多因素方差分析中数学模型的建立与检验方法
20 0 8年 6月
电大 理 工 Su yo i c r n ier g t T U. t f c n e I E gn ej V d S e ad n aR
第 2期 总第 2 5期 3
多 因素方差分析 中数学模型 的建立与检验方法
邢 航
阜新高等专科学校 ( 阜新 130 ) 2 0 0
摘 要 在 实际问题和科学 实验 中很 多现 象的发生或 变化是多个 因素共同作 用的结 果, 因素之间有 些 相 互没有影 响,有些是交互影响的 ,针对不 同情况可以通 过试验利用数学模型分析和解决这些问题 .文章 论证 了多因素 方差分析建模的条件和基本原理以及受各 因素影响的显著性检验 方法. 关键词 数学模型 方差分析 离差平方和 随机误 差
因 . 素 一 0 引言
.
云 均 值
= ,, ,试验 结果所 得数 据 如表 1 1 …, 2 .
方差分析是在随机干扰存在的情况下, 把因 素变化所产生的影响分离出来进而做出因素变 化对研究对象是否有显著性影响的推断. 在实际 问题中很多现象的变化是多因素共同作用的结
果 , 多因 素方 差 分析 是利 用数 学 模 型 的可 分解
l 2 j. … .'
2 … …
表 l 方差分析样本数据
B l
h … 岛 … B
b
均谯 又
性,从总变异中分解 出条件误差 ( 组间) 和随机
误差 ( 内 ) 组 ,并 进行 对 比,从 中找 出影 响试验
1
^ : .
结果 的主要 因 素 . 我们 主要 研究 二 因素方 著分析
数学模型的建立与显著性检验. 二因素方差分析
中 , 因素之 间无 交互 影 响和有 交互 影响 ,即在 分 试验 中分 不 重复试 验和 重复 实验 两个 方面 . 下面
X i
K2 …
b X. b … XI
X .
l …
…
h
论述无交互影响不重复试验的二因素方差分析 数学模型建立及假设检验.
x. | x. L … x. } …
石_
l 建立数学模型
首先假设所有试验数据都来 自同一正态总
体.
其 中
.
窆 l…6 产, , 2 ,
=
{
,…口 ( 2, 1 , )
不存 在 交互 作用 . () 2
对试验 , 两个因素进行考察,二者试验 地位平等 . 因素有 口 个不同水平 l 2…, ; ,
因素 有 6个不 同水 平 Bl,2…, . ,B之 B,
设 , 是服从正态分布 ～ ‖ o ) Ⅳ( , 的总体中
抽取 的样 本 ,假定 , 假 定 + s
间无交互作用 ,对水平的每种组合 , 进行一 次独立试验, 共得 口 个试验结果 f l ,…,, 6 =, 2 口
s～ O, (=1 … 口 Ⅳ( o)f , 2 ; ,…6 , =1 2 )
其中 表示4 , 条件下的理论期望值, ,
基金项 目: 辽宁省教育厅高等学校科 学研究 会 资助项 目 ( 08 0 8 20D 2 )
电大理工
总第 2 5期 3
表示 随机 误 差 ,且相互 独立 . 由() 1得
爿0 : 2
1
2 ‖6 U …
去
=
检验上述假 设的基本原理是将总离差平方和分
解 为各 因 素 导致 的离 差 平方 和 及 随机 误 差 导致
喜 '' 喜 , 26 2 ,)
… ' …
Qi i , {l .— = . 一 B : i
的离差平方和.具体方法如下
设定
令
称 6为 因素 的第 f 水平 的效应 , , c , 个 为因素 的第-个 水平 的效应 ,分别表 示 因素 , 的 『 各 个水平 的影 响 的程度 .显然 有关 系式
·
=
喜 喜. ,
∑ = ∑ = o
将 进 行 分解
( 4 )
=
言 (1 , ( f, 口 6 =, ) ) 2 …
喜 , 2 , …
i 伐t j u— u — u 旺 j 铒 I I j )
由 ( ) 有 6
令
6: —u }一啦+ u
=
称 为 Ai B 和 j的交 互效应 . 对二 因素无 重 而
6 . ) ∑( 一
j =I
复试验方差分析, 假设任意 A 和 B 之间不存在 i ,
交互 效应 ,即全 部 6 0 .这样 分解 式可写 为
B
=
: 口
圭 z ( ) . 厂
=l
( 7 )
综上 所述 , 可得 二 因素无重 复试验 方差 的数 学模 型
J + + = + J , I , , , = , … 2 =12 … ,, , , 6
∑∑(厂置. . 一 ) 十
称 为因素 的效应 平方 和, 因素 表示
称为 因素 的 效应
其 中
的水 平变 化引起 的影 响;
=I
-圭 : 0 o ,
l
平方 和 ,表示 因素 的水平 变化 引起 的影 响 ;
.
