对数的运算及对数函数
§2.2.1 对数与对数运算(一)
¤知识要点:
1. 定义:一般地,如果a x =N (a >0, a ≠1) ,那么数 x 叫做以a 为底 N 的对数(logarithm ). 记作 x =log a N ,其中a 叫做对数的底数,N 2. 我们通常将以10为底的对数叫做常用对数(common logarithm),并把常用对数log 10N 简记为lg 在
科学技术中常使用以无理数e=2.71828„„为底的对数,以e 为底的对数叫自然对数,并把自然对数log e N 简记作ln
3. 根据对数的定义,得到对数与指数间的互化关系:当a >0, a ≠1时,log a N =b ⇔a b =N .
4. 负数与零没有对数;log a 1=0, log a a =1 ,a log a N =N ¤例题精讲:
【例1】将下列指数式化为对数式,对数式化为指数式:
1
; (2)3a =27; (3)10-1=0.1; 128
(4)log 132=-5; (5)lg0.001=-3; (6)ln100=4.606.
(1)2-7=
2
【例2】计算下列各式的值:(1)lg 0.001; (2)log 48; (3
)
第14练 §2.2.1 对数与对数运算(一)
※基础达标
1.log b N =a (b >0, b ≠1, N >0) 对应的指数式是( ). A. a b =N B. b a =N C. a N =b D. b N =a 2.下列指数式与对数式互化不正确的一组是( ). A. e =1与ln1=0 B. 8
12
1-() 3
111=与log 8=- 223
C. log 39=2与9=3 D. log 77=1与71=7 3.设5lg x =25,则x 的值等于( ).
A. 10 B. 0.01 C. 100 D. 1000
13
=,则底数x 的值等于( ). 82
11
A. 2 B. C. 4 D.
24
4.设log x
5.已知log 4[log3(log2x )]=0,那么x A.
-1
2
等于( ).
1
B.
C.
D. 31
6.若log 2x =,则x ; 若log x 3=-2,则x .
3
6
7
.计算:; l g 0. =1
※能力提高
8.求下列各式的值:(1
)
1
8; (2
)log 9
9.求下列各式中x 的取值范围:(1)log x -1(x +3) ; (2)log 1-2x (3x +2) .
※探究创新
10.(1)设log a 2=m ,log a 3=n ,求a 2m +n 的值.
(2)设A ={0,1,2}, B ={loga 1,log a 2, a },且A =B ,求a 的值.
第15讲 §2.2.1 对数与对数运算(二)
¤知识要点:
1. 对数的运算法则:log a (M N ) =log a M +log a N ,log a
M
=log a M -log a N ,log a M n =n log a M ,N
其中a >0, 且a ≠1,M >0, N >0, n ∈R . 三条法则是有力的解题工具,能化简与求值复杂的对数式.
2. 对数的换底公式log a N =
log b N 1
. 如果令b =N ,则得到了对数的倒数公式log a b =. 同样,也可log b a log b a
以推导出一些对数恒等式,如log a n N n =log a N ,log a m N n =
¤例题精讲:
【例2】若2a =5b =10,则
【例4】(1)化简:
n
log a N ,log a b log b c log c a =1等. m
11
+. a b
111
++; log 57log 37log 27
(2)设log 23log 34log 45⋅⋅⋅log 20052006log 2006m =4,求实数m 的值.
第15练 §2.2.1 对数与对数运算(二)
※基础达标 1
.
).
2
A. 1 A. -a
B. -1
B. a 2
C. 2 D. -2 D. a
2
.log 5(-a ) (a ≠0)化简得结果是( ).
C. |a |
3
.化简log 31的结果是( ). A.
1
B. 1 C. 2
2
2
4.已知f (x 3) =log 2x , 则f (8)的值等于( ). A. 1 B. 2 C. 8 D. 12
5.化简log 34⋅log 45⋅log 58⋅log 89的结果是 ( ).
3
C. 2 D.3 2
6.计算(lg5)2+lg2⋅lg50=
A .1 B.
7.若3a =2,则log 38-2log 36=.
第16讲 §2.2.2 对数函数及其性质(一)
¤知识要点:
1. 定义:一般地,当a >0且a ≠1时,函数y=loga x 叫做对数函数(logarithmic function). 自变量是x ; 函数的定义域是(0,+∞).
2. 由y =log 2x 与y =log 1x 的图象,可以归纳出对数函数的性质:定义域为(0,+∞) ,值域为R ;当x =1
2
时,y =0,即图象过定点(1,0);当01时,在(0,+∞) 上递增.
¤例题精讲:
【例1】比较大小:(1)log 0.90.8,log 0.90.7,log 0.80.9; (2)log 32,log 23,log 4
【例2】求下列函数的定义域:(1
)y (2
)y
【例4】求不等式log a (2x +7) >log a (4x -1) (a >0, 且a ≠1) 中x 的取值范围.
