回归下，也只用于动态套期保值。

2、用ECM模型估计最优套期比 （1）对f和s分别进行平衡性检验

在F页面上，选View\Correlogram\Level，滞后期空格处填写24（用234除以10近似）

Date: 04/30/11 Time: 20:55 Sample: 1 234

Included observations: 234

Autocorrelation

.|*******| .|*******| .|*******| .|****** | .|****** | .|****** | .|***** | .|***** | .|***** | .|***** | .|***** |

Partial Correlation

.|*******| .|. | .|. | .|. | .|. | .|* | .|* | *|. | .|. | .|. | .|. |

AC

PAC Q-Stat Prob

1 0.946 0.946 211.99 0.000 2 0.896 0.018 403.21 0.000 3 0.849 -0.007 575.38 0.000 4 0.798 -0.050 728.36 0.000 5 0.756 0.051 866.32 0.000 6 0.726 0.092 994.01 0.000 7 0.706 0.090 1115.2 0.000 8 0.676 -0.092 1226.9 0.000 9 0.651 0.020 1331.0 0.000 10 0.625 -0.017 1427.3 0.000 11 0.594 -0.021 1514.8 0.000

.|**** | .|**** | .|**** | .|*** | .|*** | .|*** | .|*** | .|** | .|** | .|** | .|** | .|* | .|* |

*|. | *|. | .|. | *|. | .|. | .|. | *|. | .|. | *|. | .|. | *|. | .|* | .|. |

12 0.558 -0.078 1592.2 0.000 13 0.518 -0.058 1659.2 0.000 14 0.480 -0.017 1717.2 0.000 15 0.438 -0.061 1765.5 0.000 16 0.403 0.022 1806.6 0.000 17 0.376 0.042 1842.5 0.000 18 0.343 -0.087 1872.6 0.000 19 0.315 0.021 1898.1 0.000 20 0.283 -0.063 1918.8 0.000 21 0.250 -0.031 1935.0 0.000 22 0.210 -0.060 1946.5 0.000 23 0.182 0.076 1955.1 0.000 24 0.152 -0.039 1961.2 0.000

图4 F序列相关分析图

从图4的F序列自相关系数（AC）没有很快趋近0，说明序列F是非平稳的。 因为期货价格（资产价格序列）往往有一定的趋势和截距，所以对ADF单位根检验时，选择同时具有趋势项和常数项的模型。滞后项p要精确确定就是AIC准则，粗略确定由系统默认。

由上面分析，选择模型

xtxt1txtiut

i1p

进行单位检验（Unit Root Test）。假设H0:0；备择假设H1:0。 在工作文件窗口，选定变量F，双击它，在F页面上，点击View\Unit Root Test\ADF，表示已经进入扩展的DF检验。在Test for unit root in中，选择Level(对水平变量进行单位根检验，检验系数对应的项Ft-1)\Tren and interet(含漂移项和时间趋势项)\，其它选系统默认。

Null Hypothesis: F has a unit root Exogenous: Constant, Linear Trend

Lag Length: 0 (Automatic based on SIC, MAXLAG=14)

t-Statistic

-2.759187 -3.997930 -3.429229 -3.138092

Prob.* 0.2141

Augmented Dickey-Fuller test statistic Test critical values:

1% level 5% level 10% level

*MacKinnon (1996) one-sided p-values.

Augmented Dickey-Fuller Test Equation

Dependent Variable: D(F) Method: Least Squares Date: 04/30/11 Time: 20:58 Sample (adjusted): 2 234

Included observations: 233 after adjustments

Variable F(-1) C @TREND(1) R-squared

Coefficient

-0.062744 1300.498 -0.371437

Std. Error

0.022740 471.0594 0.316004

t-Statistic

-2.759187 2.760794 -1.175417

Prob.

0.0063 0.0062 0.2410

-1.115880 306.0687 14.27423 14.31867 3.824393 0.023233

0.032185 Mean dependent var 0.023769 S.D. dependent var 302.4093 Akaike info criterion 21033818 Schwarz criterion -1659.948 F-statistic 2.024316 Prob(F-statistic)

图5 F序列单位根检验

Adjusted R-squared S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood Durbin-Watson stat

期货价格F序列的ADF检验统计量观察值为t=-2.759187，比概率1%、5%和10%对应的三个临界值都大。对应的概率0.2141也比1%、5%和10%都大。所以这次ADF检验接受F非平稳的原假设，即认为F是非平稳的。

对F序列一次差分进行ADF检验，与上不同的是在Test for unit root in中，选择1st difference(对F序列的一次差分进行单位根检验)，其它都相同。

Null Hypothesis: D(F) has a unit root Exogenous: Constant, Linear Trend

Lag Length: 0 (Automatic based on SIC, MAXLAG=14)

t-Statistic

-15.81343 -3.998104 -3.429313 -3.138142

Prob.* 0.0000

Augmented Dickey-Fuller test statistic Test critical values:

1% level 5% level 10% level

*MacKinnon (1996) one-sided p-values.

