高中文科数学导数复习
导数
(一)导数概念及其几何意义 1. 了解导数概念的实际背景。 2. 理解导数的几何意义。 (二)导数的运算
会用给出的常见基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单的函数的导数,能求简单的复合函数(仅限于形如
f (ax +b ) )的导数。
常见基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则:
n n -1
C ' =0(C 为常数);(x )' =nx , n ∈Q *; (sinx )' =cos x ; (cosx )' =-sin x ;
1
(e x )' =e x ; (a x )' =a x ln a (a >0, a ≠1); (lnx )' =;
x
1
(a >0, a ≠1) . (loga x ) ' =
x ln a
法则1:[u (x ) ±v (x )]'=u '(x ) ±v '(x ); 法则2:[u (x ) v (x )]=u '(x ) v (x ) +u (x ) v '(x );
法则3:⎢
⎡u (x ) ⎤u '(x ) v (x ) -u (x ) v '(x )
' =(v (x ) ≠0) . ⎥2
v (x ) ⎣v (x ) ⎦
(三)导数在研究函数中的应用
1.了解函数的单调性和导数的关系;能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间(对多项式函数不超过三次)。
2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;会用导数求函数的极大值、极小值(对多项式函数不超过三次),会求在闭区间上函数的最大值、最小值(对多项式函数不超过三次)。 3.会用导数解决某些实际问题。
导数的概念与和、差、积、商的导数
1y =f (x ) 在x =x 0处附近有定义,如果∆x →0时,∆y 与∆x 的
比
∆y ∆y (也叫函数的平均变化率)有极限即无限趋近于某个常数,我们把这个极限值叫∆x ∆x
/x =x 0
做函数y =f (x ) 在x →x 0处的导数,记作y m ,即f (x 0) =l i
/
∆x →0
f (x 0+∆x ) -f (x 0)
∆x
y =f (x ) 上点(x 0, f (x 0) y =f (x ) 在点x 0可导,则曲线y =f (x ) 在点(x 0, f (x 0) )处的切线方程为
y -f (x 0) =f /(x 0)(x -x 03(导数):如果函数y =f (x ) 在开区间(a , b ) 内的每点处都有导数,此时对于每一
个x ∈(a , b ) ,都对应着一个确定的导数f /(x ) ,从而构成了一个新的函数f /(x ) , 称这个函数f /(x ) 为函数y =f (x ) 在开区间内的导函数,简称导数,
4可导: 如果函数y =f (x ) 在开区间(a , b ) 内每一点都有导数,则称函数y =f (x ) 在开
区间(a , b ) 5y =f (x ) 在点x 0处可导,那么函数y =f (x ) 在点x 0处连续,
函数具有连续性是函数具有可导性的必要条件,而不是充分条件
6求函数y =f (x ) 的导数的一般方法:
(1)求函数的改变量∆y =f (x +∆x ) -f (x )
(2)求平均变化率
∆y ∆y /
=3)取极限,得导数y =f '(x ) =lim ∆x →0∆x ∆x
7常见函数的导数公式:
C ' =0;(x n )' =nx n -1 8 [u (x ) ±v (x )]' =u ' (x ) ±v ' (x ) .
单调性及其应用
1(1)求f '(x )(2)确定f '(x )在(a ,b )内符号(3)若f '(x )>0在(a ,b )上恒成立,则f (x )在(a ,b )上是增函数;若f '(x )0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间;
f '(x )
1 一般地,设函数f(x)在点x 0附近有定义,如果对x 0附近的所有的点,都有
f(x)<f(x0) ,就说f(x0) 是函数f(x)的一个极大值,记作y 极大值=f(x0) ,x 02极小值:一般地,设函数f(x)在x 0附近有定义,如果对x 0附近的所有的点,都有f(x)
>f(x0) 就说f(x0) 是函数f(x)的一个极小值,记作y 极小值=f(x0) ,x 0
3小值,如下图所示,x 1是极大值点,x 4是极小值点,而f (x 4) >f (x 1) (ⅳ)函数的极
而使函数取得最大值、最小值
4判别f (x 0) 是极大、极小值的方法:若x 0满足f '(x 0) =0,且在x 0的两侧f (x ) 的导数
异号,则x 0是f (x ) 的极值点,f (x 0) 是极值,并且如果f '(x ) 在x 0两侧满足“左正右负”,则x 0是f (x ) 的极大值点,f (x 0) 是极大值;如果f '(x ) 在x 0两侧满足“左负右正”,则x 0是f (x ) 的极小值点,f (x 0) 5求函数f (x ) 的极值的步骤: (1)确定函数的定义区间,求导数f ′(x (2)求方程f ′(x )=0(3)用函数的导数为0的点,顺次将函数的定义区间分成若干小开区
