初高中常用的乘法公式

初高中常用的乘法公式

我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：

22

（1）平方差公式 (a +b )(a -b ) =a -b ； 222

(a ±b ) =a ±2ab +b （2）完全平方公式 ．

我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：

2233

（1）立方和公式 (a +b )(a -ab +b ) =a +b ； 2233

(a -b )(a +ab +b ) =a -b （2）立方差公式 ；

2222(a +b +c ) =a +b +c +2(ab +bc +ac ) ； （3）三数和平方公式

33223(a +b ) =a +3a b +3ab +b （4）两数和立方公式 ； 33223(a -b ) =a -3a b +3ab -b （5）两数差立方公式 ．

乘法公式的用法

(一) 、套用:这是最初的公式运用阶段，在这个环节中，应弄清乘法公式的来龙去脉，准确地掌握其特征，为辨认和运用公式打下基础，同时能提高学生的观察能力。

例1. 计算：5x 2+3y 25x 2-3y 2 解：原式=5x 2

()()()()

2

-3y 2

2

=25x 4-9y 4

(二) 、连用:连续使用同一公式或连用两个以上公式解题。 例2. 计算：(1-a )(a +1)a 2+1a 4+1 解：原式=1-a 21+a 21+a 4

()()

)

()()(

=1-a 41+a 4=1-a 8

()(

)

例3. 计算：(3x +2y -5z +1)(-3x +2y -5z -1) 解：原式=[(2y -5z )+(3x +1)][(2y -5z )-(3x +1)]

=(2y -5z )-(3x +1)

2

2

2

22

=4y -9x +25z -20yz -6x -1

三、逆用:学习公式不能只会正向运用，有时还需要将公式左、右两边交换位置，得出公式的逆向形式，并运用其解决问题。

例4. 计算：(5a +7b -8c )-(5a -7b +8c )

解：原式=[(5a +7b -8c )+(5a -7b +8c )][(5a +7b -8c )-(5a -7b +8c )]

2

2

=10a (14b -16c )=140ab -160ac

四、变用: 题目变形后运用公式解题。 例5. 计算：(x +y -2z )(x +y +6z )

解：原式=[(x +y +2z )-4z ][(x +y +2z )+4z ]

=(x +y +2z )-(4z )

2

2

2

22

=x +y -12z +2xy +4xz +4yz

五、活用: 把公式本身适当变形后再用于解题。这里以完全平方公式为例，经过变形或重新组合，可得如下几个比较有用的派生公式：

1. (a +b )-2ab =a 2+b 22. (a -b )+2ab =a 2+b 23. (a +b )+(a -b )=2a +b

2

2

2

2

2

(

2

)

4. (a +b )-(a -b )=4ab

灵活运用这些公式，往往可以处理一些特殊的计算问题，培养综合运用知识的能力。

例6. 已知a -b =4，ab =5，求a 2+b 2的值。 解：a 2+b 2=(a -b )+2ab =42+2⨯5=26

例7. 计算：(a +b +c -d )+(b +c +d -a ) 解：原式=[(b +c )+(a -d )]+[(b +c )-(a -d )]

2

2

22

2

22

=2(b +c )+(a -d )

[

22

]

=2a 2+2b 2+2c 2+2d 2+4bc -4ad

例8. 已知实数x 、y 、z 满足x +y =5，z 2=xy +y -9，那么x +2y +3z =（ ） 解：由两个完全平方公式得：ab =从而 z 2=

122

5-(x -y )+y -9 4

1

(a +b )2-(a -b )2 4

[]

[]

2512

-(5-2y )+y -944

=-y 2+6y -9 =

=-y 2-6y +9=-(y -3)

2

()