1. 3
第16练 §2.2.2 对数函数及其性质(一)
※基础达标
1.下列各式错误的是( ).
A. 30.8>30.7 B. 0.75-0.1log 0..50.6 D. lg1.6>lg1.4.
2.当0
A
C
3
3.下列函数中哪个与函数y =x 是同一个函数( )
x 2
A. y =a (a >0, a ≠1) B. y = C. y =log a a x (a >0, a ≠1) D. y
x
4
.函数y ).
log a x
A. (1,+∞) B. (-∞,2) C. (2,+∞) D. (1,2]
5.若log m 9
A. m >n >1 B. n >m >1 C. 0
.函数y = (用区间表示)
7.比较两个对数值的大小:ln 7ln12 ; log 0.50.7log 0.50.8. ※能力提高
8.求下列函数的定义域:(1) f (
x )=
+log 3(x +1); (2
)y
9.已知函数f (x ) =3+log 2x , x ∈[1,4],g (x ) =f (x 2) -[f (x )]2,求: (1)f (x ) 的值域; (2)g (x ) 的最大值及相应x 的值.
第17讲 §2.2.2 对数函数及其性质(二)
¤知识要点:
1. 当一个函数是一一映射时, 可以把这个函数的因变量作为一个新函数的自变量, 而把这个函数的自变量新的函数的因变量. 我们称这两个函数为反函数(inverse function). 互为反函数的两个函数的图象关于直线y =x 对称.
2. 函数y =a x (a >0, a ≠1) 与对数函数y =log a x (a >0, a ≠1) 互为反函数. 3. 复合函数y =f (ϕ(x )) 的单调性研究,口诀是“同增异减”,即两个函数同增或同减,复合后结果为增函数;若两个函数一增一减,则复合后结果为减函数. 研究复合函数单调性的具体步骤是:(i )求定义域;(ii )拆分函数;(iii )分别求y =f (u ), u =ϕ(x ) 的单调性;(iv )按“同增异减”得出复合函数的单调性.
¤例题精讲:
【例1】讨论函数y =log 0.3(3-2x ) 的单调性.
4
【例2】(05年山东卷. 文2)下列大小关系正确的是( ). A. 0.43
第17练 §2.2.2 对数函数及其性质(二)
※基础达标 1.函数y =lg
1+x
的图象关于( ). 1-x
D. 直线y =x 对称
A. y 轴对称 B. x 轴对称 C. 原点对称
2
2.函数y =log 1(x -6x +17) 的值域是( ).
2
A. R B. [8,+∞) C. (-∞, -3] D. [3,+∞)
3.(07年全国卷. 文理8)设a >1,函数f (x ) =log a x 在区间[a ,2a ]上的最大值与最小值之差为( ).
A.
B. 2
C.
D. 4
1
,则a =2
4.图中的曲线是y =log a x 的图象,已知a
的值为则相应曲线C 1, C 2, C 3, C 4的a 依次为( ).
431,,,3105
y
C 2
0 1
C 1
x C 3 C 4
413431,,
B. ,, [1**********]431
C. ,, D. ,,
3
1055103
A.
5.下列函数中,在(0,2)上为增函数的是( ). A. y =log 1(x +1)
B. y =log 2
2
C. y =log 2
1x
D.
y =log 0.2(4-x 2)
6.
函数f (x ) =x ) 是函数. (填“奇”、“偶”或“非奇非偶”)
7.函数y =a x 的反函数的图象过点(9,2),则a 的值为※能力提高
8.已知f (x ) =log a
5
6
, (a >0, a ≠1) ,讨论f (x ) 的单调性. x -b
第18讲 §2.3 幂函数
¤学习目标:通过实例,了解幂函数的概念;结合函数y=x, y=x2, y=x3, y=1/x , y=x1/2 的图像,了解它们的
变化情况.
知识要点:
1. 幂函数的基本形式是y =x α,其中x 是自变量,α是常数. 要求掌握y =x ,
y =x 2,y =x 3,y =x 1/2,y =x -1这五个常用幂函数的图象. 2. 观察出幂函数的共性,总结如下:(1)当α>0时,图象过定点(0,0),(1,1);在(0,+∞) 上是增函数. (2)当α
在第一象限内,图象向上及向右都与坐标轴无限趋近.
3. 幂函数y =x α的图象,在第一象限内,直线x =1的右侧,图象由下至上,指数α由小到大. y 轴和直线x =1之间,图象由上至下,指数α由小到大.
¤例题精讲:
【例1】已知幂函数y =f (x ) 的图象过点(27,3),试讨论其单调性. 解:设y =x α,代入点(27,3),得3=27α,解得α=所以y =x ,在R 上单调递增.
