数据特征的测度
数据特征的测度
统计数据经过整理和显示后，我们对数据分布的类型和特点就有了一个大致的了解，但这种了解只是表面上的，还缺少代表性的数量特征值准确地描述出统计数据的分布。为进一步掌握数据分布的特征和规律，进行更深入的分析，还需要找到反映数据分布特征的各个代表值。对统计数据分布的特征，我们可以从三个方面进行测度和描述：一是分布的集中趋势，反映各数据向其中心值靠拢或聚集的程度；二是分布的离散程度，反映各数据远离其中心值的趋势；三是分布的偏态和峰度，反映数据分布的形状。这三个方面分别反映了数据分布特征的不同侧面，这里我们主要讨论集中趋势和离散程度的测度方法。
（一）集中趋势的测度
集中趋势是指一组数据向某一中心值靠拢的倾向，测度集中趋势也就是寻找数据一般水平的代表值或中心值。集中趋势的测度值主要有众数、中位数、均值、几何平均数等几种。
1. 众数
众数是一组数据中出现次数最多的变量值，用M 0表示。例如，下面是抽样调查的10个家庭住房面积（单位：平方米）的数据：
55 75 75 90 90 90 90 105 120 150
这10个家庭住房面积的众数为90。即M 0＝90（平方米） 众数是一个位置代表值，它的特点是不受数据中极端值的影响。 2. 中位数
中位数是一组数据按一定顺序排序后，处于中间位置上的数值，用M e 表示。显然，中位数将全部数据等分成两部分，每部分包含50％的数据，一部分数据比中位数大，另一部分则比中位数小。
根据未分组数据计算中位数时，要先对数据进行排序，然后确定中位数的位置，其公式为：
中位数位置＝
n +1
2
式中的n 为数据的个数，最后确定中位数的具体数值。
设一组数据为x 1，x 2，…，x n ，按从小到大排序后为x (1) ，x (2) ，…，x (n ) ，则中位数可表示为：
当n 为奇数时⎧x n +1
() ⎪2⎪
M e =⎨1⎛⎫
⎪ x n +x n ⎪当n 为偶数时
+1⎪2 ⎪22⎝⎭⎩
例如，在某城市中随机抽取9个家庭，调查得到每个家庭的人均月收入数据如下（单位：
元）：
750 780 850 960 1080 1250 1500 1650 2000
中位数位置＝（9＋1）÷2＝5，中位数为1080，即M e ＝1080（元）。 假定我们抽取了10个家庭，每个家庭的人均月收入数据为： 660 750 780 850 960 1080 1250 1500 1650 2000 这时，中位数位置＝（10＋1）÷2＝5.5，中位数为1020，即：
M e =
960+1080
=1020（元）
2
中位数是一个位置代表值，其特点是不受极端值的影响，在研究收入分配时很有用。 3. 均值
均值也称为算术平均数，它是全部数据的算术平均。均值在统计学中具有重要的地位，是集中趋势的最主要测度值，根据所掌握数据的不同，均值有不同的计算形式和计算公式。
（1）简单均值。根据未经分组整理的原始数据计算均值。设一组数据为x 1，x 2，…，
x n ，则均值x （读作x-bar ）的计算公式为：
x =
x 1+x 2+ +x n
=
n
∑x i
i =1
n
n
例如，根据下面的例子，计算10个家庭的平均住房面积。 55 75 75 90 90 90 90 105 120 150
x =
55+75+ +120+150
=94（平方米）
10
（2）加权均值。根据分组整理的数据计算均值。设原始数据被分成k 组，各组的组中值为x 1，x 2，…，x k ，各组变量值出现的频数分别为f 1，f 2，…，f K ，则均值的计算公式可以写为：
x f +x 2f 2+ +x k f k x =11=
f 1+f 2+ +f k
∑x i f i
i =1k
k
∑f i
i =1
例如，假定我们在某城市中随机抽取50个家庭，调查住房面积，经分组后结果如表。计算50个家庭的平均住房面积。
计算过程见表。
4-7 某城市50个家庭住房面积均值计算表
代入上面的公式得：
∑x i f i
x =
i =1k
k
=
∑f i
i =1
4940
=98. 8（平方米） 50
从加权均值可以看出，其数值的大小不仅受各组变量值（x i ）大小的影响，而且受各组变量值出现的频数即权数（f i ）大小的影响。如果某一组的权数较大，说明该组的数据较多，那么该组数据的大小对均值的影响就越大，反之则越小。实际上，我们将加权均值变形为下面的形式，就能更清楚地看出这一点。
∑x i f i
x =
i =1k
k
∑f i
i =1
=∑x i ⋅
i =1
k
f i
∑f i
i =1
k
由上式可以清楚地看出，加权均值受各组变量（x i ）值大小和各组权数f i
∑f i 大小
i =1
k
的影响。当我们掌握的不是各组变量值出现的频数，而是频率时，也可直接根据上面的公式计算均值。