间,并列成表格f ′(x ) 在方程根左右的值的符号,如果左正右负,那么f (x ) 在这个根处
取得极大值;如果左负右正,那么f (x ) 在这个根处取得极小值;如果左右不改变符号即都为正或都为负,则f (x ) 6函数的最大值和最小值:在闭区间[a , b ]上连续的函数f (x ) 在[a , b ]上必有最大值与
最小值.⑴在开区间(a , b ) 内连续的函数f (x ) 不一定有最大值与最小值. ⑵函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的;函数的极值是比较极值点附近函数值得出的.⑶函数
f (x ) 在闭区间[a , b ]上连续,是f (x ) 在闭区间[a , b ]上有最大值与最小值的充分条件而非
必要条件.(4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个,而函数的极值可能不7利用导数求函数的最值步骤:⑴求f (x ) 在(a , b ) 内的极值;⑵将f (x ) 的各极值与
f (a ) 、f (b ) 比较得出函数f (x ) 在[a , b ]上的最值
导数定义
⎧x 2
例1.y =f (x ) =⎨
⎩ax +b
x ≤1
在x =1处可导,则a = b = x >1
⎧x 2
思路:y =f (x ) =⎨
⎩ax +b
x →1+
x ≤1
在x =1处可导,必连续lim f (x ) =1
x →1x >1
-
lim f (x ) =a +b f (1) =1 ∴ a +b =1
∆x →0
lim -
∆y ∆y
=2 lim +=a ∴ a =2 b =-1
∆x →0∆x ∆x
例2.已知f(x)在x=a处可导,且f ′(a)=b,求下列极限:
f (a +h 2) -f (a ) f (a +3h ) -f (a -h )
(1)lim ; (2)lim
∆h →0∆h →02h h
例3.观察(x n ) '=nx n -1,(sinx ) '=cos x ,(cosx ) '=-sin x ,是否可判断,可导的奇函数的导函数是偶函数,可导的偶函数的导函数是奇函数。
利用导数证明不等式
例4.求证下列不等式
x 2x 2
(1)x - x ∈(0, +∞) (相减)
22(1+x )
(2)sin x >
2x
π
x ∈(0,
π
2
) (相除)
(3)x -sin x
π
2
)
x 21x 2-1
) f (0) =0 f '(x ) =-1+x =>0 证:(1)f (x ) =ln(1+x ) -(x -21+x x +1
∴ y =f (x ) 为(0, +∞) 上↑ ∴ x ∈(0, +∞) f (x ) >0 恒成立
x 2x 2
∴ ln(1+x ) >x - g (x ) =x --ln(1+x ) g (0) =0
22(1+x )
4x 2+4x -2x 212x 2
g '(x ) =1--=>0
1+x 4(1+x 2) 4(1+x ) 2
x 2
∴ g (x ) 在(0, +∞) 上↑ ∴ x ∈(0, +∞) x --ln(1+x ) >0恒成立
2(1+x )
利用导数求和
例6.利用导数求和: (1)(2)
; 。
分析:这两个问题可分别通过错位相减法及利用二项式定理来解决。转换思维角度,由求导
公式(x n )' =nx n -1,可联想到它们是另外一个和式的导数,利用导数运算可使问题的解决更加简捷。 解:(1)当x=1时,
;
当x ≠1时,
,
两边都是关于x 的函数,求导得
即
(2)∵
两边都是关于x 的函数,求导得令x=1得
,即
单调区间讨论
例7.设a >0,求函数f (x ) =
,
。
。
x -ln(x +a )(x ∈(0, +∞) 的单调区间.
分析:本小题主要考查导数的概念和计算,应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力.
11
解:f '(x ) =-(x >0) .
x +a 2x
当a >0, x >0时 f '(x ) >0⇔x +(2a -4) x +a >0.
2
2
f '(x )
22
(i )当a >1时,对所有x >0,有x +(2a -4) +a >0.
即f '(x ) >0,此时f (x ) 在(0, +∞) 内单调递增.
22
(ii )当a =1时,对x ≠1,有x +(2a -4) x +a >0,
即f '(x ) >0,此时f (x ) 在(0,1)内单调递增,又知函数f (x ) 在x=1处连续,因此, 函数f (x ) 在(0,+∞)内单调递增
(iii )当00,即x 2+(2a -4) x +a 2>0. 解得x 2-a +2-a .
因此,函数f (x ) 在区间(0, 2-a -2-a ) 内单调递增,在区间(2-a +2-a , +∞) 内也单调递增.
令f '(x )
例10. 已知函数f (x ) =x ln x (. Ⅰ)求f (x ) 的最小值;(Ⅱ)若对所有x ≥1都有f (x ) ≥ax -1,求实数a 的取值范围.