【例2】已知幂函数y =x m -6(m ∈Z ) 与y =x 2-m (m ∈Z ) 的图象都与x 、y 轴都没有公共点,且
13
1, 3
y =x m -2(m ∈Z ) 的图象关于y 轴对称,求m 的值.
解:∵ 幂函数图象与x 、y 轴都没有公共点,∴
{
m -6
,解得2
2-m
又 ∵ y =x m -2(m ∈Z ) 的图象关于y 轴对称, ∴ m -2为偶数,即得m =4. 【例3】幂函数y =x m 与y =x n 在第一象限内的图象如图所示,则( ). A .-11 D .n 1
解:由幂函数图象在第一象限内的分布规律,观察第一象限内直线x =1的右侧,图象由下至上,依次是y =x n ,y =x -1,y =x 0,y =x m ,y =x 1,所以有n
点评:观察第一象限内直线x =1的右侧,结合所记忆的分布规律. 注意比较两个隐含的图象y =x 1与y =x 0.
【例4】本市某区大力开展民心工程,近几年来对全区a m 2的老房子进行平改坡(“平改坡”是指在建筑结构许可条件下,将多层住宅平屋面改建成坡屋顶,并对外墙面进行整修粉饰,达到改善住宅性能和建筑物外观视觉效果的房屋修缮行为),且每年平改坡面积的百分比相等. 若改造到面积的一半时,所用时间需10年. 已
. (1)求每年平改坡的百分比;(2)问到今年为止,该平改坡工程已进行了多少年?
a
(3)若通过技术创新,至少保留m 2的老房子开辟新的改造途径. 今后最多还需平改坡多少年?
4
解:(1)设每年平改坡的百分比为x (0
11
1101101
a (1-x ) =a ,即1-x =() ,解得x =1-() ≈0.0670=6.70%.
222
n 11011n
,即() =() 2,解得n =5. (2)设到今年为止,该工程已经进行了n
年,则a (1-x ) =
2210
所以,到今年为止,该工程已经进行了5年
.
6
m +5
+51m 1011
=() 2,解得m =15. =a ,即() 224
(3)设今后最多还需平改坡m 年,则 a (1-x )
所以,今后最多还需平改坡15年.
点评:以房屋改造为背景,从中抽象出函数模型,结合两组改造数据及要求,通过三个等式求得具有实际意义的底数或指数.
第
※基础达标
1 A. 16 B. 2 C. 162.下列函数在区间(0,3)1.如果幂函数f (x ) =x α的图象经过点1
1 A. y = B. y =x 2 C. y x
3.设a =0.7,b =0.8,c =log 30.7 A. c c 4相应的n 依次为( ).
111 A .2, , -, -2 B. 2, , -222111 C. -, -2,2, D. -2, -2225.下列幂函数中过点(0,0),(1,1) A. y =x B. y =x 4 C. y =6.幂函数y =f (x ) 的图象过点(4,) 7.比较下列各组数的大小: (a +2) a ; (5+a ) ※能力提高
7+3t -2t 2
5
32
32
1212
2
-
23
5
-
23
; 0.40.50.50.4.
8.幂函数f (x ) =(t -t +1) x 是偶函数,且在(0,+∞) 上为增函数,求函数解析式.
9.1992年底世界人口达到54.8亿,若人口的平均增长率为x %,2008年底世界人口数为y (亿).
(1)写出1993年底、1994年底、2000年底的世界人口数; (2)求2008年底的世界人口数y 与x 的函数解析式. 如果要使2008年的人口数不超过66.8亿,试求人口的年平均增长率应控制在多少以内?
※探究创新
10.请把相应的幂函数图象代号填入表格.
7
3
① y =x ; ② y =x ;③ y =x ; ④ y =x -1; ⑤ y =x ;⑥ y =x ;⑦ y =x 13
43
-12
23
-2
12
;⑧ y =x . 53
第19讲 第二章 基本初等函
数(Ⅰ) 复习
¤学习目标:理解掌握指数函数、对数函数和幂函数的性质、图象及运算性质. 突出联系与转化、分类与讨论、数与形结合等重要的数学思想、能力. 通过对指数函数、对数函数等具体函数的研究,加深对函数概念的理解.
¤例题精讲:
【例1】若f (x ) =a x (a >0, 且a ≠1) ,则f (
x 1+x 2f (x 1) +f (x 2)
. ) ≤
22
x 1+x 2
f (x 1) +f (x 2) x 1+x 2a x 1+a x 22
-f () =
-a ==≥0. 证明:
222x +x 2f (x 1) +f x (2)
∴ f (1. (注:此性质为函数的凹凸性) ) ≤
22
bx
【例2】已知函数f (x ) =2(b ≠0, a >0) .
ax +1
11
(1)判断f (x ) 的奇偶性; (2)若f (1)=, log 3(4a -b ) =log 24,求a ,b 的值.
