高中数学圆锥曲线题目及答案

京翰提示：圆锥曲线的考题一般是两个选择、一个填空、一个解答题, 客观题的难度为中等, 解答题目相对较难, 同时平面向量的介入, 增加了本专题高考命题的广度圆锥曲线高考热点题型归纳。正圆锥曲线的考题一般是两个选择、一个填空、一个解答题, 客观题的难度为中等。

高二数学—圆锥曲线综合练习

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1．已知|a |=|b |，a

→

→

→

⊥b ，且（a +b ）⊥（k a -b ），则k 的值是( )

→

→→→

→

A．1 B．-1 C．0 D．-2 2

、已知

a =b =a ⋅b =-3，则a 与b 的夹角是（ ）

A 、150︒ B、120︒ C、60︒ D、30︒ 3、若=(3, 4), =(2, -1), 且(+x ) ⊥(-) , 则实数x=（ ）

232323 C、 D、 234

4、已知a =(1,2) , b =(2x , -3) 且a ∥b , 则x =（ ）

A 、23 B、A 、－3

B、-

3 4

C、0 D、

3 4

x 2y 2

5．椭圆2+2=1 (a >b>0)离心率为

a b

A ．

22

y x , 则双曲线-=1的离心率为 ( ）

2a 2b 2

52

B ．5 C． 432

D ．

4

6．抛物线顶点在原点，焦点在y 轴上，其上一点P(m，1) 到焦点距离为5，则抛物线方程为（ ）

A ．x =-8y B ．x =8y

2

22

C ． x =-16y

2

D ．x =16y

2

7．若过原点的直线与圆x +y +4x +3=0相切，切点在第三象限，直线的方程是( ）

2

A ．y =3x B ．y =-3x C ．y =

x 3

D ．y =-

x 3

x 2y 2

+=1的焦点为F 1和F 2，点P 在椭圆上，如果线段PF 1中点在y 轴上，那8．椭圆

123

么|PF1|是|PF2|的 （ ）

A ．7倍 B．5倍 C．4倍 D．3倍

9．以原点为圆心，且截直线3x +4y +15=0所得弦长为8的圆的方程是 ( ）

A ．x 2+y 2=4 B ．x 2+y 2=5 C ．x 2+y 2=16 D ．x 2+y 2=25

y 2

10．过双曲线x －=1的右焦点F 作直线l 交双曲线于A , B 两点，若|AB |=4，则这样

2

2

的直线l 有 （ ）

A ．1条 B ．2条

2

C ．3条 D ．4条

11．如图，过抛物线y =2px

线于点C ，若 A ．y 2= C ．y 2=

(p >0) 的焦点F 的直线l 交抛物线于点A ．B ，交其准

，且AF =3BC =2BF

3

x 29

x 2

B ．y 2=3x D ．y 2=9x

12．已知双曲线E 的中心为原点，P (3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (-12, -15) , 则E 的方程式为（ ）

x 2y 2x 2y 2x 2y 2

-=1 (B) -=1 (C) -=1 (A)

364563

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

x 2y 2

-=1 (D)

54

13．椭圆的焦点是F 1（－3，0）F 2（3，0），P 为椭圆上一点，且|F1F 2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，则椭圆的方程为_____________________________． 14．若直线mx +ny -3=为 ．

0与圆x 2+y 2=3没有公共点，则m , n 满足的关系式

y 2

=1上一点，焦点F （2，0）15．设点P 是双曲线x -，点A （3，2），使|PA |+1|PF |32

2

有最小值时，则点P 的坐标是________________________________．

16．已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为 ．

三、解答题（本大题共6小题，共70分）

17、已知e 1、e 2是夹角为60°的两个单位向量，a =3e 1-2e 2，b =2e 1-3e 2，

(1)求a ⋅b ; (2)求a +b 与a -b 的夹角.