称 为误 差平方 和 , 示试 验 的随机 误差 影响 . 表
, 一
Ⅳ(, ) 0 且相互独立
总 离差分 解后 的公 式为
其 中 , ,. c , 为 未知参 数 .
= , …,, 1 , 6, l , 口产 , …,)均 2 2
,
=
∑∑ 一 ) + 口 ( = + 8 )
, l = = I
上 式表 明总 离 差 的平 方 和分 解 为二 因 素 的
2 显著性检验 对于二因素无交互方差数学模型(. 的检 1) 5
影 响 ( 间 )和 随机误 差影 响 ( 内 )的离差平 组 组
方和 .
验主要是检验两个因素 与B的影响是否显著.
' 要判断因素 的影响是否显著等价于检验
假 设
风 1 l.= : = : :c … 0 2
在() 立时 ,利 用关于 正态 分布平 方和 分解 8成 的 C crl定理 . oha 1 可证 明 凰 l 凰 2分别 成立 时 与 的 , , 及 的分 布规 律 .
Coha crn定理 :Xl X … .,为 疗个 相互 , 2 Xl 独 立 的服 从 标 准 正态 分 布 的 随机 变 量 ,
要判 断 因素 B 的影 响是 否显 著等 价 于检 验 假 设
Q( , …, , 2 是某些 xl x ,…x 卢1 , , 2 线性组合
的 平方和 ,其 自由度 分 别 为 d( ,,…, f 2 卢1 .
第 2期
邢航 : 多因素方差分析中数学模型 的建立与检验方法
. 5. 7
如 果 QI …+ +
～ ( )
= 尺一 一 +P J
( 1 1)
且 + …. = + I
,
S T: s = R— P
则
( 12…, ,, )
其中
=
并且 Q , ,…, 相 互独 立 .
在 ( )成 立 的条件 下 ,利 用 C c啪 分解 . 8 oh . 定 理 ,可证 明在 仅有 凰 1 立 时 ,有 成
=
～
喜 c 妻
骞 c 喜
[ 一 ) —1 ( 16 ) 口 ( 】
z口一1 ( ) () 9
～
且它 们相 互独 立 ,从而 有统 计量
=
=
^
=
. , 一I 6 ) S ( ) 一1 : 口 (
- - l 1
P =
)
∑∑(
f1 . l - , =
所 以对 给 定的显 著性 水平 n查 F分 布表, , 得
3 结语
.
临界值
l口1 (. 】,当 , .) 61 ( ) > 时,拒
—l} - {
,
本 文论 述 了 二 因 素无 交 互作 用 方 差 分 析数
绝 凰I ,因素 A 影 响显著 :反 之 ,接 受 ∑ 1 ,因 素 影 响不 显著 .
∑
学摸型的建立方法, 并论证 了利用 c cr 分解 dh锄
定 理 对 各 因素 影 响 的显 著 性进 行假 设检 验 的方
法. 事实上还有很多生产实际和科学实验方面的
问题 是二个 以上 的 因素影 响且交 互作 用的 , 均可 利 用数 学模型 进行 分析 和检验 , 原理 是相 通 的 其
同理, 可得在仅有 成立时因素 口影响是
否 显著 的检验 方法 .
综上所述 , 可得到二因素无交互影响试验方 差 分析数学模型显著性假设检验的统计分析结
果 如表 2 .
表 2 无交 互影响二因素方 差分析统计 决断
本文不在赘述 .
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表2 中的各项指标利用表 l 中的样本数据计 算,可使用下面的简捷式
s A Q —P s= A sBQ s = 8一P
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