22-bx
解:(1)f (x ) 定义域为R ,f (-x ) =2=-f (x ) ,故f (x ) 是奇函数.
ax +1
b 1
(2)由f (1)==,则a -2b +1=0. 又log 3(4a -b )=1,即4a -b =3.
a +12
a -2b +1=0由得a =1,b =1.
4a -b =3
{
e x a
【例3】(01天津卷.19)设a >0, f (x ) =+x 是R 上的偶函数.
a e
(1)求a 的值; (2)证明f (x ) 在(0,+∞) 上是增函数.
e x a
解:(1)∵ f (x ) =+x 是R 上的偶函数,∴ f (x ) -f (-x ) =0.
a e
x -x e a e a 111∴ +x ---x =0⇒(-a ) e x +(a -) e -x =0⇒(-a )(e x -e -x ) =0.
a a e a e a a
1
e x -e -x 不可能恒为“0”, ∴ 当-a =0时等式恒成立, ∴a =1.
a
(2)在(0,+∞) 上任取x 1<x 2,
e x 11111
f (x 1) -f (x 2) =+x 1-e x 2-x 2=(e x 1-e x 2) +(x 1) =(e x 1-e x 2)(1-x x ) x 2
a e e e -e e 1e 2
(e x 1-e x 2)(e x 1e x 2-1) x 1x 2x 1x 2
∵ e >1,x 1<x 2, ∴ e >e >1, ∴e e >1,<0,
e x 1e x 2
∴ f (x 1) -f (x 2)
点评:本题主要考查了函数的奇偶性以及单调性的基础知识.此题中的函数,也可以看成指数函数y =a x
与y =
x a x a
+的复合,可以进一步变式探讨y =+的单调性. a x a x
【例4】已知1992年底世界人口达到54.8亿.
(1)若人口的平均增长率为1.2%,写出经过t 年后的世界人口数y (亿)与t 的函数解析式;
(2)若人口的平均增长率为x %,写出2010年底世界人口数为y (亿)与x 的函数解析式. 如果要使2010年的人口数不超过66.8亿,试求人口的年平均增长率应控制在多少以内?
*
8+(1%1. t 2=) ⨯54. 8t t 1. ∈0N 12, 解:(1)经过t 年后的世界人口数为 y =54. ⨯.
(2)2010年底的世界人口数y 与x 的函数解析式为 y =54.8⨯(1+x %) 18.
8
由y =54.8⨯(1+x %) 18≤66.8,
解得x ≤100⨯1) ≈1.1. 所以,人口的年平均增长率应控制在1.1%以内.
点评:解应用题应先建立数学模型,再用数学知识解决,然后回到实际问题,给出答案. 此题由增长率的知识,可以得到指数型或幂型函数,并得到关于增长率的简单不等式,解决实际中增长率控制问题.
第19练 第二章 基本初等函数(Ⅰ) 复习
※基础达标 1.(06年全国卷II. 文2理1)已知集合M ={x |x 1},则M A. ∅ B. {x |0b >c B. b >a >c C. c >a >b D. b >c >a
3. (05年福建卷)函数f (x ) =a x -b 的图象如图,其中a 、b 为常数,则下列结论正确的是( ). A. a >1, b 1, b >0 C. 00 D. 0
N =( ).
+lg(3x +1) 的定义域是( ). 11111
A. (-, +∞) B. (-,1) C. (-, ) D. (-∞, -)
33333
5.(06年陕西卷)设函数f (x ) =log a (x +b ) (a >0, a ≠1) 的图像过点(2,1),其反函数的图像过点(2,8),则a +b 等于( ).
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
⎧e x , x ≤01
6.(06年辽宁卷. 文14理13)设g (x ) =⎨,则g (g ()) =
2⎩lnx , x >0
1
7.如图所示,曲线是幂函数y =x α在第一象限内的图象,已知α分别取-1,1, ,2
2
四个值,则相应图象依次为 .
※能力提高
-2x +b
8.已知定义域为R 的函数f (x ) =x +1是奇函数. 求a , b 的值.
2+a
x x
9.已知函数y =log 2log 4 (2≤x ≤4).
42
(1)求输入x =4时对应的y 值; (2)令t =log 2x ,求y 关于t 的函数关系式及t 的范围.
※探究创新
1-ax
10.设f (x ) =log 1为奇函数,a 为常数.
x -12(1)求a 的值; (2)证明
f (
x ) 在区间(1,+∞)内单调递增;
9
23
4.(06
年广东卷)函数f (x ) =
2
(3)若对于区间[3,4]上的每一个x 值,不等式f (x ) >() x m 恒成立,求实数m 的取值范围.
12
10