x

2y 2

+=1有相同焦点，且经过点，求双曲线的方程双曲线与椭圆

2736

x 2y 2

+=1上一点，F 1、F 2为左右焦点，若∠F 1PF 2=60︒ 19．P 为椭圆259

（1） 求△F 1PF 2的面积； （2） 求P 点的坐标．（12分）

20．已知抛物线

y 2=4x ，焦点为F ，顶点为O ，点P 在抛物线上移动，Q 是OP 的中点，

M 是FQ 的中点，求点M 的轨迹方程．（12分）

21、已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在坐标轴上，直线

y =x +1与椭圆交于P 和Q ，且OP ⊥OQ ，|PQ |=

圆方程

2

，求椭

22、(2010年高考题) 设F 1, F 2

y 22

分别是椭圆E ：x +2

b

=1（0

F 1的直线l 与E 相交于A 、B 两点，且AF 2，AB ，BF 2成等差数列。

（Ⅰ）求AB ； （Ⅱ）若直线l 的斜率为1，求b 的值。

高二数学测试—圆锥曲线综合（2）参考答案

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

x 2y 2

+=1 14．013．

3627

22

21

, 2) 16．3 3

三、解答题（本大题共6题，共70分）

11

17、①⋅= ;②90

2

18、解：

由题意知双曲线焦点为F 1(0,-3) F 2(0,3)，可设双曲线方程为

y 2x 2

-=1, 22a 9-a

在y 2x 2

在曲线上，代入得a =4或a =36(舍) ∴双曲线的方程为-=1

45

2

2

19．（12分）

[解析]：∵a ＝5，b ＝3∴c ＝4 （1）设①

2

t 12+t 2-2t 1t 2⋅cos 60︒=82 ②，由①－②得t 1t 2

2

|PF 1|=t 1，|PF 2|=t 2，则t 1+t 2=10

=12

∴S ∆F 1PF 2=

113

t 1t 2⋅sin 60︒=⨯12⨯=33 222

（4

2）设P

(x , y )

，由

S ∆F 1PF 2=

1

⋅2c ⋅|y |=4⋅|y |2

得

|y |=33∴|y |=

54

，

333⇒y =±，将y =± 代入椭圆方程解得

444

533

, ) 44

或

P (

53, -) 44

x =±

P (-

∴P (

或

P (-

533

, ) 44

或

53

, -) 44

20．（12分）[解析]：设M （x , y ），P （x 1, y 1），Q （x 2, y 2），易求y 2=4x 的焦点

F 的坐标为（1，0）

1+x 2

∵M 是FQ 的中点，∴⎧x = ⇒⎧x 2=2x -1，又Q 是OP 的中点∴

⎪⎨⎪2

⎩y 2=2y ⎨2

y ⎪y =⎪⎩2

x 1⎧⇒⎧x 1=2x 2=4x -2， ⎪x 2=

⎪2

⎨

⎪y =y 1

2⎪⎩2

⎨

⎩y 1=2y 2=4y

∵P 在抛物线y 2=4x 上，∴(4y ) 2=4(4x -2) ，所以M 点的轨迹方程为y 2=x -1.

2

21、解 设椭圆方程为mx +ny =1(m ＞0, n ＞0) ，P (x 1, y 1), Q (x 2, y 2)

22

⎧y =x +1由⎨2 得(m +n ) x 2+2nx +n －1=0,Δ=4n 2－4(m +n )(n －1) ＞0, 2

⎩mx +ny =1

即m +n －mn ＞0,

由OP ⊥OQ , 所以x 1x 2+y 1y 2=0,即2x 1x 2+(x 1+x 2)+1=0,

2(n -1) 2n

-∴+1=0,∴m +n =2 ①

m +n m -n

又2

4(m +n -mn ) 23

=() , 将m +n =2,代入得m ·n =

m +n 24

1331

, n =或m =, n = 2222

②

由①、②式得m =

22解：（1）由椭圆定义知|AF 2|+|AB|+|BF 2|=4 又2|AB |=|AF 2|+|BF 2|,得|AB |=

4

3

（2）L 的方程式为y=x+c,

其中c =

设A (x 1，y 1),B(x 1，y 1) , 则A ，B 两点坐标满足方程组

{ y=x+c

y 2

x 2+

=1

222

(1+b ) x +2cx +1-2b =0. 化简得

-2c 1-2b 2

x 1+x 2=, x 1x 2=. 22

1+b 1+b 则

因为直线AB 的斜率为1

，所以

|AB|=x 2-x 1|

2

2

4

84(1-b ) 4(1-2b ) 8b 24=(x +x ) -4x x =-==x 2-x 1|12122222

9(1+b ) 1+b 1+b 3即

.则

b =

解得

2.