解:f (x ) 的定义域为(0,+∞) , f (x ) 的导数f '(x ) =1+ln x . 令f '(x ) >0,解得
11⎛1⎫⎛1⎫
x >;令f '(x )
e e ⎝e ⎭⎝e ⎭
11
增. 所以,当x =时,f (x ) 取得最小值-.
e e
(Ⅱ)解法一:令g (x ) =f (x ) -(ax -1) ,则g '(x ) =f '(x ) -a =1-a +ln x , 错误!未找到引用源。 若a ≤1,当x >1时,g '(x ) =1-a +ln x >1-a ≥0,
a x -1. ,+∞) 上为增函数,故g (x ) 在(1所以,x ≥1时,g (x ) ≥g (1)=1-a ≥0,即f (x ) ≥
错误!未找到引用源。 若a >1,方程g '(x ) =0的根为 x 0=e a -1,此时,若x ∈(1,x 0) ,则g '(x )
f (x )
+∞) 上恒成立,解法二:依题意,得f (x ) ≥ax -1在[1,即不等式a ≤ln x +
恒成立 . 令g (x ) =ln x +
1
,+∞) 对于x ∈[1
x
1111⎛1⎫
, 则g '(x ) =-2= 1-⎪. 当x >1时,因为x x x x ⎝x ⎭
1⎛1⎫
g '(x ) = 1-⎪>0,
x ⎝x ⎭
+∞) 上的增函数, 所以 g (x ) 的最小值是g (1)=1,所以a 的取值范围是故g (x ) 是(1,
(-∞,1].
求取值范围
例13设函数f (x ) =x -
3
92
x +6x -a .(1)对于任意实数x ,f '(x ) ≥m 恒成立,求m 2
的最大值;(2)若方程f (x ) =0有且仅有一个实根,求a 的取值范围.
解析 (1) f (x ) =3x -9x +6=3(x -1)(x -2) , 因为x ∈(-∞, +∞) , f (x ) ≥m , 即
'
2
'
3
3x 2-9x +(6-m ) ≥0恒成立, 所以 ∆=81-12(6-m ) ≤0, 得m ≤-,即m 的最大值
4
3为-
4
(2) 因为 当x 0; 当12时, f ' (x )>0; 所以 当x =1时, f (x ) 取极大值 f (1)=
5
-a ; 2
当x =2时, f (x ) 取极小值
f (2)=2-a ;
故当f (2)>0 或f (1)导数与数列
例14已知函数f (x ) =x 2+x -1,α, β是方程f (x)=0的两个根(α>β) ,f '(x ) 是f (x)的导数;设a 1=1,a n +1=a n -
f (a n )
(n=1,2,„„) f '(a n )
5. 2
(1)求α, β的值;
(2)证明:对任意的正整数n ,都有a n >a; (3)记b n =ln
a n -β
(n=1,2,„„),求数列{bn }的前n 项和S n 。 a n -a
解析:(1)∵f (x ) =x 2+x -1,α, β是方程f (x)=0的两个根(α>β) ,
∴α; β115
a n (2a n +1) +(2a n +1) -
a +a n -144 =a n -=a n -22a n +12a n +1
2n
(2)f '(x ) =2x +1,a n +1
5=(2a n +1) +
14
1,∵a 1=1,
∴有基本不等式可知a 2≥>
0(当且仅当a 12a n +12-
,„„,a n , >
0同,样a 3>
=α(n=1,2,„„)
(a -α)(a n -β) a n -β
=(a n +1+α) ,而α+β=-1,即α+1=-β, (3)a n +1-β=a n -β-n
2a n +12a n +1
时取等号)
,∴a 2>
(a n -β) 2(a n -α) 21-βa n +1-β=n =l n =l n ,同理a n +1-α=,b n +1=2b n ,
又b 1=l
2a n +12a n +11-α
3
S n =2(2n -导数与解析几何
32
例15. 已知函数f (x ) =x +(1-a ) x -a (a +2) x +b (a , b ∈R ) .
(I )若函数f (x ) 的图象过原点,且在原点处的切线斜率是-3,求a , b 的值; (II )若函数f (x ) 在区间(-1,1) 上不单调,求a 的取值范围. ...
解析 (Ⅰ)由题意得f '(x ) =3x 2+2(1-a ) x -a (a +2)
f (0) =b =0⎧ 又⎨ ,解得b =0,a =-3或a =1
'f (0) =-a (a +2) =-3⎩
(Ⅱ)函数f (x ) 在区间(-1, 1) 不单调,等价于
导函数f '(x ) 在(-1, 1) 既能取到大于0的实数,又能取到小于0的实数 即函数f '(x ) 在(-1, 1) 上存在零点,根据零点存在定理,有
f '(-1) f '(1) 例16已知a 是实数,函数f (x )=2ax +2x -3-a ,如果函数y =f (x )在区间[-1, 1]上有
2
零点,求a 的取值范围.
解:若a =0 , f (x ) =2x -3 ,显然在[-1, 1]上没有零点, 所以 a ≠0. 令 ∆=4+8a (3+a )=8a +24a +4=0, 解得
a =
2
-3± 2
①当
a =
时, y =f (x )恰有一个零点在[-1,1]上; ②当f (-1)⋅f (1)=(a -1)(a -5)[-1,1]上也恰有一个零点.
③当y =f (x )在[-1,1]上有两个零点时, 则
a
a >0⎪∆=8a 2+24a +4>0⎧
⎪∆=8a 2+24a +4>0⎪
⎪ 或⎪ 1
⎪1-1
f (1)≤0⎪f (1)≥0⎪
⎪⎪f (-1)≤0f (-1)≥0⎩⎩
解得a ≥
5或a
综上所求实数a 的取值范围是 a >1 或
a ≤
-3 . 2