数列极限的概念(经典课件)
第二章 数列极限
引言:
在第一章中我们已经指出,数学分析课程研究的对象是定义在实数集上的函数,那么数学分析用什么方法研究实数集上的函数呢?从本质上来说,这个方法就是极限。极限思想和方法贯穿于数学分析课程的始终,几乎所有的概念都离不开极限,是我们数学分析课程的基础。
§1 数列极限的概念
教学内容:数列极限的概念,应用定义证明简单数列的极限,无穷小数列。
教学要求:使学生逐步建立起数列极限的ε-N 定义的清晰概念。深刻理解数列发散、单调、有界和无穷小
数列等有关概念。会应用数列极限的ε-N 定义证明数列的有关命题,并能运用ε-N 语言正确表述数列不以某实数为极限等相应陈述。
教学重点:数列极限的概念。
教学难点:数列极限的ε-N 定义及其应用。 教学方法:讲授为主。 教学学时:2学时。
一、数列概念:
1.数列的定义:
简单的说,数列就是“一列数”,是有一定的规律,有一定次序性的“一列数”。 若函数f 的定义域为全体正整数集合N +,则称f :N +→R 或f (n ), n ∈N +为数列。
若记f (n ) =a n ,则数列f (n ), n =1, 2, n 就可写作为:a 1, a 2, , a n , ,简记为{a n },其中a n 称为该数列的通项。 2.数列的例子:
⎧(-1) n ⎫111111⎧1⎫(1)⎨⎬:-1, , -, , ; (2)⎨1+⎬:2,1+,1+,1+,
435234⎩n ⎭⎩n ⎭
2n +1
:2,0, 2,0, 2, (3)n :1,4,9,16, 25, ; (4)1+(-1)
{}
{}
二、数列极限的概念:
1.引言:
对于这个问题,先看一个例子:古代哲学家庄周所著的《庄子. 天下篇》引用过一句话:“一尺之棰,日取其半,万世不竭”。把每天截下的部分的长度列出如下(单位为尺):
第1天截下
1111111111
,第2天截下⋅=2,第3天截下⋅2=3,„,第n 天截下⋅n -1=n ,„ 2222222222
得到一个数列:⎨
1111⎧1⎫
, , , , , : ⎬23n n
2222⎩2⎭
1⎧1⎫
的通项随着n 的无限增大而无限地接近于零。 n n ⎬2⎩2⎭
不难看出,数列⎨
一般地说,对于数列{a n },若当n 无限增大时,a n 能无限地接近某一个常数a ,则称此数列为收敛数列,常数a 称为它的极限。不具有这种特性的数列就不是收敛的数列,或称为发散数列。
据此可以说,数列⎨
⎧1⎫
是收敛数列,0是它的极限。 n ⎬⎩2⎭
2n +1
数列n , 1+(-1) 都是发散的数列。
{}{}
需要提出的是,上面关于“收敛数列”的说法,并不是严格的定义,而仅是一种“描述性”的说法,如何用数学语言把它精确地定义下来。还有待进一步分析。
以⎨1+⎬为例,可观察出该数列具以下特性:
⎧⎩1⎫n ⎭
11
1+与1的距离无限减少→无限地接近于1→随着n 的无限增大,
n n
11
随着n 的无限增大,|1+-1|无限减少→|1+-1|会任意小,只要n 充分大。
n n 1
如:要使|1+-1|10即可;
n 1
要使|1+-1|100即可;
n
随着n 的无限增大,a n =1+
任给无论多么小的正数ε,都会存在数列的一项a N ,从该项之后(n >N ) ,| 1+
⎛⎝1⎫
⎪-1|
⎛1⎫
∀ε>0, ∃N ,当n >N 时,| 1+⎪-1|
⎝n ⎭
如何找N?(或N存在吗?)解上面的数学式子即得:n >
1
ε
,取N =[+1即可。这样∀ε>0, 当
1
ε
11⎛1⎫
n >N 时,| 1+⎪-1|=
n N ⎝n ⎭
综上所述,数列⎨1+⎬的通项1+
⎧⎩1⎫n ⎭
11
1+无限接近于1,随n 的无限增大,即是对任意给定正数ε,
n n
总存在正整数N,当n >N 时,有| 1+2.数列极限的定义:
⎛⎝1⎫⎧1⎫
。此即-1|
n ⎭⎩n ⎭
定义1 设{a n }为数列,a 为实数, 若对任给的正数ε, 总存在正整数N, 使得当n >N 时有|a n -a |
n →∞
读作:当n 趋于无穷大时, a n 的极限等于a 或a n 趋于a 。由于n 限于取正整数, 所以在数列极限的记号中把n →+∞写成n →∞, 即lim a n =a 或a n →a (n →∞) .