Dependent Variable: D(F,2) Method: Least Squares Date: 04/30/11 Time: 21:06 Sample (adjusted): 3 234

Augmented Dickey-Fuller Test Equation

Included observations: 232 after adjustments

Variable D(F(-1)) C @TREND(1) R-squared

Coefficient

-1.043806 3.418524 -0.043658

Std. Error

0.066008 40.78842 0.301593

t-Statistic

-15.81343 0.083811 -0.144757

Prob.

0.0000 0.9333 0.8850

-0.991379 443.0252 14.30856 14.35313 125.0324 0.000000

0.521985 Mean dependent var 0.517810 S.D. dependent var 307.6361 Akaike info criterion 21672554 Schwarz criterion -1656.793 F-statistic 2.001017 Prob(F-statistic)

图6 F序列一次差分单位根检验

Adjusted R-squared S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood Durbin-Watson stat

从图6看到，期货价格F一次差分序列的ADF检验统计量观察值为t= -15.81343，比概率1%、5%和10%对应的三个临界值都小。对应的概率0.0000也比1%、5%和10%都小。所以这次ADF检验拒绝F一次差分序列非平稳的原假设。即认为F一次差分序列是平稳的。

所以ΔF~I（0），因此F~I（1）。 同理检验得到ΔS~I（0），因此S~I（1）。 （2）进行S和F的协整检验

由于S和F都是一阶单整的，满足协整检验的前提。由前面已用OLS方法建立了S关于F的回归方程：

st3387.9830.849188ftt

t=（3.614788）（18.18621） p=（0.0004） （0.0000）

根据协整检验要求，还要检验残差是否平稳，先生成残差变量：GENR e=resid 在工作文件窗口，选定变量e，双击e，在e页面上，点击View\Unit Root Test\ADF，选择Level(检验的模型为被检验变量是e的差分，检验系数对应的项是et-1)\None(不含常数项，不含时间项)。取系统默认p=4（因为没有做p=？AIC最小值），所以在lag length\user specifi中取4（表示差分滞后项数取4，即p=4）。得到结果：

Null Hypothesis: D(E) has a unit root Exogenous: None

Lag Length: 2 (Automatic based on SIC, MAXLAG=4)

t-Statistic

-14.14951 -2.575144

Prob.* 0.0000

Augmented Dickey-Fuller test statistic Test critical values:

1% level

5% level 10% level

-1.942224 -1.615772

Std. Error

0.168550 0.124301 0.065131

t-Statistic

-14.14951 5.309893 2.870114

Prob.

0.0000 0.0000 0.0045

1.614791 748.7820 14.56287 14.60799 2.049519

*MacKinnon (1996) one-sided p-values.

Dependent Variable: D(E,2) Method: Least Squares Date: 04/30/11 Time: 21:12 Sample (adjusted): 7 234

Augmented Dickey-Fuller Test Equation

Included observations: 228 after adjustments

Variable D(E(-1)) D(E(-1),2) D(E(-2),2)

R-squared

Coefficient

-2.384893 0.660024 0.186935

0.784291 Mean dependent var 0.782374 S.D. dependent var 349.3100 Akaike info criterion 27453931 Schwarz criterion -1657.167 Durbin-Watson stat

Adjusted R-squared S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood

图7 S关于F协整回归残差的单位根检验

从图7看到，S关于F协整回归残差的ADF检验统计量观察值为t= -14.14951，比概率1%，5%、10%对应的两个临界值都小，对应的概率 0.0000也比1%，5%、10%小。ADF检验得到拒绝残差序列非平稳的原假设。即认残差序列是平稳的，即残差e~I（0）。

所以在1%的概率水平下，S与F序列存在协整关系，其协整方程为：

st3387.9830.849188ftt

t=（3.614788）（18.18621） p=（0.0004） （0.0000）

（3）建立误差修正模型（ECM）

由上面得知，S与F序列存在协整关系。建立误差修正模型可分析向长期均衡状态调整的非均衡动态调整过程。

原来协整模型形式如下

St01Ftut（*）

变成为误差修正模型

St01Ft1Ft1St1ut01Ft(St11Ft1)ut

St01Ftt1ut（**）

其中

t1St11Ft1

与一般的修正误差模型比较

yt01ixti2jytj(ykx)t1t

i0

j1

p

q

要建立的修正误差模型的简单形式为

St011Ftt1ut

前面已生成了ECM所需要的序列变量 GENR E=RESID GENR DS=S-S(-1) GENR DF=F-F(-1)