均值在统计学中具有重要的地位，它是进行统计分析和统计推断的基础。从统计思想上看，均值是一组数据的重心所在，是数据误差相互抵消后的必然性结果。比如我们对同一事物进行多次测量，若所得结果不一致，可能是由于测量误差所致，也可能是其他因素的偶然影响，利用均值作为其代表值，则可以使误差相互抵消，反映出事物必然性的数量特征。均值的缺点是容易受极端值的影响。
4. 几何平均数
几何平均数是n 个变量值乘积的n 次方根，计算公式为：
G =x 1⨯x 2⨯ ⨯x n =∏x i
i =1
n
式中：G 表示几何平均数，∏为连乘符号。 几何平均数是适用于特殊数据的一种平均数，它主要用于计算比率或速度的平均。当我们所掌握的变量值本身是比率的形式，而且各比率的乘积等于总的比率，这时就应采用几何平均法计算平均比率。在实际应用中，几何平均数主要用于计算社会经济现象的平均发展速度。
例如，一位投资者持有一种股票，在1996、1997、1998和1999年收益率分别为4.5％、2.0％、3.5％、5.4％。计算该投资者在这四年内的平均收益率。
解：根据几何平均数的计算公式得：
G =x 1⨯x 2⨯ ⨯x n
=. 5%⨯102. 0%⨯103. 5%⨯105. 4%
＝103.84％
即该投资者的年平均收益率为103.84％－100％＝3.84％。
（二）离散程度的测度
集中趋势只是数据分布的一个特征，它所反映的是各变量值向其中心值聚集的程度。而各变量值之间的差异状况如何呢？这就需要考查数据的分散程度。数据的分散程度是数据分布的另一个重要特征，它所反映的是各变量值远离其中心值的程度。我们知道，集中趋势的各测度值是对数据一般水平的一个概括性度量，它对一组数据的代表程度，取决于该组数据的离散水平。数据的离散程度越大，集中趋势的测度值对该组数据的代表性就越差，离散程度越小，其代表性就越好。
数据离散程度测度值有很多，这里我们主要介绍极差、标准差和离散系数等。 1. 极差
极差也称全距，它是一组数据的最大值与最小值之差。即： 极差＝最大值－最小值 例如，根据上面10个家庭月人均收入的数据，计算的极差为：极差＝139－107＝32（件）。 极差是描述数据离散程度的最简单测度值，计算简单，易于理解，但它容易受极端值的影响。由于极差只是利用了一组数据两端的信息，不能反映出中间数据的分散状况，因而不能准确描述出数据的分散程度。
2. 标准差
标准差是各变量值与其均值离差平方和的平均数的平方根，它是数测量数据离散程度的最主要方法，也是实际中应用最广泛的离散程度测度值。
设标准差为σ，对于未经整理的原始数据，标准差的计算公式为：
∑(x i -x ) 2
σ=
i =1
n
n
k
对于组距分组数据，标准差的计算公式为：
σ=
∑(x -x ) 2f i
i =1
∑f i
i =1
k
标准差与变量值的计量单位相同，其实际意义比较清楚。因此，在对社会经济现象进行分析时主要使用标准差。
例如，根据表4-7中的数据，计算50个家庭住房面积的标准差。 计算过程见表。
某城市50个家庭住房面积标准差计算表
根据上面的计算公式得：
k
σ=
∑(x -x ) 2f i
i =1
∑f i
i =1
k
=
28328
=23. 8（平方米） 50
结果表明，每个家庭的住房面积与平均数相比，平均相差23.8平方米。 3. 离散系数
上面介绍的标准差是反映数据分散程度的绝对值，其数值的大小一方面取决于原变量值本身水平高低的影响，也就是与变量的均值大小有关，变量值绝对水平高的，离散程度的测度值自然也就大，绝对水平小的离散程度的测度值自然也就小；另一方面，它们与原变量值的计量单位相同，采用不同计量单位计量的变量值，其离散程度的测度值也就不同。因此，对于平均水平不同或计量单位不同的几组数据，是不能用上述离散程度的测度值直接比较其离散程度的。为消除变量值水平高低和计量单位不同对离散程度测度值的影响，需要计算离散系数。
离散系数通常是就标准差来计算的，因此也称为标准差系数，它是一组数据的标准差与其相应的均值之比，是测度数据离散程度的相对指标，其计算公式为：
V σ=
σ
x
离散系数的作用主要是用于比较对不同组别数据的离散程度。离散系数大的说明数据的离散程度也就大，离散系数小的说明数据的离散程度也就小。
例如，某集团公司所属的8家子公司，其产品销售数据如表。试比较产品销售额与销售利润的离散程度。
需要计算离散系数。由表中数据计算得：
x 1＝536.25（万元） σ1＝289.22（万元） V 1=
289. 22
=0. 539
536. 25
21. 60
=0. 664 x 2＝32.5215（万元） σ2＝21.60（万元） V 2=
32. 5125
计算结果表明，V 1 V 2，说明产品销售额的离散程度小于销售利润的离散程度。