n →∞
若数列{a n }没有极限,则称{a n }不收敛,或称{a n }为发散数列。 3.举例说明如何用ε-N 定义来验证数列极限: 例1.证明 lim
1
=0, 这里α为正数。
n →∞n α
⎡1
证明:∀ε>0,∃N =⎢1
⎢α⎣ε
n
⎤
1111⎥+1,则当n >N 时,便有α-0=α
⎦
(注:这里取整保证N 为非负整数;+1保证N 为正整数。)
q =0q (|
n →∞
证明:∀ε>0(不妨设ε
lg ε
,则当n >N 时,便有lg q
q n -0=q n
lim q n =0(|q
n →∞
(注:这里限制ε
2n -1
=0.
n →∞9n 3+7
证明:∀ε>0,∃N =⎢
所以lim
⎡2⎤2n -12n -12n 2
-0=3≤3=2N 时,便有3
9n +79n +7n n ⎣ε⎦
2n -1
=0.
n →∞9n 3+7
3n 2
=3. 例4.证明 lim 2
n →∞n -3
3n 299⎧9⎫
证明: 由于2-3=2≤(n ≥3) ,因此,∀ε>0,∃N =max ⎨3, ⎬,则当n >N 时,
n -3n -3n ⎩ε⎭
3n 23n 2
=3. 便有2-3
n →∞n -3n -3
例5.证明
=1,其中a >0.
n 证明:当a =1时,结论显然成立. 现设a >1,记α=a -1,则α>0. 由 a =(1+α) ≥1+n α=1+n (a -1) 得a -1≤ ∀ε>0,∃N =
n
1
n
1n
1n
a -1
于是, n
n a -1
ε
,则当n >N 时,便有
a
-
对于0
ε的任意性。定义1中的正数ε的作用在于衡量数列通项a n 与常数a 的接近程度,
ε越小,表示接近得越好;而正数ε可以任意小,说明a n 与常数a 可以接近到任何程度;②ε的暂时固
定性。尽管ε有其任意性,但一经给出,就暂时地被确定下来,以便依靠它来求出N;③ε的多值性。ε既是任意小的正数,那么的ε可用
ε
2
,3ε, ε2等等,同样也是任意小的正数,因此定义1中的不等式|a n -a |
ε
2
,3ε, ε2等来代替。从而“|a n -a |
我们可以限定ε小于一个确定的正数。
(2) 关于N:① 相应性,一般地,N随ε的变小而变大,因此常把N定作N (ε) ,来强调N是依赖于ε的;ε一经给定,就可以找到一个N;②N多值性。N的相应性并不意味着N是由ε唯一确定的,因为对给定的ε,若N =100时能使得当n >N 时, 有|a n -a |N ”改为“n ≥N ”也无妨。③N 的取值也不一定必须是正整数,可以为为正数,因为满足条件的正数N 如果存在,比N 大的任何正整数必能使条件成立。
(3)数列极限的几何理解:在定义1中,“当n >N 时有|a n -a |N 时有
a -εN 时有a n ∈(a -ε, a +ε)=U (a ; ε) ” ⇔所有下标大于N的项a n 都
落在邻域U (a ; ε) 内;而在U (a ; ε) 之外,数列{a n }中的项至多只有N个(有限个)。反之,任给ε>0,若在U (a ; ε) 之外数列{a n }中的项只有有限个,设这有限个项的最大下标为N,则当n >N 时有: a n ∈U (a ; ε) ,即当n >N 时有|a n -a |0,若在U (a ; ε) 之外数列{a n }中的项只有有限个,则称数列{a n }收敛于极限a.