最小二乘估计命令建立修正误差模型 OLS：DS C DF E(-1) 得到回归结果为

Dependent Variable: DS Method: Least Squares Date: 04/30/11 Time: 21:16 Sample (adjusted): 4 234

Included observations: 231 after adjustments

Variable C DF E(-1)

R-squared

Coefficient

0.053921 0.571531 0.319818

Std. Error

22.38466 0.073081 0.073165

t-Statistic

0.002409 7.820501 4.371212

Prob.

0.9981 0.0000 0.0000

-0.692641 392.0187 14.50992 14.55463 38.68963 0.000000

0.253387 Mean dependent var 0.246838 S.D. dependent var 340.2130 Akaike info criterion 26389835 Schwarz criterion -1672.896 F-statistic 2.739030 Prob(F-statistic)

Adjusted R-squared S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood Durbin-Watson stat

图8 修正误差模型输出结果（包含常数）从图8的结果得到，常数非常不显著，所以省去常数项，重新定义方程。 OLS：DS DF E(-1)

Dependent Variable: DS Method: Least Squares

Date: 04/30/11 Time: 21:18 Sample (adjusted): 4 234

Included observations: 231 after adjustments

Variable DF E(-1)

R-squared

Coefficient

0.571530 0.319818

Std. Error

0.072921 0.073005

t-Statistic

7.837714 4.380792

Prob.

0.0000 0.0000

-0.692641 392.0187 14.50126 14.53107 2.739030

0.253387 Mean dependent var 0.250127 S.D. dependent var 339.4694 Akaike info criterion 26389836 Schwarz criterion -1672.896 Durbin-Watson stat

Adjusted R-squared S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood

图9 修正误差模型输出结果（不包含常数）

由图9得到所要建ECM为：

St0.571530Ft0.319818t1 （3）

t=（7.837714） （4.380792） p=（0.0000） （0.0000）



从F统计量看出该方程整体上系数是显著的，自变量系数和误差修正项系数的t统计量都很显著，故该回归模型拟合得很好。ECM得到每单位现货头寸要用0.57153单位相反的期货头寸进行对冲。这一结果与序列差分的OLS模型估计出的结果0.558803相近；但与序列的OLS模型估计出的结果0.84988相差较大。

结论3：由ECM得到的套期比是：0.571530。 评价：

1）虽然这一模型系数显著，但模型精度R^2=0.253387，精度不高。 2）模型（3）排除了伪回归。

3）结论3的依据是ECM，理论上保证了样本内和样本外都有效，但ECM是用于分析短期波动的，模型有两项：一是S和F的短期变化；二是S偏离上一期的均衡程度，系数是-0.3198，当期ΔS和ΔF的变化用-0.3198份上期误差进行调整，使期回到均衡状态。

4）可见ECM用于动态套期保值较好。

3.3 各模型套期比的绩效比较

因为套期保值目的是规避风险，所以使用用套期保值（含空头和多头套期保值）收益率方差

b(h)shf

VarVarb(h)shf





 

可以评价套期保值效果。套期保值收益率方差越小，说明经过套期保值收益率越稳定，保值效果越好。

1、现货价差分ΔS关于期货价差分ΔF的OLS模型的最优套期比是

0.558803。Eviews命令窗口生成套期保值收益率序列：

Series p1=(ds-0.558803*df)/(s-0.558803*f)

打开p1序列，在序列菜单View下拉菜单下观察序列的描述性统计量 Descreptive statistics\Histogram and stats

图14 ΔS关于ΔF的OLS模型最优套期比效果的统计描述

由Std.Dev.后面的数据，说明序列p1标准差为0.032453。

2、ΔS关于ΔF的ECM单位方程的套期比是：0.571530。Eviews命令窗口生成套期保值收益率序列：

Series p2=(ds-0.571530*df)/(s-0.571530*f)

打开p2序列，在序列菜单View下拉菜单下观察序列的描述性统计量 Descreptive statistics\Histogram and stats

图15 ΔS关于ΔF的ECM单位方程套期比效果的统计描述

由Std.Dev.后面的数据，说明序列p2标准差为0.033592。 比较p1 和p2和的标准差知道，p1的标准差最小，说明p1对应的模型最好。