∴z 2+(y -3)=0∴z =0，y =3∴x =2

∴x +2y +3z =2+2⨯3+0=8

2

三、学习乘法公式应注意的问题

例1．已知a +b =2，ab =1，求a 2+b 2的值。

解：∵(a +b ) 2=a 2+2ab +b 2 ∴a 2+b 2=(a +b ) 2-2ab

∵a +b =2，ab =1 ∴a 2+b 2=22-2⨯1=2

例2．已知a +b =8，ab =2，求(a -b ) 2的值。

解：∵(a +b ) 2=a 2+2ab +b 2 (a -b ) 2=a 2-2ab +b 2

∴(a +b ) 2-(a -b ) 2=4ab ∴(a +b ) 2-4ab =(a -b ) 2 ∵a +b =8，ab =2 ∴(a -b ) 2=82-4⨯2=56

例3：计算19992-2000×1998

〖解析〗此题中2000=1999+1，1998=1999-1，正好符合平方差公式。

解：19992-2000×1998 =19992-（1999+1）×（1999-1） =19992-（19992-12）=19992-19992+1 =1

例4：已知a +b +c =4，ab +bc +ac =4，求a 2+b 2+c 2

的值．

例5：已知a+b=2，ab=1，求a 2+b2和(a-b)2的值

例6：已知x-y=2，y-z=2，x+z=14。求x 2-z 2的值

例7：判断（2+1）（22+1）（24+1）……（22048+1）+1的个位数字是几？

例8．解下列各式

（1）已知a 2+b 2=13，ab =6，求(a +b )2，(a -b )2的值。 （2）已知(a +b )2=7，(a -b )2=4，求a 2+b 2，ab 的值。 （3）已知

a (a -1)-(a 2-b )=2，求

a 2+b 2

2

-ab 的值。 （4）已知x -1

x

=3，求x 4+1

x 4

的值。

例2．填空：

（1）

19a 2-14b 2=(11

2b +3

a ) （ ）； （2）(4m + ) 2=16m 2

+4m +( ) ；

(3 ) (a +2b -c ) 2=a 2+4b 2+c 2

+( ) ． 2．选择题：

（1）若x 2

+

1

2

mx +k 是一个完全平方式，则k 等于 （ ）

1211m （C ）m 2 （D ）m 2 416322

（2）不论a ，b 为何实数，a +b -2a -4b +8的值 （ ）

（A ）m （B ）

2

（A ）总是正数 （B ）总是负数

（C ）可以是零 （D ）可以是正数也可以是负数

【公式1】(a +b +c ) 2=a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ca 证明：

【例1】计算：(x -解：

说明：多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂排列． 【公式2】(a +b )(a 2-ab +b 2) =a 3+b 3(立方和公式) 证明:

2

12x +) 2

3

说明:请同学用文字语言表述公式2.

【例2】计算： （2a+b）（4a -2ab+b）= 【公式3】(a -b )(a +ab +b ) =a -b (立方差公式)

2

2

3

3

22

1．计算

（1）（3x+2y）（9x 2-6xy+4y2）= （2）（2x-3）（4x 2+6xy+9）=

1⎫111⎛1

（3） m -⎪(m 2+m +) =

3⎭469⎝2

（4）（a+b）（a 2-ab+b2）（a-b ）（a 2+ab+b2）=

2．利用立方和、立方差公式进行因式分解 （1）27m 3-n 3=

1

（2）27m 3-n 3=

8

（3）x 3-125= （4） m 6-n 6=

【例3】计算：

（1）(4+m )(16-4m +m 2)

（2）(m -

151111

n )(m 2+mn +n 2) 225104

（3）(a +2)(a -2)(a 4+4a 2+16) （4）(x 2+2xy +y 2)(x 2-xy +y 2) 2

解：

说明：（1）在进行代数式的乘法、除法运算时，要观察代数式的结构是否满足乘法公

式的结构．

（2）为了更好地使用乘法公式，记住1、2、3、4、…、20的平方数和1、2、3、

4、…、10的立方数，是非常有好处的．

2

【例4】已知x -3x +1=0，求x +

3

1

的值． x 3

解：

说明：本题若先从方程x 2-3x +1=0中解出x 的值后，再代入代数式求值，则计算较烦琐．本题是根据条件式与求值式的联系，用整体代换的方法计算，简化了计算．请注意整体