由此可见:1)若存在某个ε0>0,使得数列{a n }中有无穷多个项落在U (a ; ε0) 之外,则{a n }一定不以a 为极限;2)应该注意,任给ε>0,若在U (a ; ε) 内数列{a n }中的项有无限多个,并不能说明数列{a n }收敛于极限a 。
2n
例6. 证明n 和(-1) 都是发散数列。
{}{}
分析:即证数列不以任何a ∈R 为极限,利用定义1。
2
证明:∀a ∈R ,取ε0=1,则数列n 中所有满足n >a +1的项(有无穷多个)显然都在U (a ; ε0)
22
之外,故n 不以任何a ∈R 为极限,即数列n 是发散数列。
'
{}
{}
{}}
n n
取a =1,ε0=1,则在U (a ; ε0) 之外有(-1) 中所有奇数项(无穷多项),故(-1) 不以
{{}
1为极限;对∀a ≠1,取ε0=
1
a -,则在U (a ; ε0) 之外有{(-1) n }中所有偶数项(无穷多2
n n n
项),故(-1) 不以∀a ≠1为极限。从而(-1) 不以任何a ∈R 为极限,即(-1) 是发散
{}
{}{}
数列。
例7. 设lim x n =lim y n =a ,作数列如下:{z n }:x 1, y 1, x 2, y 2, , x n , y n , . 证明 lim z n =a .
n →∞
n →∞
n →∞
证明:因lim x n =lim y n =a ,故∀ε>0,数列{x n }和{y n }在U (a ; ε) 之外的项都至多只有有限个,
n →∞
n →∞
所以数列{z n }中落在U (a ; ε) 之外的项至多只有有限个,从而lim z n =a 。
n →∞
例8. 设{a n }为给定的数列,{b n }为对{a n }增加、减少或改变有限项之后得到的数列。证明:数列
{b n }与{a n }同时收敛或发散,且在收敛时两者的极限相等。
证明:设{a n }为收敛数列,且lim a n =a ,故∀ε>0,数列{a n }中落在U (a ; ε) 之外的项至多只
n →∞
有有限个,而数列{b n }为对{a n }增加、减少或改变有限项之后得到的数列,故从某一项开始,
{b n }中的每一项都是{a n }中确定的一项,所以{b n }中落在U (a ; ε
这就证得数列{b n }收敛,且有lim b n =a 。
n →∞
) 之外的项至多只有有限个,
现设{a n }为发散数列,倘若{b n }收敛,则因{a n }可看成是对{b n }增加、减少或改变有限项之
后得到的数列,故由前面证明可知{a n }为收敛数列,矛盾,所以当{a n }发散时{b n }也发散。
三、无穷小数列:
在所有收敛数列中,在一类重要的数列,称为无穷小数列,其定义如下: 定义2 若lim a n =0,则称{a n }为无穷小数列。
n →∞
n +1
⎧1⎫⎧1⎫⎧(-1) ⎫⎧1⎫如⎨⎬, ⎨2⎬, ⎨⎬, ⎨n ⎬都是无穷小数列。 ⎩n ⎭⎩n ⎭⎩n ⎭⎩2⎭
定理2. 1 数列{a n }收敛于a 的充要条件是:{a n -a }为无穷小数列。 证明:由数列极限的ε-N 定义容易证明。