圆锥曲线专题---基本量的计算
第十六讲 圆锥曲线—基本量的计算
编写赵继森审查张瑞翠
高考趋势
理解椭圆的标准方程与几何性质；了解中心在原点的双曲线方程与几何性质；了解中心
在原点的抛物线方程与几何性质（理科附加是理解）。求圆锥曲线的标准方程及利用图形的
几何性质解决综合问题是高考中常考的问题。
考点展示
x 2y 2χ2γ2
1. 已知双曲线2-2=1的离心率为2，焦点与椭圆+=1的焦点相同，那么双曲线a b 259
的焦点坐标为 ；渐近线方程为
x 2y 2
2. 已知双曲线2-2=1(a >0, b >
0) 的一条渐近线方程是y =，它的一个焦点与抛a b
物线y =16x 的焦点相同。则双曲线的方程为 2
x 2y 2
3. 椭圆+=1上一点M 到左焦点F 1的距离为2，N 是MF 1的中点，则ON 的长259
是 ．
x 2y 2
4. 已知椭圆+=1满足条件：m , n , m +n 成等差数列，则椭圆离心率为 m n
x 2y 2
5. 已知椭圆右焦点为F 2，点P 为该椭圆上一动点，则当PA 1∙PF 2+=1的左顶点为A 1，43
取最小值时，PA 1+PF 2的值为；
样题剖析
x 2y 2
例1．设F 1 ，F 2分别是椭圆C ：2+2=1(a ＞b ＞0) 的左右焦点，过F 1作直线与椭圆C 交a b
于A ，B 两点，已知△ABF 2的周长为8b ．
(Ⅰ) 求椭圆C 的离心率e ；
(Ⅱ) 若椭圆C 的右准线上存在一点M ，使得△F 1F 2M 为等腰三角形，且△F 1F 2
M 的面积为
，求椭圆C 的方程．
例2．一束光线从点F 1(-1,0) 出发，经直线l:2x -y +3=0上一点P 反射后，恰好穿过点
F 2(1,0)．
（1）求P 点的坐标；
（2）求以F 1、F 2为焦点且过点P 的椭圆C 的方程；
（3）设点Q 是椭圆C 上除长轴两端点外的任意一点，试问在x 轴上是否存在两定点A 、B ，
使得直线QA 、QB 的斜率之积为定值？若存在，请求出定值，并求出所有满足条件的定点
A 、B 的坐标；若不存在，请说明理由．
x 2y 2
例3．设椭圆C :2+2=1(a >b >0) 的上顶点为A ，椭圆C 上两点P , Q 在x 轴上的射a b
影分别为左焦点F 1和右焦点F 2，直线PQ 的斜率为
交于点B ，∆AF 1B 的外接圆为圆M ．
(1)求椭圆的离心率；
(2)直线3x +4y +3，过点A 且与AF 1垂直的直线与x 轴2121 a =0与圆M 相交于E , F 两点，且ME ⋅MF =- a 2，求椭圆方程；42
(3)设点N (0,3)在椭圆C 内部，若椭圆C 上的点到点N
的最远距离不大于，求椭圆C
的短轴长的取值范围．
自我测试
x 2y 2
1、椭圆2+2=1(a >b >0) 的中心、右焦点、右顶点、右准线与x 轴的交点依次为O 、a b
|FA |F 、A 、H ，则的最大值为 ； |OH |
2、已知定点A （3，4），点P 为抛物线y =4x 上一动点，点P 到直线x =－1的距离为d ，则
|PA|+d的最小值为 ； 2
x 2y 2233、已知双曲线2-2=1(a >0, b >0) 的离心率的取值范围是e ∈[, 2]，则两渐近3a b
线夹角的取值范围 ；
x 2y 214、如图，点A 是椭圆过点A
的直线l 1:y =kx +
，+=1的上顶点，l 2:y =x +42k
（k ＞0, k≠1）分别交椭圆于点B ，C ，当k 变化时，求证：（1）直线BC 的斜率小于－2；
（2）直线BC 经过y 轴上的一个定点.
5、已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C
轴、短轴的端点，点O 到直线AB
，点A ，B 分别是椭圆C 的长（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知点E （3，0），设点P ，Q 是椭圆上C 上的两个动点，满足EP ⊥EQ ，
求EP ·QP 的取值范围