一个最优化问题的解法探讨
湖北省阳新县高级中学 邹生书
普通高中课程标准实验教科书A版《数学1》人民教育出版社2007年第2版第25页习题1.2
组第4题是一道意境深远的应用题，在高三复习函数的应用时我们将其改造成如下一道最优化应用题，本文试图从解题思路和解法方面作些探讨与读者交流。
题目 如图所示，一座小岛距离海岸线上最近的点
的距离是2
，从点
沿海岸正东12
处有个城镇，假设一个人驾驶的小船的平均速度为3
/
，步行的速度为5
/
，试问此人在何处靠岸从小岛到城镇所用时间最短，最短时间是多少？
思路一、构建函数模型
分析 这是一道最优化问题，其一般思路是建立函数模型求函数最值。这里边有两个关键，首先是选择合适的变元作为自变量这一点非常重要，自变量的选择直接影响函数模型的建立和后面求最值方法的选择及解法的繁难，其次是根据函数解析式怎样求出函数最值。本题可选择线段长为自变量也可选择角为自变量。
1.设线段长为自变量
解 设此人在海岸点
处靠岸，点
到点
的距离
，则
，
，又设小岛到城镇所需要的时间为
小时。则
与
间的函数关系式为
，即
。
法1（判别式法）设
，此函数是原函数的核心部分，当
最小值时
最小。由
得
，两边平方整理得
，因方程有实根，所以有
，解得
，所以
，此时方程有两个相等实根
，故当
时，
。
故此人应在海岸线
上距
点
处靠岸，从小岛到城镇所用时间最短，最短时间是2小时56分钟。
点评 本解法通过设线段长为自变量建立函数模型，先将实际问题转化为一个无理函数的最值问题，再通过平方法，将函数问题转化为一元二次方程，最后用判别式法求出
的取值范围，从而求出问题的最值。
法2（导数法）函数
两边同时对
求导得，
，令
得
，又本题在
内只有一个极值点，据题意本题有最小值，故当
时，
，下同法1这里从略。
2.设角为自变量
解 设
，则
，从而
，所以
，因为
，又
，所以
。化切为弦得
，即
，这个函数的核心部分是
，则问题转化为求这个核心函数的最小值。该函数的最小值求法很多，下面给出三种解法。
法3（导数法）式子
两边同时对
求导得，
，令
得
，又本题只有一个极值点，据题意本题有最小值，故当
时，所以
，即当
时，
。
法4（数形结合）由
联想到斜率公式，如图，此式是过两点
的直线的斜率，因为
为锐角，所以点
在第二象限的椭圆
上，由图可知当直线
与椭圆相切时，斜率最大，又椭圆在点
处的切线方程为
，又因为此切线经过点
，将点
的坐标代入得
，所以
，所以
，
。
点评 由函数式子结构特点联想到斜率公式，由点
的坐标联想到椭圆方程，数形结合联想丰富，解法有创意。
法5（用弦函数的有界性）由
得
，由正弦函数的有界性知
，所以
，所以
。当
时，则有
，移项得
，两边平方整理得
，解得
，所以
，所以
，
。
思路二 构建物理模型
此题可类比光学知识解决。光学费马原理告诉我们：两点之间光沿着所需时间为最短的路径传播。我们又知道光在两种媒介传播时遵循折射定律：光在两种媒介中的传播速度之比等于入射角与反射角的正弦之比。
法6（用光学知识）把
分别视为
的入射光线和折射光线，设入射角为
折射角为
，依题意
，类比光学原理和折射定律，当
，即
时所用时间最短，此时
，又
，所以
，
。
点评 综合运用多学科知识思考问题解决问题，是素质教育和新课改的要求。本解法联想到物理光学知识，构造物理模型用物理学知识解决数学问题，学科内容相互交叉思想方法相互深透，体现综合素质，解法新颖独特有创意，构造物理模型解决数学问题，它山之石可以攻玉。